Dirac–Kähler-Gleichung

Die Dirac–Kähler-Gleichung (auch Ivanenko–Landau–Kähler-Gleichung) ist eine geometrische Formulierung der Dirac-Gleichung auf pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten mithilfe des Laplace–de Rham-Operators. Die Gleichung wurde von Dmitri Ivanenko und Lew Landau im Jahr 1928 entdeckt, Erich Kähler entdeckte sie erneut im Jahr 1962.

Konstruktion

Sei $M$ eine $n$-dimensionale glatte Mannigfaltigkeit. Das Differential $\mathrm{d}:{\mathrm{\Omega }}^k(M)\to {\mathrm{\Omega }}^{k+1}(M)$ erhöht den Grad einer Differentialform und das adjungierte Differential $\delta :{\mathrm{\Omega }}^k(M)\to {\mathrm{\Omega }}^{k-1}(M)$ verringert den Grad einer Differentialform. Der Laplace–de-Rham-Operator:

$\mathrm{\Delta }=\mathrm{d}\delta +\delta \mathrm{d}:{\mathrm{\Omega }}^k(M)\to {\mathrm{\Omega }}^k(M)$

erhält daher den Grad einer Differentialform. Mit den Komplexitätsbedingungen ${\mathrm{d}}^2={\delta }^2=0$ ergeben sich die Zusammenhänge $(\mathrm{d}\pm \delta {)}^2=\pm \mathrm{\Delta }$, wodurch Dirac-Operatoren ähnlich wie bei der Konstruktion der Dirac-Gleichung existieren, sodass deren Quadrat der Laplace–de-Rham-Operator ist. Diese können jedoch nicht mehr auf den Vektorräumen von Differentialformen eines einzigen Grades definiert werden kann, daher ist der Übergang auf die direkte Summe:

$\mathrm{\Omega }(M)=\underset{k=0}{\overset{n}{⨁}}{\mathrm{\Omega }}^k(M)$

notwendig. Einer dieser Dirac-Operatoren ist der Dirac–Kähler-Operator:

$\mathrm{d}-\delta :\mathrm{\Omega }(M)\to \mathrm{\Omega }(M).$

Für ein Skalar $m\in ℝ$ und eine Differentialform $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^k(M)$ ist die Dirac–Kähler-Gleichung gegeben durch:

$(\mathrm{d}-\delta +m)\omega =0.$

Diese besteht aus $n+3$ miteinander gekoppelten Differentialgleichungen für $n+1$ Differentialformen. Für $\omega ={\sum }_{k=0}^n{\omega }_k$ mit ${\omega }_k\in {\mathrm{\Omega }}^k(M)$sind diese gegeben durch:

$\mathrm{d}{\omega }_{k-1}-\delta {\omega }_{k+1}+m{\omega }_k=0$

für $k=-1,0,\dots ,n,n+1$. Für die Randfälle $k=-1$ und $k=n+1$ ergeben sich dabei jeweils $\mathrm{d}{\omega }_n=0$ und $\delta {\omega }_0=0$, was sowieso aus Gradgründen gelten muss, da es keine $-1$- und $n+1$-Formen auf $M$ gibt. Dadurch gibt es tatsächlich nur $n+1$ miteinander gekoppelte Differentialgleichungen für $n+1$ Differentialformen. Für $k=0$ und $k=n$ ergibt sich:

$-\delta {\omega }_1+m{\omega }_0=0$

$\mathrm{d}{\omega }_{n-1}+m{\omega }_n=0.$

Durch Anwendung von $\mathrm{d}-\delta -m$ auf die Dirac–Kähler-Gleichung wird diese zur Klein–Gordon-Gleichung $(\mathrm{\Delta }+m^2)\omega =0$, bei welcher die einzelnen Differentialgleichungen entkoppeln und daher jede einzelne Differentialform ${\omega }_k$ mit $({\mathrm{\Delta }}^2+m^2){\omega }_k=0$die Klein–Gordon-Gleichung erfüllt. Würde für die Dirac–Kähler-Gleichung stattdessen der Operator $\mathrm{d}+\delta$ verwendet werden, würden diese stattdessen $(\mathrm{\Delta }-m^2)\omega =0$ erfüllen.

Weblinks

• Kähler–Dirac-Operator auf nLab (englisch)