Pythagoreische Primzahl

In der Zahlentheorie ist eine pythagoreische Primzahl (vom englischen pythagorean prime) eine Primzahl $p\in \mathbb{N}$ der Form $p=4n+1$ mit $n\in \mathbb{N}$ (nicht zu verwechseln mit Pythagoraszahl). Ist eine Primzahl keine pythagoreische Primzahl, so heißt sie nicht-pythagoreische Primzahl.

Beispiele

• Die kleinsten pythagoreischen Primzahlen sind die folgenden:

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397, 401, 409, 421, 433, 449, 457, 461, 509, 521, 541, 557, 569, 577, 593, 601, 613, 617, … (Vorlage:OEIS)

Eigenschaften

• Jede pythagoreische Primzahl kann als Summe von zwei Quadraten dargestellt werden.

Beweis:

Der Beweis folgt direkt aus Fermatschem Satz über die Summe von zwei Quadraten. Gelegentlich nennt man diesen Satz auch Girard’s Theorem.

Beispiel:

$41=4^2+5^2$, $101=1^2+10^2$, …

• Die Umkehrung der obigen Eigenschaft gilt ebenfalls:

Ist die Summe von zwei Quadraten eine ungerade Primzahl, so ist sie eine pythagoreische Primzahl.

Beweis:

Der Beweis folgt ebenfalls direkt aus Fermatschem Satz über die Summe von zwei Quadraten:

Für das Quadrat einer geraden Zahl $n:=2k$ mit $n,k\in \mathbb{Z}$ gilt: $n^2=(2k{)}^2=4k^2\equiv 0(\mathrm{mod}4)$.

Für das Quadrat einer ungeraden Zahl $m:=2k+1$ mit $m,k\in \mathbb{Z}$ gilt: $m^2=(2k+1{)}^2=4k^2+4k+1\equiv 1(\mathrm{mod}4)$.

Für ungerade Primzahlen $p\in \mathbb{P}$ gilt: $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ (für pythagoreische Primzahlen) oder $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ (für nicht-pythagoreische Primzahlen).

Die Summe von zwei Quadratzahlen ist aus obigen Gründen immer $\equiv 0(\mathrm{mod}4)$, $\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ oder $\equiv 2(\mathrm{mod}4)$, aber niemals $\equiv 3(\mathrm{mod}4)$. Ist sie also eine ungerade Primzahl, so bleibt nur $\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ übrig und das sind genau die pythagoreischen Primzahlen. $◻$

• Für jede pythagoreische Primzahl $p\in \mathbb{P}$ gibt es ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenusenlänge $\sqrt{p}$, welches ganzzahlige Kathetenlängen hat.

Die pythagoreische Primzahl $p=5$ und seine Quadratwurzel als Hypotenusen von rechtwinkligen Dreiecken und wie man aus dem kleinen Dreieck das große berechnen kann

Beweis:

Siehe Satz des Pythagoras

• Ist die Primzahl $p\in \mathbb{P}$ die Hypotenusenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks, so ist $p$ eine pythagoreische Primzahl und größter Teil eines pythagoreischen Tripels.
• Es gibt unendlich viele pythagoreische Primzahlen.

Beweis:

Siehe Dirichletscher Primzahlsatz

Das Primrennen zwischen 4n+1 und 4n+3

Sei $x\in \mathbb{N}$. Dann gilt:

Die Anzahl der pythagoreischen Primzahlen (der Form $4n+1$) bis $x$ ist annähernd gleich wie die Anzahl der nicht-pythagoreischen Primzahlen (der Form $4n+3$) bis $x$. Im Speziellen ist die Anzahl der pythagoreischen Primzahlen bis $x$ oft etwas kleiner. Dieses Phänomen nennt man auf Englisch Chebyshev’s bias und stammt vom Mathematiker Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow.

