∞-Chern-Weil-Theorie

∞-Chern-Weil-Theorie ist eine verallgemeinerte Formulierung der Chern-Weil-Theorie aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie mit den Methoden der Höheren Kategorietheorie. Benannt ist die Theorie nach Shiing-Shen Chern und André Weil, welche in den 1940er Jahren erstmals den Chern-Weil-Homomorphismus konstruiert haben, obwohl die Verallgemeinerung nicht von ihnen stammt.

Verallgemeinerung

Es gibt drei verschiedene äquivalente Beschreibungen der $k$-ten Chern-Klasse von komplexen Vektorbündeln vom Rang $n$, nämlich als:

• (1-kategorielle) natürliche Transformation $[-,\mathrm{BU}(n)]\Rightarrow [-,K(\mathbb{Z},2k)]$
• Homotopieklasse einer stetigen Abbildung $\mathrm{BU}(n)\to K(\mathbb{Z},2k)$
• singuläre Kohomologieklasse in $H^{2k}(\mathrm{BU}(n),\mathbb{Z})$

Dabei ist $\mathrm{BU}(n)$ der klassifizierende Raum der unitären Gruppe $\mathrm{U}(n)$ und $K(\mathbb{Z},2k)$ ein Eilenberg-MacLane-Raum, welche die Menge der komplexen Vektorbündel vom Rang $n$ durch $[-,\mathrm{BU}(n)]\cong {\mathrm{Vect}}_{ℂ}^n(-)$ und die singuläre Kohomologie durch $[-,K(\mathbb{Z},2k)]\cong H^{2k}(-,\mathbb{Z})$ darstellen. Die Äquivalenz zwischen den vorderen beiden Beschreibungen ist durch das Yoneda-Lemma gegeben. Die Äquivalenz zwischen den hinteren beiden Bedingungen ist wieder durch die Klassifikation von singulärer Kohomologie durch Eilenberg-MacLane-Räume gegeben. Die der Chern-Klasse entsprechende singuläre Kohomologieklasse ist die des universellen Vektorbündels, also $c_k({\gamma }_{ℂ}^n)\in H^{2k}(\mathrm{BU}(n),\mathbb{Z})$.

Ein einfaches Beispiel, welches die Notwendigkeit für eine weitere Sicht und die Beschreibung durch höhere Strukturen motiviert, ist der klassifizierende Raum $\mathrm{BU}(1)\cong ℂP^{\mathrm{\infty }}$. Dieser hat eine H-Raum-Struktur, welche bis auf Homotopie eindeutig ist, wodurch sich erneut der klassifizierende Raum betrachten lässt, welcher mit ${\mathrm{B}}^{\mathrm{2}}\mathrm{U}(1)$ notiert wird. Wegen dieser Eigenschaft ist $\mathrm{U}(1)\cong S^1$ eine 2-Gruppe und ${\mathrm{B}}^{\mathrm{2}}\mathrm{U}(1)$ ein Lie-2-Gruppoid. Die Bildung des klassifizierenden Raumes verschiebt die Homotopiegruppen eins hinauf, also sind $\mathrm{U}(1)$, $\mathrm{BU}(1)$ und ${\mathrm{B}}^{\mathrm{2}}\mathrm{U}(1)$ jeweils die Eilenberg-MacLane-Räume $K(\mathbb{Z},1)$, $K(\mathbb{Z},2)$ und $K(\mathbb{Z},3)$. Dadurch benötigt die Beschreibung des Eilenberg-MacLane-Raumes $K(\mathbb{Z},2k)$ die Wiederholung dieses Prozesses, wofür der Wechsel zu ∞-Gruppen nötig ist. Da Schleifenräume die Homotopiegruppen eins hinab verschieben, ist der klassifizierende Raum in der ∞-Kategorie $\mathrm{Top}$ der topologischen Räume allgemeiner als Entschleifung bekannt. Im ∞-Topos $\mathrm{\infty }\mathrm{Grpd}$ der ∞-Gruppoide korrespondiert diese mit der Bildung der ∞-Kategorie mit einem Objekt.

