Ganzes Element

Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra ist der Begriff eines ganzen Elementes in einer Ringerweiterung eine Verallgemeinerung des Begriffes eines algebraischen Elementes in einer Körpererweiterung.

Definition

Es sei $A$ ein Ring und $B$ eine $A$-Algebra. Dann heißt ein Element $b\in B$ ganz über $A$, wenn es ein Polynom $p\in A[X]\setminus \{0\}$ mit Leitkoeffizient 1 gibt, so dass $p(b)=0$ gilt, also wenn es ein $n\in \mathbb{N}$ und Koeffizienten $a_0,a_1,\dots ,a_{n-1}\in A$ gibt mit

$b^n+a_{n-1}{b}^{n-1}+\dots +a_{1}b+a_0=0$.

Die Menge der über $A$ ganzen Elemente von $B$ heißt der ganze Abschluss von $A$ in $B$.

Falls der ganze Abschluss von $A$ in $B$ mit $A$ übereinstimmt, heißt $A$ ganz abgeschlossen in $B$. Stimmt der ganze Abschluss von $A$ in $B$ jedoch mit $B$ überein, ist also jedes Element von $B$ ganz über $A$, so heißt $B$ ganz über $A$.

Beispiele

• Ist $A\subseteq B$ eine Ringerweiterung, dann ist $B$ insbesondere eine $A$-Algebra. Ist $B$ ganz über $A$, so spricht man von einer ganzen Ringerweiterung.
• Ein Integritätsring, der ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist, wird als normaler Ring bezeichnet.
• Der ganze Abschluss der ganzen Zahlen in einem algebraischen Zahlkörper $K$ wird als der Ganzheitsring ${𝒪}_K$ von $K$ bezeichnet.
• Ist $A=\mathbb{Z}$ und $K=\mathbb{Q}\left(\sqrt{5}\right)$, so ist der ganze Abschluss von $A$ in $K$ gegeben als

${𝒪}_K=\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right].$

Charakterisierung ganzer Elemente in Ringerweiterungen

Sei $A\subseteq B$ eine Ringerweiterung, $x\in B$. Dann sind äquivalent:

• $x$ ist ganz über $A$,
• $A[x]$ ist als $A$-Modul endlich erzeugt,
• es gibt einen Teilring $C\subseteq B$, sodass $A[x]\subseteq C$ und $C$ als $A$-Modul endlich erzeugt ist.

Eigenschaften

• Der ganze Abschluss von $A$ in $B$ ist eine $A$-Unteralgebra von $B$.

• Ganzheit ist eine transitive Relation. Genauer gilt für eine Ringerweiterung $A\subseteq B\subseteq C$, dass $C$ genau dann ganz über $A$ ist, wenn $B$ ganz über $A$ und $C$ ganz über $B$ ist.

• Eine $A$-Algebra $B$ ist genau dann endlich, wenn sie endlich erzeugt und ganz ist.

• Sei $A\subseteq B$ eine Ringerweiterung, $C$ der ganze Abschluss von $A$ in $B$ und $S\subseteq A$ eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge. Dann ist auch $S^{-1}C$ der ganze Abschluss von $S^{-1}A$ in $S^{-1}B$, wobei mit $S^{-1}$ die Lokalisierung nach der Menge $S$ bezeichnet.

• Ganzabgeschlossenheit ist eine lokale Eigenschaft.

• Sei $A\subseteq B$ eine ganze Ringerweiterung und $B$ nullteilerfrei. Dann ist $A$ genau dann ein Körper, wenn $B$ ein Körper ist.

• Ist $A\subseteq B$ eine ganze Ringerweiterung. Dann gibt es einen Zusammenhang zwischen Primidealketten in $B$ und darunterliegenden Primidealketten in $A$. Dies ist die Aussage der Sätze von Cohen-Seidenberg.

• Falls $A$ ein Unterring des Körpers $K$ ist, dann ist der ganze Abschluss von $A$ in $K$ der Durchschnitt aller Bewertungsringe von $K$ die $A$ enthalten.

Literatur

• M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Chapter 5, ISBN 0-201-00361-9