Beispiele

• Bis $x=600000$ gibt es nur zwei Zahlen, unter denen mehr pythagoreische Primzahlen (der Form $4n+1$) als nicht-pythagoreische (ungerade) Primzahlen (der Form $4n+3$) existieren, nämlich $26861$ und $26862$. Zwischen $26863$ und $26878$ sind es gleich viele und ab $26879$ gibt es wieder mehr nicht-pythagoreische (ungerade) Primzahlen.
• Die folgende Liste zeigt an, wann ein „Führungswechsel“ im „Rennen“ pythagoreische Primzahlen gegen nicht-pythagoreische (ungerade) Primzahlen stattfindet (auf Englisch Where prime race 4n-1 vs. 4n+1 changes leader):

3, 26861, 26879, 616841, 617039, 617269, 617471, 617521, 617587, 617689, 617723, 622813, 623387, 623401, 623851, 623933, 624031, 624097, 624191, 624241, 624259, 626929, 626963, 627353, 627391, 627449, 627511, 627733, 627919, 628013, 628427, 628937, 629371, … (Vorlage:OEIS)

Zusammenhang mit Gaußschen Primzahlen

Die Norm einer Gaußschen Zahl der Form $x+\mathrm{i}\cdot y$ ist $\Vert x+\mathrm{i}\cdot y\Vert =x^2+y^2$. Es gilt:

• Eine pythagoreische Primzahl (inklusive der Primzahl $p=2$) kann immer als Norm einer Gaußschen ganzen Zahl dargestellt werden. Ungerade nicht-pythagoreische Primzahlen können das nicht.
• Eine pythagoreische Primzahl ist keine Primzahl in der Menge der Gaußschen Primzahlen. Der Realteil $x$ und der Imaginärteil $y$ ihrer Primfaktoren in dieser Faktorisierung sind die Kathetenlängen des rechtwinkligen Dreiecks mit gegebener Hypotenusenlänge $p$.

Beweis:

Es kann jede pythagoreische Primzahl $p=x^2+y^2$ zerlegt werden in $p=x^2+y^2=(x+\mathrm{i}\cdot y)\cdot (x-\mathrm{i}\cdot y)$.

• Vergleiche dazu auch die Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis.

Quadratische Reste

• Seien $p,q\in \mathbb{P}$ zwei verschiedene ungerade Primzahlen, wobei mindestens eine der beiden eine pythagoreische Primzahl sein soll. Dann gilt:

$p$ ist quadratischer Rest modulo $q$ genau dann, wenn $q$ quadratischer Rest modulo $p$ ist.

Mit anderen Worten:

Seien $p,q\in \mathbb{P}$ mit $p>2,q>2,p=q$ und $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$. Dann gilt mit dem Legendre-Symbol:

$\left(\frac{p}{q}\right)=1⟺\left(\frac{q}{p}\right)=1$

Beispiel:

Sei $p=37\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ und $q=47\equiv 3(\mathrm{mod}4)$. Dann ist $15^2=225\equiv 37(\mathrm{mod}47)$ und somit ist $37$ quadratischer Rest modulo $47$. Umgekehrt ist $11^2=121\equiv 84\equiv 47\equiv 10(\mathrm{mod}37)$ und somit ist $47$ quadratischer Rest modulo $37$.

• Seien $p,q\in \mathbb{P}$ zwei verschiedene ungerade Primzahlen, wobei beide nicht-pythagoreische Primzahlen sein sollen. Dann gilt:

$p$ ist quadratischer Rest modulo $q$ genau dann, wenn $q$ kein quadratischer Rest modulo $p$ ist.

Mit anderen Worten:

Seien $p,q\in \mathbb{P}$ mit $p>2,q>2,p=q$ und $p,q\equiv 3(\mathrm{mod}4)$. Dann gilt:

$\left(\frac{p}{q}\right)=1⟺\left(\frac{q}{p}\right)=-1$

Beispiel:

Sei $p=47\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ und $q=43\equiv 3(\mathrm{mod}4)$. Dann ist $41^2=1681\equiv 47\equiv 4(\mathrm{mod}43)$ und somit ist $47$ quadratischer Rest modulo $43$. Umgekehrt gibt es aber kein $x$ mit $x^2\equiv 43(\mathrm{mod}47)$ und somit ist $43$ kein quadratischer Rest modulo $47$.

Siehe auch

• Quadratisches Reziprozitätsgesetz

Weblinks

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