Fermat-Zahl

Eine Fermat-Zahl, benannt nach dem französischen Mathematiker Pierre de Fermat, ist eine Zahl der Form

$F_n=2^{2^n}+1$

mit einer ganzen Zahl $n\ge 0$. Die ersten Fermat-Zahlen lauten 3, 5 und 17.

Im August 1640 vermutete Fermat, dass alle Zahlen dieser Form Primzahlen seien. Dies wurde jedoch 1732 von Leonhard Euler widerlegt, der zeigte, dass schon die sechste Fermatzahl F₅ durch 641 teilbar ist. Man kennt außer den ersten fünf (3, 5, 17, 257, 65537) derzeit keine weitere Fermat-Zahl, die gleichzeitig Primzahl ist, und vermutet, dass es außer diesen fünf Zahlen auch keine weitere gibt (siehe Abschnitt weiter unten).

Fermat-Zahlen

Die ersten Fermat-Zahlen lauten $F_0=3,F_1=5,F_2=17,F_3=257$ und $F_4=65537$.

Eine etwas längere Liste bis $F_{14}$ findet man in der folgenden aufklappbaren Box. Vorlage:NavFrame

Liste der ersten 15 Fermat-Zahlen

n	Dezimal- stellen von Fn	Fn
Vorlage:00	1	3
Vorlage:01	1	5
Vorlage:02	2	17
Vorlage:03	3	257
Vorlage:04	5	65.537
Vorlage:05	10	4.294.967.297
Vorlage:06	20	18.446.744.073.709.551.617
Vorlage:07	39	340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457
Vorlage:08	78	115.792.089.237.316.195.423.570.985.008.687.907.853.269.984.665.640.564.039.457.584.007.913.129.639.937
Vorlage:09	155	13.407.807.929.942.597.099.574.024.998.205.846.127.479.365.820.592.393.377.723.561.443.721.764.030.073.546.976.801.874.298.166.903.427.690.031.858.186.486.050.853.753.882.811.946.569.946.433.649.006.084.097
10	309	179.769.313.486.231.590.772.930.519.078.902.473.361.797.697.894.230.657.273.430.081.157.732.675.805.500.963.132.708.477.322.407.536.021.120.113.879.871.393.357.658.789.768.814.416.622.492.847.430.639.474.124.377.767.893.424.865.485.276.302.219.601.246.094.119.453.082.952.085.005.768.838.150.682.342.462.881.473.913.110.540.827.237.163.350.510.684.586.298.239.947.245.938.479.716.304.835.356.329.624.224.137.217
11	617	32.317.006.071.311.007.300.714.876.688.669.951.960.444.102.669.715.484.032.130.345.427.524.655.138.867.890.893.197.201.411.522.913.463.688.717.960.921.898.019.494.119.559.150.490.921.095.088.152.386.448.283.120.630.877.367.300.996.091.750.197.750.389.652.106.796.057.638.384.067.568.276.792.218.642.619.756.161.838.094.338.476.170.470.581.645.852.036.305.042.887.575.891.541.065.808.607.552.399.123.930.385.521.914.333.389.668.342.420.684.974.786.564.569.494.856.176.035.326.322.058.077.805.659.331.026.192.708.460.314.150.258.592.864.177.116.725.943.603.718.461.857.357.598.351.152.301.645.904.403.697.613.233.287.231.227.125.684.710.820.209.725.157.101.726.931.323.469.678.542.580.656.697.935.045.997.268.352.998.638.215.525.166.389.437.335.543.602.135.433.229.604.645.318.478.604.952.148.193.555.853.611.059.596.230.657
12	1234	1.044.388.881.413.152.506.691.752.710.716.624.382.579.964.249.047.383.780.384.233.483.283.953.907.971.557.456.848.826.811.934.997.558.340.890.106.714.439.262.837.987.573.438.185.793.607.263.236.087.851.365.277.945.956.976.543.709.998.340.361.590.134.383.718.314.428.070.011.855.946.226.376.318.839.397.712.745.672.334.684.344.586.617.496.807.908.705.803.704.071.284.048.740.118.609.114.467.977.783.598.029.006.686.938.976.881.787.785.946.905.630.190.260.940.599.579.453.432.823.469.303.026.696.443.059.025.015.972.399.867.714.215.541.693.835.559.885.291.486.318.237.914.434.496.734.087.811.872.639.496.475.100.189.041.349.008.417.061.675.093.668.333.850.551.032.972.088.269.550.769.983.616.369.411.933.015.213.796.825.837.188.091.833.656.751.221.318.492.846.368.125.550.225.998.300.412.344.784.862.595.674.492.194.617.023.806.505.913.245.610.825.731.835.380.087.608.622.102.834.270.197.698.202.313.169.017.678.006.675.195.485.079.921.636.419.370