Lucas-Folge

Unter der Lucas-Folge versteht man zwei unterschiedliche Dinge:

Einerseits die Folge der Lucas-Zahlen

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, 15127, … (Vorlage:OEIS)

bei der jedes Folgenglied (ab dem dritten) die Summe der beiden vorhergehenden ist.

Andererseits die beiden allgemeinen Lucas-Folgen $U_{n} (P, Q)$ und $V_{n} (P, Q)$ , die abhängig von den Parametern $P$ und $Q$ als diejenigen Folgen definiert sind, die

U_{0} = 0, U_{1} = 1

bzw.

V_{0} = 2, V_{1} = P

erfüllen und den Rekursionsformeln

U_{n} = P U_{n - 1} - Q U_{n - 2}

bzw.

V_{n} = P V_{n - 1} - Q V_{n - 2}

für

n > 1

genügen.

Die Lucas-Folgen sind nach dem französischen Mathematiker Édouard Lucas benannt, der sich als erster mit ihnen beschäftigt hat.

Beispiele

Sei $P = 1$ und $Q = - 1$ . Dann ist $U_{n} (P, Q) = U_{n} (1, - 1)$ die folgende Folge:

U_{0} = 0, U_{1} = 1,

U_{2} = P U_{1} - Q U_{0} = 1 \cdot 1 - (- 1) \cdot 0 = 1,

U_{3} = P U_{2} - Q U_{1} = 1 \cdot 1 - (- 1) \cdot 1 = 2,

U_{4} = P U_{3} - Q U_{2} = 1 \cdot 2 - (- 1) \cdot 1 = 3,

U_{5} = P U_{4} - Q U_{3} = 1 \cdot 3 - (- 1) \cdot 2 = 5, \dots

Kurz geschrieben erhält man die Fibonacci-Folge:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, … (Vorlage:OEIS)

Sei $P = 1$ und $Q = - 1$ . Dann ist $V_{n} (P, Q) = V_{n} (1, - 1)$ die folgende Folge:

V_{0} = 2, V_{1} = P = 1,

V_{2} = P V_{1} - Q V_{0} = 1 \cdot 1 - (- 1) \cdot 2 = 3,

V_{3} = P V_{2} - Q V_{1} = 1 \cdot 3 - (- 1) \cdot 1 = 4,

V_{4} = P V_{3} - Q V_{2} = 1 \cdot 4 - (- 1) \cdot 3 = 7,

V_{5} = P V_{4} - Q V_{3} = 1 \cdot 7 - (- 1) \cdot 4 = 11, \dots

Kurz geschrieben erhält man eine Folge, die man ebenfalls kurz spezielle Lucas-Folge (oder noch einfacher nur Lucas-Folge) nennt, nämlich:

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, 15127, 24476, 39603, 64079, 103682, … (Vorlage:OEIS)

Die einzelnen Zahlen dieser Folge nennt man Lucas-Zahlen, auf die weiter unten näher eingegangen wird.

In einer Tabelle zusammengefasst erhält man für gewisse Startwerte für $P$ und $Q$ die Tabelle im Abschnitt Spezialfälle.

Explizite Formeln

Vorbereitung

Zur Bestimmung der Folgenglieder der allgemeinen Lucas-Folge muss vorbereitend die zugeordnete quadratische Gleichung gelöst werden.

Für die expliziten Formeln werden die beiden Lösungen $a$ und $b$ der quadratischen Gleichung $x^{2} - P x + Q = 0$ benötigt. Es sind dies

a = \frac{P}{2} + \sqrt{\frac{P^{2}}{4} - Q} = \frac{P + \sqrt{P^{2} - 4 Q}}{2}

und

b = \frac{P}{2} - \sqrt{\frac{P^{2}}{4} - Q} = \frac{P - \sqrt{P^{2} - 4 Q}}{2}

Ist $P^{2} - 4 Q < 0$ , so ist eine der beiden komplexen Wurzeln zu wählen. Welche der beiden Zahlen $a$ und welche $b$ genannt wird, ist hierbei nicht von Belang.

Die Parameter $P$ und $Q$ und die Werte $a$ und $b$ sind voneinander abhängig, es gilt umgekehrt

P = a + b, Q = a \cdot b .

