Föppl-Klammer

Die Föppl-Klammer ist eine von August Föppl eingeführte, vereinfachende Schreibweise vor allem in der Mechanik. Sie wird auch Föppl-Symbol genannt. Gelegentlich wird sie nach dem britischen Mathematiker William Herrick Macaulay auch als Macaulay-Klammer bezeichnet.

Definition

Die Föppl-Klammer ist keine mathematische Schreibweise, sie wurde von Ingenieuren für den Gebrauch in der Technischen Mechanik übernommen.

$⟨x-a{⟩}^n=\{\begin{array}{cc}0& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}x<a\\ (x-a{)}^n& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}x>a\end{array}$

Dieser Ausdruck bedeutet, dass die Klammer für x-Werte kleiner als $a$ 0 ist, und für Werte größer als $a$ den Wert einer normalen Klammer $(x-a{)}^n$ annimmt. Dabei ist zu beachten, dass die Föppl-Klammer für $x=a$ nicht definiert ist. Für Betrachtungen in diesem Punkt sind andere Beschreibungsformen (z. B. das Gleichgewicht am differentiellen Element) nötig; jedoch sind derartige Überlegungen in den meisten Fällen nicht erforderlich.

Insbesondere beschreibt:

$⟨x-a{⟩}^0=\{\begin{array}{cc}0& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}x<a\\ 1& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}x>a\end{array}$

Somit lassen sich Sprünge, z. B. in einem Kraftverlauf, durch Multiplikation der Klammer mit der Kraft (siehe Beispiel) modellieren.

Ableitung und Stammfunktion sind ebenfalls definiert:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}⟨x-a{⟩}^n=n⟨x-a{⟩}^{n-1}$

$\int ⟨x-a{⟩}^n\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}⟨x-a{⟩}^{n+1}+C$

Bei der Differentiation und bei der Integration kann das Klammersymbol wie eine runde Klammer angesehen werden.

Verwendung

Die Föppl-Klammer erlaubt es die Kraft- und Momentenverläufe an Biegebalken und Balken in kurzer Form darzustellen. Ohne diese Darstellung wären für jede angreifende Kraft und jedes angreifende Moment eine Fallunterscheidung zu treffen.

Die Exponenten einer Föppl-Klammer sind entsprechend dem Kraft- oder Momentenverlauf zu wählen. Beispiele: Die Flächenbelastung q(x) ist konstant: n=0; eine Kraft oder ein Moment greifen an: n=0; die Flächenbelastung q(x) ist linear: n=1; die Flächenbelastung q(x) ist quadratisch: n=2; die Flächenbelastung q(x) ist kubisch: n=3 usw.

Bei der Berechnung der Querkraft Q(x) durch Integration z. B. bei einer linearen Flächenbelastung q(x) mit n=1 ergibt sich für Q(x) der Exponent n=2 und durch weitere Integration für das Biegemoment M(x) der Exponent n=3.

Beispiel

Ein Balken der Länge l ist in seinen Endpunkten A und D statisch bestimmt gelagert. Er wird im Punkt B durch die Kraft F und im Punkt C durch das Moment M belastet.

Datei:Foeppl.PNG

Es gilt für den Zusammenhang zwischen Belastung und Schnittgrößen:

$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}x}=-q\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x}=Q$

Der Querkraftverlauf (in z-Richtung) folgt der Formel:

• mit Föppl-Klammer:

$Q(x)=-F_{Az}+F⟨x-f{⟩}^0$

Erklärung: Der Querkraftverlauf entspricht links von der Stelle f der negativen Auflagerkraft F_Az, da die Föppl-Klammer bei x < f als Null definiert ist. Rechts von der Stelle f nimmt der Term den Wert 1 an, was dazu führt, dass die Last F in den Querkraftverlauf durch einen Sprung mit einfließt.

• ohne Föppl-Klammer:

$Q(x)=\{\begin{array}{cc}-F_{Az}& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}0<x<f\\ -F_{Az}+F& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}f<x<l\end{array}$

Der Biegemomentverlauf (um die y-Achse) folgt der Formel:

• mit Föppl-Klammer:

$M_y(x)=-F_{Az}x+F⟨x-f{⟩}^1+M⟨x-m{⟩}^0$

• ohne Föppl-Klammer:

$M(x)=\{\begin{array}{cc}-F_{Az}x& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}0<x<f\\ -F_{Az}x+F(x-f)& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}f<x<m\\ -F_{Az}x+F(x-f)+M& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}m<x<l\end{array}$

Siehe auch

• Sprungklammer
• Heaviside-Funktion