.285.375.124.784.014.907.159.135.459.982.790.513.399.611.551.794.271.106.831.134.090.584.272.884.279.791.554.849.782.954.323.534.517.065.223.269.061.394.905.987.693.002.122.963.395.687.782.878.948.440.616.007.412.945.674.919.823.050.571.642.377.154.816.321.380.631.045.902.916.136.926.708.342.856.440.730.447.899.971.901.781.465.763.473.223.850.267.253.059.899.795.996.090.799.469.201.774.624.817.718.449.867.455.659.250.178.329.070.473.119.433.165.550.807.568.221.846.571.746.373.296.884.912.819.520.317.457.002.440.926.616.910.874.148.385.078.411.929.804.522.981.857.338.977.648.103.126.085.903.001.302.413.467.189.726.673.216.491.511.131.602.920.781.738.033.436.090.243.804.708.340.403.154.190.337
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14	4933	1.189.731.495.357.231.765.085.759.326.628.007.130.763.444.687.096.510.237.472.674.821.233.261.358.180.483.686.904.488.595.472.612.039.915.115.437.484.839.309.258.897.667.381.308.687.426.274.524.698.341.565.006.080.871.634.366.004.897.522.143.251.619.531.446.845.952.345.709.482.135.847.036.647.464.830.984.784.714.280.967.845.614.138.476.044.338.404.886.122.905.286.855.313.236.158.695.999.885.790.106.357.018.120.815.363.320.780.964.323.712.757.164.290.613.406.875.202.417.365.323.950.267.880.089.067.517.372.270.610.835.647.545.755.780.793.431.622.213.451.903.817.859.630.690.311.343.850.657.539.360.649.645.193.283.178.291.767.658.965.405.285.113.556.134.369.793.281.725.888.015.908.414.675.289.832.538.063.419.234.888.599.898.980.623.114.025.121.674.472.051.872.439.321.323.198.402.942.705.341.366.951.274.739.014.593.816.898.288.994.445.173.400.364.617.928.377.138.074.411.345.791.848.573.595.077.170.437.644.191.743.889.644.885.377.684.738.322.240.608.239.079.061.399.475.675.334.739.784.016.491.742.621.485.229.014.847.672.335.977.897.158.397.334.226.349.734.811.441.653.077.758.250.988.926.030.894.789.604.676.153.104.257.260.141.806.823.027.588.003.441.951.455.327.701.598.071.281.589.597.169.413.965.608.439.504.983.171.255.062.282.026.626.200.048.042.149.808.200.002.060.993.433.681.237.623.857.880.627.479.727.072.877.482.838.438.705.048.034.164.633.337.013.385.405.998.040.701.908.662.387.301.605.018.188.262.573.723.766.279.240.798.931.717.708.807.901.740.265.407.930.976.419.648.877.869.604.017.517.691.938.687.988.088.008.944.251.258.826.969.688.364.194.133.945.780.157.844.364.946.052.713.655.454.906.327.187.428.531.895.100.278.695.119.323.496.808.703.630.436.193.927.592.692.344.820.812.834.297.364.478.686.862.064.169.042.458.555.136.532.055.050.508.189.891.866.846.863.799.917.647.547.291.371.573.500.701.015.197.559.097.453.040.033.031.520.683.518.216.494.195.636.696.077.748.110.598.284.901.343.611.469.214.274.121.810.495.077.979.275.556.645.164.983.850.062.051.066.517.084.647.369.464.036.640.569.339.464.837.172.183.352.956.873.912.042.640.003.611.618.789.278.195.710.052.094.562.761.306.703.551.840.330.110.645.101.995.435.167.626.688.669.627.763.820.604.342.480.357.906.415.354.212.732.946.756.073.006.907.088.870.496.125.050.068.156.659.252.761.297.664.065.498.347.492.661.798.824.062.312.210.409.274.584.565.587.264.846.417.650.160.123.175.874.034.726.261.957.289.081.466.197.651.553.830.744.424.709.698.634.753.627.770.356.227.126.145.052.549.125.229.448.040.149.114.795.681.359.875.968.512.808.575.244.271.871.455.454.084.894.986.155.020.794.806.980.939.215.658.055.319.165.641.681.105.966.454.159.951.476.908.583.129.721.503.298.816.585.142.073.061.480.888.021.769.818.338.417.129.396.878.371.459.575.846.052.583.142.928.447.249.703.698.548.125.295.775.920.936.450.022.651.427.249.949.580.708.203.966.082.847.550.921.891.152.133.321.048.011.973.883.636.577.825.533.325.988.852