(Satz von Vieta)

Die Formeln für $a$ und $b$ lassen sich in Bezug auf die Potenzen verallgemeinern. Und zwar gilt:

a^{n} = \frac{V_{n} + U_{n} \sqrt{P^{2} - 4 Q}}{2}

b^{n} = \frac{V_{n} - U_{n} \sqrt{P^{2} - 4 Q}}{2}

Die allgemeinen Lucas-Folgen

Falls $P^{2} - 4 Q \neq 0$ gilt, oder äquivalent dazu: falls die Zahlen $a$ und $b$ verschieden sind, so berechnet sich das Glied der allgemeinen Lucas-Folge $U_{n} (P, Q)$ nach folgender Formel:

U_{n} (P, Q) = \frac{a^{n} - b^{n}}{a - b}

für alle $n \geq 0$ . Im Spezialfall $P^{2} - 4 Q = 0$ gilt stattdessen

U_{n} (P, Q) = n a^{n - 1} = n {(\frac{P}{2})}^{n - 1} .

Das Glied der allgemeinen Lucas-Folge $V_{n} (P, Q)$ berechnet sich nach folgender Formel:

V_{n} (P, Q) = a^{n} + b^{n}

für alle $n \geq 0$

Beziehungen zwischen den Folgegliedern

Eine Auswahl der Beziehungen zwischen den Folgengliedern ist:^[1]

$U_{2 n} = U_{n} \cdot V_{n}$
$V_{n} = U_{n + 1} - Q U_{n - 1}$
$V_{2 n} = V_{n}^{2} - 2 Q^{n}$
$ggT (U_{m}, U_{n}) = U_{ggT (m, n)}$ , falls $ggT (P, Q) = 1$
$m ∣ n ⟹ U_{m} ∣ U_{n}$ ; für alle $U_{m} \neq 1$

Spezialfälle

Es folgen ein paar Spezialfälle, die zu Folgen führen, die in der Mathematik eine wichtige Rolle spielen und deswegen sogar eigene Namen haben:

$P$	$Q$	$a$	$b$	$U (P, Q)$	$V (P, Q)$
$1$	$- 1$	$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$	$\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$	$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \dots$ (Vorlage:OEIS) (Fibonacci-Folge)	$2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, \dots$ (Vorlage:OEIS) ((spezielle) Lucas-Folge)
$1$	$- 2$	$2$	$- 1$	$0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, \dots$ (Vorlage:OEIS) (Jacobsthal-Folge)	$2, 1, 5, 7, 17, 31, 65, 127, 257, 511, \dots$ (Vorlage:OEIS) (Jacobsthal-Lucas-Folge)
$2$	$- 1$	$1 + \sqrt{2}$	$1 - \sqrt{2}$	$0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, \dots$ (Vorlage:OEIS) (Pell-Folge)	$2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, 2786, \dots$ (Vorlage:OEIS) (Companion Pell-Folge, Pell-Lucas-Folge)
$3$	$2$	$2$	$1$	$0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, \dots$ (Vorlage:OEIS) (Mersenne-Zahl-Folge)	$2, 3, 5, 9, 17, 33, 65, 129, 257, 513, \dots$ (Vorlage:OEIS) (Zahlen der Form $2^{n} + 1$ (enthalten die Fermat-Zahlen))
$A$	$- 1$	$\frac{A + \sqrt{A^{2} + 4}}{2}$	$\frac{A - \sqrt{A^{2} + 4}}{2}$	Fibonacci-Polynome	Lucas-Polynome
$2 A$	$1$	$A + \sqrt{A^{2} - 1}$	$A - \sqrt{A^{2} - 1}$	Tschebyschow-Polynome zweiter Art	Tschebyschow-Polynome erster Art, mit $2$ multipliziert
$A + 1$	$A$	$A$	$1$	$a_{i} = 1 + a_{i - 1} \cdot A$ mit $a_{0} = 0$ Repunits zur Basis A	$(A^{n} + 1)$ -Folge

Es gibt aber auch viele weitere Spezialfälle, die zu Folgen führen, die einen OEIS-Eintrag haben und somit in der Mathematik ebenfalls eine gewisse Rolle spielen. Es folgen ein paar Beispiele:

