Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis

Die Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis $C(\mathbb{Q})$ besteht aus den Punkten $(x,y)$ mit rationalen Koordinaten, für die $x^2+y^2=1$ gilt. Die Menge dieser Punkte ist eng mit den primen pythagoräischen Tripeln verwandt. Ist ein primitives rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen teilerfremden Seitenlängen $a,b,c$ gegeben, wobei $c$ die Hypotenuse ist, dann gibt es auf dem Einheitskreis den rationalen Punkt $(\frac{a}{c},\frac{b}{c})$. Ist umgekehrt $(x,y)$ ein rationaler Punkt auf dem Einheitskreis, dann gibt es ein primitives rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten $xc,yc,c$, wobei $c$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner von $x$ und $y$ ist.

Gruppenoperation

Die Menge der rationalen Punkte bildet eine unendliche Abelsche Gruppe. Das neutrale Element ist der Punkt $(1,0)$. Die Gruppenoperation oder „Summe“ ist $(x,y)+(t,u)=(xt-uy,xu+yt)$. Geometrisch ist dies die Winkeladdition, wenn $x=\cos (\alpha )$ und $y=\sin (\alpha )$, wobei $\alpha$ der Winkel des Radiusvektors $(x,y)$ mit dem Radiusvektor $(1,0)$ im mathematisch positiven Sinne ist. Wenn also $(x,y)$ und $(t,u)$ jeweils mit $(1,0)$ die Winkel $\alpha$ und $\beta$ bilden, ist deren Summe $(xt-uy,xu+yt)$ der rationale Punkt auf dem Einheitskreis mit dem Winkel $\alpha +\beta$ im Sinne der gewöhnlichen Addition von Winkeln.

Identifiziert man jeweils den Punkt $(x,y)$ mit der komplexen Zahl $x+yi$, so entspricht die Addition in $C(\mathbb{Q})$ der Multiplikation in $ℂ$.

Gruppenstruktur

Die Gruppe $C(\mathbb{Q})$ ist isomorph zu einer unendlichen direkten Summe von zyklischen Untergruppen von $C(\mathbb{Q})$:

$C(\mathbb{Q})\cong C_2\oplus \left(\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{p\in \mathbb{P},}{p\equiv 1(\mathrm{mod}4)}}{⨁}{C}_p\right),$

wobei $C_2$ die durch $(0,1)$ erzeugte Untergruppe ist, und die $C_p$ jene Untergruppen sind, die von Punkten der Form $(\frac{a^2-b^2}{p},\frac{2ab}{p})$ mit $a,b\in \mathbb{N},a>b>0,a^2+b^2=p$ erzeugt werden, wobei $p$ eine Pythagoreische Primzahl ist.

Diese Aussage ist eine Anwendung von Hilberts Satz 90 auf das Problem der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis, siehe dazu bei: Lin Tan.

Literatur

• Lin Tan: The Group of Rational Points on the Unit Circle. In: Mathematics Magazine. Bd. 69, Nr. 3, June 1996, S. 163–171, Vorlage:Doi, Vorlage:Webarchiv oder direkt https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Allendoerfer/1997/0025570x.di021195.02p0087x.pdf.
• Ernest J. Eckert: The Group of Primitive Pythagorean Triangles. In: Mathematics Magazine. Bd. 57, Nr. 1, January 1984, S. 22–26, Vorlage:Doi.