.156.325.439.335.021.315.312.134.081.390.451.021.255.363.707.903.495.916.963.125.924.201.167.877.190.108.935.255.914.539.488.216.897.117.943.269.373.608.639.074.472.792.751.116.715.127.106.396.425.081.353.553.137.213.552.890.539.802.602.978.645.319.795.100.976.432.939.091.924.660.228.878.912.900.654.210.118.287.298.298.707.382.159.717.184.569.540.515.403.029.173.307.292.454.391.789.568.674.219.640.761.451.173.600.617.752.186.991.913.366.837.033.887.201.582.071.625.868.247.133.104.513.315.097.274.713.442.728.340.606.642.890.406.496.636.104.443.217.752.811.227.470.029.162.858.093.727.701.049.646.499.540.220.983.981.932.786.613.204.254.226.464.243.689.610.107.429.923.197.638.681.545.837.561.773.535.568.984.536.053.627.234.424.277.105.760.924.864.023.781.629.665.526.314.910.906.960.488.073.475.217.005.121.136.311.870.439.925.762.508.666.032.566.213.750.416.695.719.919.674.223.210.606.724.721.373.471.234.021.613.540.712.188.239.909.701.971.943.944.347.480.314.217.903.886.317.767.779.921.539.892.177.334.344.368.907.550.318.800.833.546.852.344.370.327.089.284.147.501.640.589.448.482.001.254.237.386.680.074.457.341.910.933.774.891.959.681.016.516.069.106.149.905.572.425.810.895.586.938.833.067.490.204.900.368.624.166.301.968.553.005.687.040.285.095.450.484.840.073.528.643.826.570.403.767.157.286.512.380.255.109.954.518.857.013.476.588.189.300.004.138.849.715.883.139.866.071.547.574.816.476.727.635.116.435.462.804.401.112.711.392.529.180.570.794.193.422.686.818.353.212.799.068.972.247.697.191.474.268.157.912.195.973.794.192.807.298.886.952.361.100.880.264.258.801.320.928.040.011.928.153.970.801.130.741.339.550.003.299.015.924.978.259.936.974.358.726.286.143.980.520.112.454.369.271.114.083.747.919.007.803.406.596.321.353.417.004.068.869.443.405.472.140.675.963.640.997.405.009.225.803.505.672.726.465.095.506.267.339.268.892.424.364.561.897.661.906.898.424.186.770.491.035.344.080.399.248.327.097.911.712.881.140.170.384.182.058.601.614.758.284.200.750.183.500.329.358.499.691.864.066.590.539.660.709.069.537.381.601.887.679.046.657.759.654.588.001.937.117.771.344.698.326.428.792.622.894.338.016.112.445.533.539.447.087.462.049.763.409.147.542.099.248.815.521.395.929.388.007.711.172.017.894.897.793.706.604.273.480.985.161.028.815.458.787.911.160.979.113.422.433.557.549.170.905.442.026.397.275.695.283.207.305.331.845.419.990.749.347.810.524.006.194.197.200.591.652.147.867.193.696.254.337.864.981.603.833.146.354.201.700.628.817.947.177.518.115.217.674.352.016.511.172.347.727.727.075.220.056.177.748.218.928.597.158.346.744.541.337.107.358.427.757.919.660.562.583.883.823.262.178.961.691.787.226.118.865.632.764.934.288.772.405.859.754.877.759.869.235.530.653.929.937.901.193.611.669.007.472.354.746.360.764.601.872.442.031.379.944.139.824.366.828.698.790.212.922.996.174.192.728.625.891.720.057.612.509.349.100.482.545.964.152.046.477.925.114.446.500.732.164.109.099.345.259.799.455.690.095.576.788.686.397.487.061.948.854.749.024.863.607.921.857.834.205.793.797.188.834.779.656.273.479.112.388.585.706.424.836.379.072.355.410.286.787.018.527.401.653.934.219.888.361.061.949.671.961.055.068.686.961.468.019.035.629.749.424.086.587.195.041.004.404.915.266.476.272.761.070.511.568.387.063.401.264.136.517.237.211.409.916.458.796.347.624.949.215.904.533.937.210.937.520.465.798.300.175.408.017.538.862.312.719.042.361.037.129.338.896.586.028.150.046.596.078.872.444.365.564.480.545.689.033.575.955.702.988.396.719.744.528.212.984.142.578.483.954.005.084.264.327.730.840.985.420.021.409.069.485.412.320.805.268.520.094.146.798.876.110.414.583.170.390.473.982.488.899.228.091.818.213.934.288.295.679.717.369.943.152.460.447.027.290.669.964.066.817

