Darstellbarkeit (Kategorientheorie)

Darstellbarkeit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Es beschreibt den Umstand, dass es für gewisse Konstruktionen „klassifizierende Objekte“ gibt.

Definition

Ein kontravarianter Funktor $F:C\to 𝐒𝐞𝐭$ von einer Kategorie $C$ in die Kategorie der Mengen heißt darstellbar, wenn es ein Paar $(X,u)$ bestehend aus einem Objekt von $C$ und einem Element $u\in F(X)$ gibt, so dass

${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_C(T,X)\to F(T),f\mapsto F(f)(u)$

für alle Objekte $T$ von $C$ bijektiv ist. Man schreibt dann auch einfach

$F(T)={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_C(T,X).$

Ein kovarianter Funktor $G:C\to 𝐒𝐞𝐭$ heißt darstellbar, wenn es ein analoges Paar $(X,u)$ gibt, so dass

${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_C(X,T)\to G(T),f\mapsto G(f)(u)$

bijektiv ist.

Weitere Bezeichnungen:

• Für ein Element von $F(T)$ heißt der entsprechende Morphismus $T\to X$ auch klassifizierender Morphismus.
• $X$ heißt darstellendes Objekt, auch wenn durch $X$ selbst die natürliche Äquivalenz

$F\cong {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_C(-,X)$ bzw. $G\cong {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_C(X,-)$

noch nicht festgelegt ist.

• $u$ wird oft universell genannt, weil jedes Element von $F(T)$ für irgendein Objekt $T$ Bild von $u$ unter $F(f)$ mit einem geeigneten Morphismus

$f:T\to X$

ist. (Analoges gilt im Fall kovarianter Funktoren.)

Eigenschaften

• Wird ein kontravarianter Funktor $F$ wie oben einerseits durch $(X_1,u_1)$, andererseits aber auch durch $X_2,u_2$ dargestellt, so gibt es genau einen Isomorphismus $i:X_1\to X_2$, für den $F(i)(u_2)=u_1$ gilt. Er ist der klassifizierende Morphismus von $u_1\in F(X_1)$ bezüglich $(X_2,u_2)$.
• Darstellbare Funktoren sind linksexakt, d. h.

$F(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}{X}_i)=\lim F(X_i)$ bzw. $G(\lim X_i)=\lim G(X_i)$.

Beispiele

• Die Bildung der Potenzmenge $𝒫(T)$ einer Menge $T$ kann als kontravarianter Funktor $𝒫:𝐒𝐞𝐭\to 𝐒𝐞𝐭$ betrachtet werden: für eine Abbildung $f:T\to S$ von Mengen sei die induzierte Abbildung $𝒫(f):𝒫(S)\to 𝒫(T)$ das Urbild von Teilmengen: $𝒫(f)(U)=f^{-1}(U)$.

Dieser Funktor wird durch das Paar $(\{0,1\},\{1\})$ dargestellt, denn ist $T$ ein Objekt, das heißt eine Menge, so ist $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(T,\{0,1\})\to 𝒫(T),f\mapsto 𝒫(f)(\{1\})=f^{-1}(\{1\})$ bijektiv. Die klassifizierende Abbildung einer Teilmenge $U\subseteq T$ ist also die charakteristische Funktion ${\chi }_U$ von $U$, denn ${\chi }_U^{-1}(\{1\})=U$.

• Die folgenden Vergissfunktoren sind darstellbar:

von	nach	dargestellt durch
Abelsche Gruppen	Mengen	$(\mathbb{Z},1)$
Vektorräume über einem Körper $K$	Mengen	$(K,1)$
unitäre Ringe	Mengen	$(\mathbb{Z}[T],T)$
Topologische Räume	Mengen	$(*,*)$ (ein einpunktiger Raum)

• Ein Beispiel aus der kommutativen Algebra bilden die Kähler-Differentiale mit der universellen Derivation.
• Die Fundamentalgruppe eines punktierten topologischen Raumes ist per definitionem ein darstellbarer Funktor auf der Kategorie der punktierten topologischen Räume mit den Homotopieklassen punktierter Abbildungen als Morphismen:

${\pi }_1(X,x_0)=[(S^1,*),(X,x_0)].$

• Die erste Kohomologiegruppe $H^1(X,\mathbb{Z})$ mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen ist ein kontravarianter Funktor, der durch die 1-Sphäre $S^1$ zusammen mit einem der beiden Erzeuger von

$H^1(S^1,\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$

dargestellt wird. Allgemein gibt es darstellende Räume $K(\pi ,n)$ für die Funktoren $H^n(-,\pi )$ für beliebige abelsche Gruppen $\pi$ und natürliche Zahlen $n$. Sie heißen Eilenberg-MacLane-Räume.

Siehe auch

Oben vorgestellte Abbildungen der Form ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_C(T,X)\to F(T),f\mapsto F(f)(u)$ kommen auch beim Yoneda-Lemma vor.