∞-Chern-Weil-Homomorphismus

Sei $𝐇$ ein ∞-Topos. Das fundamentale ∞-Gruppoid $\mathrm{\Pi }:𝐇\to \mathrm{\infty }\mathrm{Grpd}$ hat einen rechtsadjungierten Funktor $\mathrm{Disc}:\mathrm{\infty }\mathrm{Grpd}\to 𝐇$, welcher wieder einen rechtsadjungierten Funktor $\mathrm{\Gamma }:𝐇\to \mathrm{\infty }\mathrm{Grpd}$ hat, sodass $\mathrm{\Pi }⊣\mathrm{Disc}⊣\mathrm{\Gamma }$. Seien $\int :=\mathrm{Disc}\circ \mathrm{\Pi }:𝐇\to 𝐇$ und $\mathrm{♭}:=\mathrm{Disc}\circ \mathrm{\Gamma }:𝐇\to 𝐇$, dann gibt es eine Adjunktion $\int ⊣\mathrm{♭}$.

Seien $G$ ein ∞-Gruppoid und $𝐁G$ dessen Entschleifung. Eine charakteristische Klasse ist ein Morphismus $c:𝐁G\to {𝐁}^n\mathrm{U}(1)$. Die Koeinheit von $\mathrm{Disc}⊣\mathrm{\Gamma }$ erzeugt eine kanonische Abbildung $\mathrm{♭}𝐁G\to 𝐁G$. Dessen Homotopiefaser, welche die Obstruktion für die Existenz von flachen Hebungen angibt, wird mit ${\mathrm{♭}}_{\mathrm{d}\mathrm{R}}𝐁G$ notiert (wobei dR für de Rham steht), womit es eine Sequenz ${\mathrm{♭}}_{\mathrm{d}\mathrm{R}}𝐁G\to \mathrm{♭}𝐁G\to 𝐁G$ gibt. Im Fall von $G={𝐁}^{n-1}\mathrm{U}(1)$ gibt es einen als Krümmung bezeichneten verbindenden Morphismus $\mathrm{curv}:{𝐁}^n\mathrm{U}(1)\to {\mathrm{♭}}_{\mathrm{d}\mathrm{R}}{𝐁}^{n+1}\mathrm{U}(1)$, welcher die Sequenz erweitert und sogar alle miteinander verbindet. Für ein ∞-Gruppoid $G$ ist die Komposition:

$\mathrm{curv}\circ c:𝐁G\to {\mathrm{♭}}_{\mathrm{d}\mathrm{R}}{𝐁}^{n+1}\mathrm{U}(1)$

der ∞-Chern-Weil-Homomorphism. Durch Nachkomposition ordnet dieser einem $G$-∞-Hauptfaserbündel $X\to 𝐁G$ eine de Rham-Kohomologieklasse $X\to {\mathrm{♭}}_{\mathrm{d}\mathrm{R}}{𝐁}^{n+1}\mathrm{U}(1)$ zu, alternativ geschrieben als Morphismus $H(X,G)\to H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^{n+1}(X)$ mit intrinsischer und de Rham-Kohomologie:

$H(X,G):={\pi }_0𝐇(X,𝐁G);$

$H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^n(X,G):={\pi }_0𝐇(X,{\mathrm{♭}}_{\mathrm{d}\mathrm{R}}𝐁G).$

Zusätzlich gibt es ebenfalls die flache differentielle $G$-wertige Kohomologie:

$H_{\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}}(X,G):={\pi }_0𝐇(X,\mathrm{♭}𝐁G)\cong {\pi }_0𝐇(\int X,𝐁G)$

wobei der kanonische Morphismus $\mathrm{♭}𝐁G\to 𝐁G$ einen Vergissmorphismus $H_{\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}}(X,G)\to H(X,G)$ induziert.

Siehe auch

• ∞-Chern-Simons-Theorie

Literatur

• Vorlage:Cite book
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Weblinks

• Chern-Weil theory in Smooth∞Grpd auf nLab (englisch)