Wegen $F_{n+1}\approx F_n^2$ hat die Fermatzahl $F_{n+1}$ doppelt so viele oder um eine weniger als doppelt so viele Stellen wie ihr Vorgänger $F_n$.

Fermatsche Primzahlen

Die Idee hinter Fermatschen Primzahlen ist der Satz, dass $2^k+1$ nur für $k=0$ und für $k=2^n$ mit $n\ge 0$ prim sein kann:

$2^k+1\in \mathbb{P}\Rightarrow k=0\vee \mathrm{\exists }n\in {\mathbb{N}}_0:k=2^n$

Beweis des Satzes:

Beweis durch Widerspruch: Man führt die Annahme, dass das zu Beweisende falsch sei, zu einem Widerspruch.

Annahme: $k>0$ und $2^k+1$ ist prim und die Hochzahl $k$ hat einen ungeraden Teiler $c>1$.

Dann gilt

$2^k+1=2^{\frac{k}{c}\cdot c}+1=(2^{\frac{k}{c}}{)}^c+1^c$

mit einer ganzen Zahl $k/c$. Nach Annahme ist $c$ ungerade, also ist diese Summe bekanntlich durch die Summe $2^{\frac{k}{c}}+1$ der beiden Basen teilbar:

$2^k+1=(2^{\frac{k}{c}}{)}^c+1^c=(2^{\frac{k}{c}}+1)\cdot \sum _{j=0}^{c-1}(-1{)}^j\cdot (2^{\frac{k}{c}}{)}^j$

Weil die Zahl $2^k+1$ prim ist, muss ihr Teiler $2^{\frac{k}{c}}+1$ gleich 1 oder gleich $2^k+1$ sein. Aber in Widerspruch dazu ist $2^{\frac{k}{c}}+1$ (wegen $2^{\frac{k}{c}}>0$) größer als 1 und (wegen $k>0\Rightarrow k/c<k$) kleiner als $2^k+1$. Die Annahme, dass sowohl $2^k+1$ prim ist als auch, dass $k$ positiv ist und einen ungeraden Teiler $c>1$ hat, muss daher fallengelassen werden: $2^k+1$ kann nur prim sein, wenn $k$ gleich 0 oder gleich einer Zweierpotenz $2^n$ mit $n\ge 0$ ist, was zu zeigen war. $◻$

Die Umkehrung dieses Satzes, dass also nicht nur (wegen $2^0+1=1+1=2\in \mathbb{P}$ offensichtlich) $2^0+1$, sondern auch jede Fermat-Zahl $F_n=2^{2^n}+1$ prim sei, ist falsch. $F_0$ bis $F_4$ sind sogar die einzigen bisher bekannten Fermatschen Primzahlen.

Schon Fermat zeigte, dass diese ersten fünf Fermat-Zahlen Primzahlen sind, und vermutete 1640, dass dies auf alle Fermat-Zahlen zutreffe. Diese Vermutung wurde aber schon 1732 von Leonhard Euler einfach widerlegt, indem er mit 641 einen echten Teiler von F₅ = 4.294.967.297 fand.

Man vermutet inzwischen, dass außer den ersten fünf keine weiteren Fermatschen Primzahlen existieren. Diese Vermutung beruht auf statistischen Abschätzungen: Der Primzahlsatz besagt, dass die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als x sind, näherungsweise gleich x / ln x ist. Die Primzahldichte oder Wahrscheinlichkeit dafür, dass F_n als ungerade Zahl eine Primzahl ist, beträgt daher näherungsweise 2 / ln F_n ≈ 3 / 2ⁿ. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Fermatzahl F_n oder eine der folgenden Fermatzahlen eine Primzahl ist, ergibt sich durch Summation der geometrische Reihe ungefähr zu 6 / 2ⁿ.

Für verbliebene weder teilweise noch vollständig faktorisierte Fermat-Zahlen ist diese Wahrscheinlichkeit mit etwa 6 ⸱ 10⁻¹⁰ mittlerweile aber sehr klein geworden.

Faktorisierungsergebnisse von Fermat-Zahlen

Die Zahlen F₀ bis F₄ sind, wie schon Fermat erkannt hat, Primzahlen:

n	Fermat-Primzahl Fn
Vorlage:00	3
Vorlage:01	5
Vorlage:02	17
Vorlage:03	257
Vorlage:04	65537

Die Zahlen F₅ bis F₁₁ sind entgegen der Vermutung Fermats zusammengesetzt. Sie sind bereits vollständig faktorisiert:

