Äquivarianter Indexsatz

In der Mathematik ist der äquivariante Indexsatz eine von Michael Atiyah, Graeme Segal und Isadore Singer bewiesene Formel für die Superspur von Elementen einer mit einem Dirac-Operator kommutierenden Gruppenwirkung, die die Berechnung des äquivarianten Indexes von Dirac-Operatoren aus dem $\hat{A}$-Geschlecht der Fixpunktmenge und dem äquivarianten Chern-Charakter ermöglicht. Als Spezialfall erhält man die Fixpunktformel von Atiyah–Bott.

Definition des äquivarianten Index

Sei $\pi :E=E^{+}\oplus E^{-}\to M$ ein Bündel von Clifford-Moduln mit $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-Gradierung, und $G$ eine kompakte Lie-Gruppe, die auf $E$ und $M$ wirkt, so dass $\pi$ äquivariant ist. Auf $E$ habe man einen mit der Clifford-Wirkung kompatiblen $G$-invarianten Zusammenhang. Sei $D$ der assoziierte Dirac-Operator mit Einschränkungen $D^{\pm }:\mathrm{\Gamma }(M,E^{\pm })\to \mathrm{\Gamma }(M,E^{\mp })$.

Dann kommutiert $D$ mit der $G$-Wirkung und der Kern $Ker(D)$ ist eine endlich-dimensionale Darstellung von $G$. Der äquivariante Index von $D$ ist dann definiert als der Charakter dieser Darstellung, also als die Superspur

$In{d}_G(g,D):=\mathrm{str}(g\mid \ker D)=\mathrm{tr}(g\mid \ker D^{+})-\mathrm{tr}(g\mid \ker D^{-}).$

Für $g=id$ erhält man den Fredholm-Index von $D$.

Atiyah-Bott-Fixpunktformel

Als eine Anwendung der Atiyah-Bott-Fixpunktformel erhält man für ein $\mathbb{Z}$-gradiertes Hermitesches Vektorbündel $E$ über einer Riemannschen Mannigfaltigkeit $M$: Wenn $D$ ein Differentialoperator erster Ordnung auf den Schnitten $\mathrm{\Gamma }(M,E)$ ist mit $D^2=0$ und $D{D}^{*}+D^{*}D$ ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator, und wenn die Wirkung von $g\in G$ auf $M$ nur isolierte nicht-ausgeartete Fixpunkte hat und sich zu einer mit $D$ kommutierenden Bündelabbildung von $E$ heben lässt, dann ist

$in{d}_G(g,D)=\sum _{x\in M^g}\frac{Str(g_x^E)}{|\det (1-g_x^{-1})|}$

mit $M^g=\{x\in M:gx=x\}$.

Asymptotische Entwicklung

Sei $⟨x|e^{-t{D}^2}|y⟩$ der Integralkern des Operators $g{e}^{-t{D}^2}$ und $k_t(g,x)=⟨x|e^{-t{D}^2}|x⟩$. Dann hat $k_t(g,.)$ für $t\to 0$ eine asymptotische Entwicklung

$k_t(g,.)\sim (4\pi t{)}^{-\frac{1}{2}dim{M}^g}\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{t}^i{\mathrm{\Phi }}_i(g,.)$

mit $supp({\mathrm{\Phi }}_i(g,.))\subset M^g=\{x\in M:gx=x\}$. Das Symbol von ${\mathrm{\Phi }}_i(g,.)$ ist

$\frac{\hat{A}(M^g)\exp (-F_0^E{\sigma }_{\dim (N{M}^g)}{g}^E}{{\det }^{\frac{1}{2}}(1-g_1){\det }^{\frac{1}{2}}(1-g_1\exp (-R^1))}$,

wobei $N{M}^g$ das Normalenbündel der Fixpunktmenge bezeichnet.

Aussage des äquivarianten Indexsatzes

Der äquivariante Index eines äquivarianten Dirac-Operators kann berechnet werden als

$in{d}_G(g,D)=i^{-\frac{1}{2}\dim (M)}\underset{M^g}{\int }(2\pi {)}^{-\frac{1}{2}\dim (M^g)}{T}_M\left(\frac{\hat{A}\left(M^g\right)c{h}_G(g,E)}{{\det }^{\frac{1}{2}}(1-g_1\exp (-R^1)))}\right)|\mathrm{d}{x}_0|$.

Hierbei bezeichnet $\hat{A}(M^g)$ das Â-Geschlecht der Fixpunktmenge $M^g$, $c{h}_G$ den äquivarianten Chern-Charakter und $T_M$ das Berezin-Integral.

Literatur

• Berline, Nicole; Getzler, E.; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels and Dirac Operators, Berlin, New York: Springer-Verlag