$P$	$Q$	$a$	$b$	$U (P, Q)$	$V (P, Q)$
$1$	$1$			$0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 1, - 1, - 2, - 1, 1, 2, 1, - 1, - 2, \dots$ (Vorlage:OEIS)
$1$	$2$			$0, 1, 1, - 1, - 3, - 1, 5, 7, - 3, - 17, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 1, - 3, - 5, 1, 11, 9, - 13, - 31, - 5, \dots$ (Vorlage:OEIS)
$2$	$1$	$1$	$1$	$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, \dots$ (Vorlage:OEIS)
$2$	$2$			$0, 1, 2, 2, 0, - 4, - 8, - 8, 0, 16, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 2, 0, - 4, - 8, - 8, 0, 16, 32, 32, \dots$ (Vorlage:OEIS)
$2$	$3$			$0, 1, 2, 1, - 4, - 11, - 10, 13, 56, 73, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 2, - 2, - 10, - 14, 2, 46, 86, 34, - 190, \dots$
$2$	$4$			$0, 1, 2, 0, - 8, - 16, 0, 64, 128, 0, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 2, - 4, - 16, - 16, 32, 128, 128, - 256, - 1024, \dots$
$2$	$5$			$0, 1, 2, - 1, - 12, - 19, 22, 139, 168, - 359, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 2, - 6, - 22, - 14, 82, 234, 58, - 1054, - 2398, \dots$
$3$	$- 10$	$5$	$- 2$	$0, 1, 3, 19, 87, 451, 2223, 11179, 55767, 279091, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 3, 29, 117, 641, 3093, 15689, 77997, 390881, 1952613, \dots$
$3$	$- 5$			$0, 1, 3, 14, 57, 241, 1008, 4229, 17727, 74326, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 3, 19, 72, 311, 1293, 5434, 22767, 95471, 400248, \dots$ (Vorlage:OEIS)
$3$	$- 4$	$4$	$- 1$	$0, 1, 3, 13, 51, 205, 819, 3277, 13107, 52429, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 3, 17, 63, 257, 1023, 4097, 16383, 65537, 262143, \dots$ (Vorlage:OEIS)
$3$	$- 3$			$0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 3, 15, 54, 207, 783, 2970, 11259, 42687, 161838, \dots$ (Vorlage:OEIS)
$3$	$- 2$			$0, 1, 3, 11, 39, 139, 495, 1763, 6279, 22363, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 3, 13, 45, 161, 573, 2041, 7269, 25889, 92205, \dots$ (Vorlage:OEIS)
$3$	$- 1$			$0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 3, 11, 36, 119, 393, 1298, 4287, 14159, 46764, \dots$ (Vorlage:OEIS)
$3$	$1$			$0, 1, 3, 8, 21, 55, 144, 377, 987, 2584, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 3, 7, 18, 47, 123, 322, 843, 2207, 5778, \dots$ (Vorlage:OEIS)
$3$	$5$			$0, 1, 3, 4, - 3, - 29, - 72, - 71, 147, 796, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 3, - 1, - 18, - 49, - 57, 74, 507, 1151, 918, \dots$
$4$	$- 5$	$5$	$- 1$	$0, 1, 4, 21, 104, 521, 2604, 13021, 65104, 325521, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 4, 26, 124, 626, 3124, 15626, 78124, 390626, 1953124, \dots$ (Vorlage:OEIS)
$4$	$- 3$			$0, 1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008, 190513, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 4, 22, 100, 466, 2164, 10054, 46708, 216994, 1008100, \dots$ (Vorlage:OEIS)
$4$	$- 2$			$0, 1, 4, 18, 80, 356, 1584, 7048, 31360, 139536, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 4, 20, 88, 392, 1744, 7760, 34528, 153632, 683584, \dots$
$4$	$- 1$			$0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 4, 18, 76, 322, 1364, 5778, 24476, 103682, 439204, \dots$ (Vorlage:OEIS)
$4$	$1$			$0, 1, 4, 15, 56, 209, 780, 2911, 10864, 40545, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 4, 14, 52, 194, 724, 2702, 10084, 37634, 140452, \dots$ (Vorlage:OEIS)
$4$	$2$			$0, 1, 4, 14, 48, 164, 560, 1912, 6528, 22288, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 4, 12, 40, 136, 464, 1584, 5408, 18464, 63040, \dots$ (Vorlage:OEIS)
$4$	$3$	$3$	$1$	$0, 1, 4, 13, 40, 121, 364, 1093, 3280, 9841, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 4, 10, 28, 82, 244, 730, 2188, 6562, 19684, \dots$ (Vorlage:OEIS)
$4$	$4$	$2$	$2$	$0, 1, 4, 12, 32, 80, 192, 448, 1024, 2304, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, \dots$ (Vorlage:OEIS)
$5$	$- 6$	$6$	$- 1$	$0, 1, 5, 31, 185, 1111, 6665, 39991, 239945, 1439671, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 5, 37, 215, 1297, 7775, 46657, 279935, 1679617, 10077695, \dots$ (Vorlage:OEIS)
$5$	$- 3$			$0, 1, 5, 28, 155, 859, 4760, 26377, 146165, 809956, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 5, 31, 170, 943, 5225, 28954, 160445, 889087, 4926770, \dots$
$5$	$- 2$			$0, 1, 5, 27, 145, 779, 4185, 22483, 120785, 648891, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 5, 29, 155, 833, 4475, 24041, 129155, 693857, 3727595, \dots$
$5$	$- 1$			$0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 5, 27, 140, 727, 3775, 19602, 101785, 528527, 2744420, \dots$ (Vorlage:OEIS)
$5$	$1$			$0, 1, 5, 24, 115, 551, 2640, 12649, 60605, 290376, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 5, 23, 110, 527, 2525, 12098, 57965, 277727, 1330670, \dots$ (Vorlage:OEIS)
$5$	$4$	$4$	$1$	$0, 1, 5, 21, 85, 341, 1365, 5461, 21845, 87381, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 5, 17, 65, 257, 1025, 4097, 16385, 65537, 262145, \dots$ (Vorlage:OEIS)
$8$	$- 9$	$9$	$- 1$	$0, 1, 8, 73, 656, 5905, 53144, 478297, 4304672, 38742049, \dots$ (Vorlage:OEIS)	$2, 8, 82, 728, 6562, 59048, 531442, 4782968, 43046722, 387420488, \dots$