Liste der zusammengesetzten und vollständig faktorisierten Fermat-Zahlen

n	Entdecker der Faktoren	Primfaktorenzerlegung von Fn
Vorlage:05	Leonhard Euler (1732)	4.294.967.297 (10 Stellen)  = 641 (3 Stellen)  × 6.700.417 (7 Stellen)
Vorlage:06	Clausen (1855), Landry & Le Lasseur (1880)	18.446.744.073.709.551.617 (20 Stellen)  = 274.177 (6 Stellen)  × 67.280.421.310.721 (14 Stellen)
Vorlage:07	Morrison & Brillhart (1970)	340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457 (39 Stellen)  = 59.649.589.127.497.217 (17 Stellen)  × 5.704.689.200.685.129.054.721 (22 Stellen)
Vorlage:08	Brent & Pollard (1980)	115.792.089.237.316.195.423.570.985.008.687.907.853.269.984.665.640.564.039.457.584.007.913.129.639.937 (78 Stellen)  = 1.238.926.361.552.897 (16 Stellen)  × 93.461.639.715.357.977.769.163.558.199.606.896.584.051.237.541.638.188.580.280.321 (62 Stellen)
Vorlage:09	Western (1903), Lenstra & Manasse (1990)	13.407.807.929.942.597.099.574.024.998.205.846.127.479.365.820.592.393.377.723.561.443.721.764.030.073.546.976.801.874.298.166.903.427.690.031. 858.186.486.050.853.753.882.811.946.569.946.433.649.006.084.097 (155 Stellen)  = 2.424.833 (7 Stellen)  × 7.455.602.825.647.884.208.337.395.736.200.454.918.783.366.342.657 (49 Stellen)  × 741.640.062.627.530.801.524.787.141.901.937.474.059.940.781.097.519.023.905.821.316.144.415.759.504.705.008.092.818.711.693.940.737 (99 Stellen)
10	Selfridge (1953), Brillhart (1962), Brent (1995)	179.769.313.486.231.590.772.930 … 304.835.356.329.624.224.137.217 (309 Stellen)  = 45.592.577 (8 Stellen)  × 6.487.031.809 (10 Stellen)  × 4.659.775.785.220.018.543.264.560.743.076.778.192.897 (40 Stellen)  × 130.439.874.405.488.189.727.484 … 806.217.820.753.127.014.424.577 (252 Stellen)
11	Cunningham (1899), Brent & Morain (1988)	32.317.006.071.311.007.300.714.8 … 193.555.853.611.059.596.230.657 (617 Stellen)  = 319.489 (6 Stellen)  × 974.849 (6 Stellen)  × 167.988.556.341.760.475.137 (21 Stellen)  × 3.560.841.906.445.833.920.513 (22 Stellen)  × 173.462.447.179.147.555.430.258 … 491.382.441.723.306.598.834.177 (564 Stellen)

Vorlage:NavFrame/Ende Ab F₁₂ ist keine Fermat-Zahl mehr vollständig faktorisiert. Die ersten acht lauten:

Liste der ersten acht der nur teilweise faktorisierten Fermat-Zahlen

n	Entdecker der Faktoren	Primfaktorenzerlegung von Fn
12	Lucas & Perwuschin (1877), Western (1903), Hallyburton & Brillhart (1974), Baillie (1986), Vang, Zimmermann & Kruppa (2010)	1.044.388.881.413.152.506.691.752.710.716 … 340.403.154.190.337 (1234 Stellen)  = 114.689 (6 Stellen)  × 26.017.793 (8 Stellen)  × 63.766.529 (8 Stellen)  × 190.274.191.361 (12 Stellen)  × 1.256.132.134.125.569 (16 Stellen)  ×  568.630.647.535.356.955.169.033.410.940.867.804.839.360.742.060.818.433 (54 Stellen)  × zusammengesetzte Zahl (1133 Stellen)
13	Hallyburton & Brillhart (1974), Crandall (1991), Brent (1995)	1.090.748.135.619.415.929.462.984.244.733 … 665.475.715.792.897 (2467 Stellen)  =  2.710.954.639.361 (13 Stellen)  ×  2.663.848.877.152.141.313 (19 Stellen)  ×  3.603.109.844.542.291.969 (19 Stellen)  ×  319.546.020.820.551.643.220.672.513 (27 Stellen)  × zusammengesetzte Zahl (2391 Stellen)
14	Rajala & Woltman (2010)	1.189.731.495.357.231.765.085.759.326.628 … 290.669.964.066.817 (4933 Stellen)  =  116.928.085.873.074.369.829.035.993.834.596.371.340.386.703.423.373.313 (54 Stellen)  × zusammengesetzte Zahl (4880 Stellen)
15	Kraitchik (1925), Gostin (1987), Crandall & van Halewyn (1997)	1.415.461.031.044.954.789.001.553.027.744 … 104.633.712.377.857 (9865 Stellen)  =  1.214.251.009 (10 Stellen)  ×  2.327.042.503.868.417 (16 Stellen)  ×  168.768.817.029.516.972.383.024.127.016.961 (33 Stellen)  × zusammengesetzte Zahl (9808 Stellen)
16	Selfridge (1953), Crandall & Dilcher (1996)	2.003.529.930.406.846.464.979.072.351.560 … 895.905.719.156.737 (19729 Stellen)  =  825.753.601 (9 Stellen)  ×  188.981.757.975.021.318.420.037.633 (27 Stellen)  × zusammengesetzte Zahl (19694 Stellen)
17	Gostin (1978), Bessell & Woltman (2011)	4.014.132.182.036.063.039.166.060.606.038 … 318.570.934.173.697 (39457 Stellen)  =  31.065.037.602.817 (14 Stellen)  ×  7.751.061.099.802.522.589.358.967.058.392.886.922.693.580.423.169 (49 Stellen)  × zusammengesetzte Zahl (39395 Stellen)
18	Western (1903), Crandall, McIntosh & Tardif (1999)	16.113.257.174.857.604.736.195.721.184.520 … 349.934.298.300.417 (78914 Stellen)  =  13.631.489 (8 Stellen)  ×  81.274.690.703.860.512.587.777 (23 Stellen)  × zusammengesetzte Zahl (78884 Stellen)
19	Riesel (1962), Wrathall (1963), Bessell & Woltman (2009)	259.637.056.783.100.077.612.659.649.572.688 … 528.226.185.773.057 (157827 Stellen)  =  70.525.124.609 (11 Stellen)  ×  646.730.219.521 (12 Stellen)  ×  37.590.055.514.133.754.286.524.446.080.499.713 (35 Stellen)  × zusammengesetzte Zahl (157770 Stellen)

