3-Sphäre

Die 3-dimensionale Sphäre oder kurz 3-Sphäre ist ein Objekt in der Mathematik, nämlich eine Sphäre der dritten Dimension. Sie ist neben dem euklidischen Raum ${ℝ}^3$ das einfachste Beispiel einer 3-dimensionalen Mannigfaltigkeit und kann in den euklidischen Raum ${ℝ}^4$ eingebettet werden.

Als Einheitssphäre trägt sie den Namen ${𝕊}^3$.

Definition

Unter einer 3-dimensionalen Sphäre versteht man eine topologische Mannigfaltigkeit, die homöomorph zur Einheitssphäre im ${ℝ}^4$ ist. Letztere wird mit ${𝕊}^3$ bezeichnet.

Die Einheitssphäre ${𝕊}^3$ ist die Menge der Punkte im 4-dimensionalen euklidischen Raum ${ℝ}^4$ mit Abstand eins vom Ursprung, also

${𝕊}^3:=\{x\in {ℝ}^4:\Vert x{\Vert }_2=1\}$,

wobei $\Vert \cdot {\Vert }_2$ die euklidische Norm ist. Sie kann als Rand der Vorlage:Nowrap ${\mathrm{B}}^4$ aufgefasst werden und wird daher auch mit $\partial {\mathrm{B}}^4$ bezeichnet.

Eigenschaften

Geometrische Eigenschaften

Die 3-dimensionale Hyperfläche (das 3-Volumen) einer 3-Sphäre vom Radius $r$ ist

$2{\pi }^2{r}^3$

und das 4-dimensionale Hypervolumen einer 4-Kugel (das 4-Volumen des 4-dimensionalen Gebietes innerhalb dieser 3-Sphäre) ist

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}{\pi }^2{r}^4.$

Entsprechend ist $\frac{{\pi }^2}{2}$ das 4-Volumen von ${\mathrm{B}}^4$.

Jeder nicht-leere Durchschnitt einer 3-Sphäre mit einer 3-dimensionalen Hyperebene ist eine 2-Sphäre oder ein einzelner Punkt.

Die 3-Sphäre vom Radius $r$ hat die konstante, positive Schnittkrümmung $\frac{1}{r^2}$.

Topologische Eigenschaften

Die 3-Sphäre hat keinen Rand, ist kompakt und einfach zusammenhängend. Ihre Homologiegruppen sind

$H_i({𝕊}^3)=\{\begin{array}{c}\\ \end{array}$	$\mathbb{Z}$,		falls   $i\in \{0,3\}$
	$\{0\}$		sonst.

Jeder topologische Raum mit diesen Homologiegruppen wird 3-Homologiesphäre genannt.

Sie ist homöomorph zur Einpunkt-Kompaktifizierung des ${ℝ}^3$ und ist der homogene Raum

${𝕊}^3\cong \mathrm{SO}(4)/\mathrm{SO}(3)$.

Differenzierbare Struktur

Wie jede 3-dimensionale Mannigfaltigkeit hat die 3-Sphäre nach dem Satz von Moise eine eindeutige Differentialstruktur und eine eindeutige PL-Struktur.

Runde Metrik

Die Einbettung als Einheitssphäre im ${ℝ}^4$ gibt der Sphäre die „runde Metrik“ mit Schnittkrümmung konstant 1. Insbesondere wird sie mit dieser Metrik ein symmetrischer Raum mit Isometriegruppe $\mathrm{SO}(4)$.

Jede Metrik konstanter Schnittkrümmung ist ein Vielfaches der runden Metrik.