Die allgemeinen Lucas-Folgen U(P,Q), V(P,Q) und die Primzahlen

Die allgemeinen Lucas-Folgen $U (P, Q)$ und $V (P, Q)$ haben für ganzzahlige Parameter $P$ und $Q$ eine spezielle Eigenschaft hinsichtlich der Teilbarkeit durch Primzahlen. Diese Eigenschaft wurde für Verfahren zur Bestimmung der Primalität einer Zahl angewandt (siehe auch Lucas-Lehmer-Test).^[2]

Die Folgen U(P,Q)

Für alle Lucas-Folgen $U_{n} (P, Q) = \frac{a^{n} - b^{n}}{a - b}$ gilt:

Ist p eine Primzahl, so ist

U_{p} (P, Q) - (\frac{D}{p})

durch p teilbar.

Dabei ist $(\frac{D}{p})$ das Legendre-Symbol.

Es existieren auch zusammengesetzte Zahlen, die diese Bedingung erfüllen. Diese Zahlen nennt man Lucas-Pseudoprimzahlen.

Die Folgen V(P,Q)

Für alle Lucas-Folgen $V_{n} (P, Q) = a^{n} + b^{n}$ gilt:

Ist p eine Primzahl, so ist

V_{p} (P, Q) - P

durch

p

teilbar.

Eine zusammengesetzte Zahl, die diese Bedingung (im Fall von $P > 0$ und $Q = \pm 1$ ) erfüllt, heißt Fibonacci-Pseudoprimzahl.

Besonders interessant ist die Teilbarkeitsbedingung für die Folge $V_{n} (3, 2) = a^{n} + b^{n} = 2^{n} + 1$ . Für diese Folge gilt nämlich:

Wenn

n

eine Primzahl ist, dann gilt:

n

teilt

2^{n} + 1 - 3 = 2^{n} - 2

.