Von F₁₂ bis F₃₂ und von einigen größeren Fermat-Zahlen ist bekannt, dass sie zusammengesetzt sind – hauptsächlich, weil ein oder mehrere Faktoren gefunden wurden. Von zwei Fermat-Zahlen (F₂₀ und F₂₄) kennt man zwar keinen Faktor, hat aber auf andere Art gezeigt, dass sie zusammengesetzt sind.

Für F₁₄ wurde am 3. Februar 2010 ein Faktor veröffentlicht, für F₂₂ am 25. März 2010.

Die kleinste Fermat-Zahl, von der bislang nicht bekannt ist, ob sie prim oder zusammengesetzt ist, ist F₃₃. Diese Zahl hat 2.585.827.973 Stellen. Insgesamt weiß man von den ersten 50 Fermat-Zahlen nur von 10 nicht, ob sie zusammengesetzt sind oder nicht.

F_18.233.954 ist die größte Fermat-Zahl, von der ein Faktor bekannt ist, nämlich die Primzahl 7 · 2^18.233.956 + 1. Dieser Faktor wurde am 5. Oktober 2020 von Ryan Propper mit Computer-Programmen von Geoffrey Reynolds, Jean Penné und Jim Fougeron entdeckt und hat 5.488.969 Stellen. Die Fermat-Zahl F_18.233.954 selbst hat allerdings mehr als 10^5.488.966 Stellen.

Versuch einer anschaulichen Erklärung der Größe der Fermat-Zahl F_18.233.954

Es gibt keine sinnvolle Methode, sich die Menge an Papier, die man benötigt sie aufzuschreiben – oder gar die Zahl selber – vorzustellen: Selbst mit den hypothetisch kleinsten Teilchen aufgeschrieben, ist das Universum spätestens mit F₆₁₅ vollgeschrieben und für jeden weiteren Schritt bis F_18233954 würde sich der Platz zum Aufschreiben jeweils verdoppeln. Nur hat man mit F₆₁₅ ja quasi damit noch nicht mal richtig angefangen! Ein wissenschaftlicher Taschenrechner würde eine etwa 27 Kilometer lange Zeile oder alternativ eine 27 Meter mal 10 Meter große Tafel allein für das Anschreiben der Anzahl der Stellen, also von 10^5488966, als Dezimalzahl benötigen.

Insgesamt weiß man von 328 Fermat-Zahlen, dass sie zusammengesetzt sind. 373 Primfaktoren sind bisher bekannt (Stand: 15. Januar 2025).

Der folgenden Tabelle kann man entnehmen, in welchem Intervall wie viele zusammengesetzte Fermat-Zahlen bekannt sind (Stand: 15. Januar 2025):

Anteil der Fermat-Zahlen, die nachweislich keine Primzahlen sind

n	bekannt zusammen- gesetzt	Anteil		n	bekannt zusammen- gesetzt	Anteil
Vorlage:05 ≤ n ≤ 32	Vorlage:028	100,0 %		10001 ≤ n ≤ 50000	38	0,09500 %
Vorlage:033 ≤ n ≤ 100	Vorlage:032	Vorlage:047,1 %		Vorlage:050001 ≤ n ≤ 100000	11	0,02200 %
101 ≤ n ≤ 500	Vorlage:064	Vorlage:016,0 %		100001 ≤ n ≤ 500000	28	0,00700 %
Vorlage:0501 ≤ n ≤ 1000	Vorlage:022	Vorlage:04,4 %		Vorlage:0500001 ≤ n ≤ 1000000	Vorlage:07	0,00140 %
1001 ≤ n ≤ 5000	Vorlage:053	Vorlage:01,3 %		1000001 ≤ n ≤ 5000000	13	0,00033 %
Vorlage:05001 ≤ n ≤ 10000	Vorlage:028	Vorlage:00,6 %		Vorlage:05000001 ≤ n ≤ 20000000	Vorlage:04	0,00008 %
TOTAL	227	Vorlage:02,3 %		TOTAL	101	0,00051 %