Die 3-Sphäre als Lie-Gruppe

Vorlage:Hauptartikel Die 3-Sphäre ${𝕊}^3$ ist eine nichtabelsche Gruppe. Sie fällt zusammen mit der Gruppe der Einheitsquaternionen

$\{x\in ℍ\mid x\overline{x}=1\}$

mit $x=x_0+x_1\mathrm{i}+x_2\mathrm{j}+x_3\mathrm{k}$ und $\overline{x}=x_0-x_1\mathrm{i}-x_2\mathrm{j}-x_3\mathrm{k}$. Die Abbildung

$x_0+x_1\mathrm{i}+x_2\mathrm{j}+x_3\mathrm{k}\mapsto \left(\begin{array}{cc}{z}_1& z_2\\ -\overline{z_2}& \overline{z_1}\end{array}\right)$ mit $z_1:=x_0+{\mathrm{i}}_{ℂ}{x}_1$ und $z_2:=x_2+{\mathrm{i}}_{ℂ}{x}_3$

ist ein Isomorphismus der Quaternionen $ℍ$ in den Ring ${ℂ}^{2\times 2}$ der komplexen 2×2-Matrizen, der ${𝕊}^3$ auf die Untergruppe der unitären Matrizen

$\{\left(\begin{array}{cc}{z}_1& z_2\\ -\overline{z_2}& \overline{z_1}\end{array}\right)\in {ℂ}^{2\times 2}||z_1{|}^2+|z_2{|}^2=1\}=:\mathrm{SU}(2)$,

abbildet. Sie machen eine Lie-Gruppe aus, die den Namen $\mathrm{SU}(2)$ trägt.

Diese Bijektion ist gleichzeitig ein Diffeomorphismus

${ℍ}^{\times }\supset {𝕊}^3\to \mathrm{SU}(2)\subset {\left({ℂ}^{2\times 2}\right)}^{\times };(z_1,z_2)\mapsto \left(\begin{array}{cc}{z}_1& z_2\\ -\overline{z_2}& \overline{z_1}\end{array}\right)$

Die 3-Sphäre ${𝕊}^3=\mathrm{SU}(2)$ ist die einfachste nichtabelsche kompakte Lie-Gruppe und insbesondere im Standardmodell der Elementarteilchenphysik von Bedeutung.

Poincaré-Vermutung

Vorlage:Hauptartikel Die 3-Sphäre ist die einzige einfach zusammenhängende, kompakte 3-Mannigfaltigkeit.

Vektorfelder auf der 3-Sphäre

Als Lie-Gruppe ist die 3-Sphäre parallelisierbar. Ein Beispiel dreier linear unabhängiger Vektorfelder auf der Einheitssphäre im ${ℝ}^4$ ist

$V_1(x_1,x_2,x_3,x_4)=(-x_2,x_1,-x_4,x_3),V_2(x)=(-x_3,x_4,x_1,-x_2),V_3(x)=(-x_4,-x_3,x_2,x_1)$.

Heegaard-Zerlegungen

Man erhält die 3-dimensionale Sphäre, indem man die Ränder zweier 3-dimensionaler Kugeln orientierungsumkehrend miteinander verklebt.

Allgemeiner hat die 3-Sphäre zu jedem $g\ge 0$ eine eindeutige Heegaard-Zerlegung vom Geschlecht $g$.

Dehn-Chirurgien

Vorlage:Hauptartikel Jede kompakte 3-Mannigfaltigkeit kann durch Chirurgien an Verschlingungen $K\subset {𝕊}^3$ in der 3-Sphäre konstruiert werden.

Sphärische 3-Mannigfaltigkeiten

Aus dem von Thurston initiierten und von Perelman bewiesenen Geometrisierungsprogramm folgt, dass alle kompakten 3-Mannigfaltigkeiten endlicher Fundamentalgruppe sphärische 3-Mannigfaltigkeiten (oder 3-dimensionale sphärische Raumformen) sind, sich also als Quotientenraum

$M=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }{𝕊}^3$

für eine endliche Gruppe $\mathrm{\Gamma }\subset SO(4)$ von Isometrien der runden Metrik darstellen lassen.

Beispiele 3-dimensionaler sphärischer Raumformen sind die Linsenräume oder die Poincaré-Homologiesphäre.

Literatur

• Nikolai Saveliev: Lectures on the topology of 3-manifolds. An introduction to the Casson invariant. De Gruyter Textbook. Walter de Gruyter, Berlin 1999, ISBN 3-11-016271-7