Dies ist eine spezielle Form des kleinen Fermatschen Satz.

Analog zu $a^{p} \equiv a mod p$ gilt hier $V_{p} (a + 1, a) \equiv V_{1} (a + 1, a) mod p$ .

Die spezielle Lucas-Folge

Die allgemein als Lucas-Folge bekannte Folge $L_{n}$ der Lucas-Zahlen 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, … lässt sich außer durch die Rekursion $L_{n} = L_{n - 1} + L_{n - 2}$ mit den Anfangswerten $L_{0} = 2$ und $L_{1} = 1$ auch wie folgt erzeugen:

Wie im allgemeinen Fall für die Folgen $V_{n}$ erwähnt, über die Formel von Binet (nach Jacques Philippe Marie Binet):
$L_{n} = {(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} + {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n}$ , da $a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ und $b = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ gilt. a ist übrigens die goldene Zahl $Φ$ .
Eine andere rekursive Formel (mit Gaußklammer):
$L_{n + 1} = ⌊ \frac{L_{n} (1 + \sqrt{5}) + 1}{2} ⌋$
Als Summe zweier Glieder der Fibonacci-Folge:
$L_{n} = f_{n - 1} + f_{n + 1}$ .

Nach 1) lässt sich alternativ auch $L_{n} = Φ^{n} + (1 - Φ)^{n}$ schreiben. Da für $n > 1$ der Betrag von $(1 - Φ)^{n}$ stets kleiner 0,5 ist, ergibt sich die Eigenschaft, dass die $n$ -te ( $n > 1$ ) Lucaszahl dem gerundeten Wert der Golden Zahl zur Potenz $n$ entspricht: $L_{n} = ⌊ Φ^{n} + \frac{1}{2} ⌋$ .

Reziproke Reihe

Der Grenzwert der absolut konvergierenden reziproken Reihe spezieller Lucas-Zahlen

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{L_{2^{n}}}$

ist irrational.^[3]

Vorlage:Anker Lucas-Primzahlen

Eine Lucas-Primzahl ist eine Lucas-Zahl, die prim ist. Die kleinsten Lucas-Primzahlen lauten:

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, 119218851371, 5600748293801, 688846502588399, 32361122672259149, 412670427844921037470771, … (Vorlage:OEIS)

Für diese Lucas-Primzahlen ist der Index $n$ von $L_{n}$ der folgende:

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, 10691, 12251, 13963, 14449, 19469, 35449, 36779, 44507, 51169, 56003, 81671, 89849, 94823, 140057, 148091, 159521, 183089, 193201, 202667, 344293, 387433, 443609, 532277, 574219, 616787, 631181, 637751, 651821, 692147, 901657, 1051849, … (Vorlage:OEIS)

Beispiel:

Es ist

L_{6} = 18

und

L_{5} = 11

. Somit ist

L_{7} = L_{6} + L_{5} = 18 + 11 = 29 \in ℙ

eine Primzahl. Tatsächlich taucht der Index

n = 7

in obiger Liste an der 5. Stelle auf, weil er zur fünftkleinsten Lucas-Primzahl

L_{7} = 29

führt.

Es gelten folgende zwei Eigenschaften für Lucas-Primzahlen:

Wenn $L_{n}$ eine Primzahl ist, dann ist der Index $n$ entweder gleich $0$ oder eine selbst Primzahl oder eine Zweierpotenz.^[4]
$L_{2^{m}}$ ist eine Primzahl für $m \in {1, 2, 3, 4}$ . Für keine anderen bekannten Werte von $m$ erhält man weitere Primzahlen.

Es wird vermutet, dass es unendlich viele Lucas-Primzahlen gibt.^[4]

Zusammenhang zur Artinschen Konstante

Die Artinsche Konstante, benannt nach Emil Artin, ist definiert durch

C_{A r t i n} = \prod_{p Primzahl} (1 - \frac{1}{p (p - 1)}) = (1 - \frac{1}{2 \cdot 1}) (1 - \frac{1}{3 \cdot 2}) (1 - \frac{1}{5 \cdot 4}) \dots = 0, 3739558136 \dots .