Die kleinsten 25 Fermat-Primfaktoren sind die folgenden:

3, 5, 17, 257, 641, 65.537, 114.689, 274.177, 319.489, 974.849, 2.424.833, 6.700.417, 13.631.489, 26.017.793, 45.592.577, 63.766.529, 167.772.161, 825.753.601, 1.214.251.009, 6.487.031.809, 70.525.124.609, 190.274.191.361, 646.730.219.521, 2.710.954.639.361, 2.748.779.069.441, … (Vorlage:OEIS)

Um von einer Fermat-Zahl nachzuweisen, dass sie zusammengesetzt ist, benutzt man in der Regel den Pépin-Test und den Suyama-Test, die beide besonders auf diese Zahlen zugeschnitten und sehr schnell sind.

Die folgenden 16 Primfaktoren von Fermat-Zahlen wurden vor 1950 entdeckt.

Vor 1950 entdeckte Primfaktoren von Fermat-Zahlen (ohne Zuhilfenahme programmgesteuerter Rechenmaschinen)

Jahr	Entdecker	Fermat- Zahl	Dezimal- stellen von Fn	Faktor	Dezimal- stellen dieses Faktors	Faktor ausgeschrieben
1732	Leonhard Euler	F5 Vorlage:FN	10	5 · 27 + 1	3	641
1732	Leonhard Euler	F5 Vorlage:FN	10	52347 · 27 + 1	7	6.700.417
1855	Thomas Clausen	F6 Vorlage:FN	20	1071 · 28 + 1	6	274.177
1855	Thomas Clausen	F6 Vorlage:FN	20	262814145745 · 28 + 1	14	67.280.421.310.721
1877	Iwan Perwuschin	F12	1.234	7 · 214 + 1	6	114.689
1878	Iwan Perwuschin	F23	2.525.223	5 · 225 + 1	9	167.772.161
1886	Paul Peter Heinrich Seelhoff	F36	20.686.623.784	5 · 239 + 1	13	2.748.779.069.441
1899	Allan Joseph Champneys Cunningham	F11	617	39 · 213 + 1	6	319.489
1899	Allan Joseph Champneys Cunningham	F11	617	119 · 213 + 1	6	974.849
1903	Alfred Edward Western	F9	155	37 · 216 + 1	7	2.424.833
1903	Alfred Edward Western	F12	1.234	397 · 216 + 1	8	26.017.793
1903	Alfred Edward Western	F12	1.234	973 · 216 + 1	8	63.766.529
1903	Alfred Edward Western	F18	78.914	13 · 220 + 1	8	13.631.489
1903	James Cullen	F38	82.746.495.136	3 · 241 + 1	13	6.597.069.766.657
1906	James Caddall Morehead	F73	2.843.147.923.723.958.896.933	5 · 275 + 1	24	188.894.659.314.785.808.547.841
1925	Maurice Borissowitsch Kraitchik	F15	9.865	579 · 221 + 1	10	1.214.251.009

Seit 1950 wurden alle weiteren Faktoren durch Einsatz von Computern gefunden.

Anzahl der entdeckte Primfaktoren von Fermat-Zahlen (unter Zuhilfenahme programmgesteuerter Rechenmaschinen)

Jahr Teiler 1951 Vorlage:0– 1952 Vorlage:0– 1953 Vorlage:02 1954 Vorlage:0– 1955 Vorlage:0– 1956 14 1957 Vorlage:06 1958 Vorlage:0– 1959 Vorlage:0– 1960 Vorlage:0– TOTAL 22

Jahr Teiler 1961 Vorlage:0– 1962 Vorlage:02 1963 11 1964 Vorlage:0– 1965 Vorlage:0– 1966 Vorlage:0– 1967 Vorlage:0– 1968 Vorlage:0– 1969 Vorlage:0– 1970 Vorlage:02 TOTAL 15

Jahr Teiler 1971 Vorlage:0– 1972 Vorlage:0– 1973 Vorlage:0– 1974 Vorlage:02 1975 Vorlage:0– 1976 Vorlage:02 1977 Vorlage:04 1978 Vorlage:02 1979 13 1980 Vorlage:09 TOTAL 32

