Hilberts Satz 90

Der mathematische Satz, den David Hilbert unter der Nummer 90 in seiner Theorie der algebraischen Zahlkörper aufführt und der seither diesen Namen trägt, macht eine Aussage über die Struktur bestimmter Körpererweiterungen. Er wurde en passant bereits 1855 von Kummer bewiesen.

Ursprüngliche Fassung

Es sei $L/K$ eine zyklische Galoiserweiterung und $\sigma$ ein Erzeuger der zugehörigen Galoisgruppe. Dann ist jedes $y\in L^{\times }$ mit Norm $N_{L/K}(y)=1$ von der Form

$y=\frac{\sigma x}{x}$

mit einem geeigneten $x\in L^{\times }$.

Anwendung auf Gaußsche Zahlen

Noam D. Elkies hat beschrieben, dass „Hilbert 90“ im Falle $\mathbb{Q}[\mathrm{i}]/\mathbb{Q}$ auf einfachste Weise mit der bekannten Parametrisierung der Pythagoreischen Tripel äquivalent ist.

Galoiskohomologische Fassung

$E$ ist ein Körper, $E/F$ eine galoissche Körpererweiterung und $G=\text{Gal}(E/F)$. Dann folgt für die Galoiskohomologie:

$H^1(G,E^{\times })=0$

Algebraisch-geometrische Fassung

Es sei $X$ ein Schema. Dann ist

${\mathrm{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(X,{𝔾}_{\mathrm{m}})=\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}X.$

Anders ausgedrückt: Jedes étale-lokal triviale Geradenbündel ist bereits ein Zariski-Geradenbündel.

Hilbert 90 für motivische Kohomologie

Die ursprüngliche Fassung verallgemeinert sich in der motivischen Kohomologie zur Exaktheit von

${\mathrm{H}}^1(Y,{𝔾}_{\mathrm{m}}){\to }^{1-\sigma }{H}^1(Y,{𝔾}_{\mathrm{m}}){\to }^{N_{X/Y}}{H}^1(X,{𝔾}_{\mathrm{m}})$

für zyklische Galoisüberlagerungen $Y/X$ mit Erzeuger $\sigma$. Für das Spektrum eines Körpers erhält man die ursprüngliche Fassung zurück.

Literatur

• David Hilbert: Die Theorie der algebraischen Zahlkörper. (PDF; 90 MB). In: Zahlbericht. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Bd. 4, S. 175–546, 1897, siehe S. 272.