Dabei bezeichnet $\prod$ das Produktsymbol, wobei sich das Produkt über alle Primzahlen erstreckt. Die Konstante $C_{A r t i n}$ taucht in einer tiefen Vermutung von Artin über die asymptotische Dichte von Primzahlen, die Primitivwurzeln zu einer gegebenen Zahl sind, auf.^[5] Eine Primitivwurzel zu einer Primzahl $p$ ist eine ganze Zahl, deren Potenzen, bis auf Vielfache von $p$ , alle Zahlen zwischen $1 \leq n \leq p - 1$ erzeugen können. Zum Beispiel ist $3$ eine Primitivwurzel bezüglich $p = 5$ , denn die ersten echten Potenzen der $3$ sind $3, 9, 27, 81$ und bis auf Vielfache von $5$ entspricht dies den Zahlen $3, 4, 2, 1$ . Die Artinsche Vermutung besagt, grob gesprochen, dass zu festem $a$ die Menge der Primzahlen, so dass $a$ eine Primitivwurzel zu $p$ ist, die asymptotische Dichte $C_{A r t i n}$ innerhalb aller Primzahlen hat. Also haben ca. 37 % der Primzahlen diese Eigenschaft, unabhängig von $a$ . Jedoch muss $a$ dafür bestimmte Voraussetzungen erfüllen.

Bezeichnet $L_{n}$ die $n$ -te Lucas-Zahl, so gilt die Formel

C_{A r t i n} = \prod_{n = 2}^{\infty} ζ (n)^{- \frac{1}{n} \sum_{k | n} L_{k} μ (\frac{n}{k})} = \frac{1}{ζ (2) ζ (3) ζ (4) ζ (5)^{2} ζ (6)^{2} ζ (7)^{4} ζ (8)^{5} ζ (9)^{8} \dots} .

Dabei bedeutet $k | n$ in der Summe, dass $k > 0$ die Zahl $n$ teilt, und es ist $μ$ die Möbiusfunktion sowie $ζ$ die Riemannsche Zeta-Funktion.^[6]

Siehe auch

lineare Differenzengleichung

Literatur

Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen. Springer Verlag, 1996

Weblinks

Einzelnachweise

↑ Siehe Ribenboim: Die Welt der Primzahlen, S. 44–70.
↑ Siehe das schon angegebene Kapitel im Buch von Ribenboim.
↑ Paulo Ribenboim: Meine Zahlen, meine Freunde: Glanzlichter der Zahlentheorie. Springer-Lehrbuch, 2009, ISBN 978-3-540-87955-8, S. 323.
↑ ^4,0 ^4,1 Vorlage:Internetquelle
↑ S. R. Finch: Mathematical Constants, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94, Cambridge University Press, 2003, S. 104.
↑ S. R. Finch: Mathematical Constants, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94, Cambridge University Press, 2003, S. 105.

[1] Siehe Ribenboim: Die Welt der Primzahlen, S. 44–70.

[2] Siehe das schon angegebene Kapitel im Buch von Ribenboim.

[3] Paulo Ribenboim: Meine Zahlen, meine Freunde: Glanzlichter der Zahlentheorie. Springer-Lehrbuch, 2009, ISBN 978-3-540-87955-8, S. 323.

[PrimePages-4] 4,0 ^4,1 Vorlage:Internetquelle

[5] S. R. Finch: Mathematical Constants, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94, Cambridge University Press, 2003, S. 104.

[6] S. R. Finch: Mathematical Constants, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94, Cambridge University Press, 2003, S. 105.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Lucas-Folge

Inhaltsverzeichnis

Beispiele

Explizite Formeln

Vorbereitung

Die allgemeinen Lucas-Folgen

Beziehungen zwischen den Folgegliedern

Spezialfälle

Die allgemeinen Lucas-Folgen U(P,Q), V(P,Q) und die Primzahlen

Die Folgen U(P,Q)

Die Folgen V(P,Q)

Die spezielle Lucas-Folge

Reziproke Reihe

Vorlage:Anker Lucas-Primzahlen

Zusammenhang zur Artinschen Konstante

Siehe auch

Literatur

Weblinks

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Die allgemeinen Lucas-Folgen U(P,Q), V(P,Q) und die Primzahlen

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