Jahr Teiler 1981 Vorlage:03 1982 Vorlage:02 1983 Vorlage:02 1984 Vorlage:07 1985 Vorlage:02 1986 12 1987 Vorlage:05 1988 Vorlage:04 1989 Vorlage:0– 1990 Vorlage:08 TOTAL 45

Jahr Teiler 1991 12 1992 10 1993 10 1994 Vorlage:01 1995 Vorlage:08 1996 Vorlage:07 1997 Vorlage:04 1998 Vorlage:08 1999 Vorlage:09 2000 13 TOTAL 82

Jahr Teiler 2001 22 2002 Vorlage:08 2003 Vorlage:08 2004 Vorlage:02 2005 Vorlage:07 2006 Vorlage:01 2007 Vorlage:04 2008 Vorlage:06 2009 Vorlage:06 2010 Vorlage:07 TOTAL 71

Jahr Teiler 2011 Vorlage:09 2012 16 2013 Vorlage:07 2014 Vorlage:07 2015 Vorlage:06 2016 Vorlage:07 2017 Vorlage:05 2018 Vorlage:07 2019 Vorlage:03 2020 Vorlage:05 TOTAL 72

Jahr Teiler 2021 Vorlage:05 2022 Vorlage:0– 2023 Vorlage:08 2024 Vorlage:03 2025 Vorlage:02 2026 2027 2028 2029 2030 TOTAL 18

Es wurden somit bisher 357 Primfaktoren von Fermat-Zahlen mit Computern gefunden (Stand: 15. Januar 2025).

Eigenschaften

• Für $n>1$ hat jeder Teiler von $F_n$ die Form $k\cdot 2^{n+2}+1$ (bewiesen von Euler und Lucas, siehe auch Artikel Quadratisches Reziprozitätsgesetz, Unterabschnitt Teiler von Fermat- und Mersenne-Zahlen).

Beispiele:

Der Teiler 641 von F₅: 641 = 5 · 2⁷ + 1 = 5 · 128 + 1

Der Teiler 6700417 von F₅: 6700417 = 52347 · 2⁷ + 1 = 52347 · 128 + 1

• Fermat-Zahlen lassen sich auf folgende Arten rekursiv berechnen:

• $F_n=(F_{n-1}-1{)}^2+1$  für  $n\ge 1$
• $F_n=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}\cdot F_0\cdot F_1\cdot \dots \cdot F_{n-2}$  für  $n\ge 2$
• $F_n=F_{n-1}^2-2\cdot (F_{n-2}-1{)}^2$  für  $n\ge 2$
• $F_n=F_0\cdot F_1\cdot \dots \cdot F_{n-1}+2$  für  $n\ge 1$

Beweis der vier Behauptungen:

Zwei der vier Beweise funktionieren mittels vollständiger Induktion. Man zeigt, dass die Behauptungen für den Anfang gelten (Induktionsanfang), nimmt an, dass die Behauptung für $n$ gilt (Induktionsvoraussetzung) und beweist, dass die Behauptung dadurch auch für $n+1$ gelten muss (Induktionsschluss).

Beweis der ersten Behauptung: $F_n=(F_{n-1}-1{)}^2+1$ für $n\ge 1$

Der Beweis funktioniert direkt.

$F_n=2^{2^n}+1=2^{2\cdot 2^{n-1}}+1=(2^{2^{n-1}}{)}^2+1=(2^{2^{n-1}}+1-1{)}^2+1=(F_{n-1}-1{)}^2+1$, was zu zeigen war. $◻$

Beweis der zweiten Behauptung: $F_n=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}\cdot F_0\cdot F_1\cdot \dots \cdot F_{n-2}$ für $n\ge 2$

Der Beweis funktioniert mittels vollständiger Induktion.

Induktionsanfang:

$17=F_2=F_1+2^{2^{2-1}}\cdot F_0=5+2^{2^1}\cdot 3=5+2^2\cdot 3=5+4\cdot 3=17$

$257=F_3=F_2+2^{2^{3-1}}\cdot F_0\cdot F_1=17+2^4\cdot 3\cdot 5=17+16\cdot 3\cdot 5=17+240=257$

Induktionsvoraussetzung: $F_n=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}\cdot F_0\cdot F_1\cdot \dots \cdot F_{n-2}$ bzw. umgeformt $F_0\cdot F_1\cdot \dots \cdot F_{n-2}=\frac{F_n-F_{n-1}}{2^{2^{n-1}}}$

Induktionsschluss: zu zeigen: $F_{n+1}=F_n+2^{2^n}\cdot F_0\cdot F_1\cdot \dots \cdot F_{n-1}$

$\begin{array}{cccc}{F}_{n+1}& =& (F_n-1{)}^2+1& \text{(erste obige Behauptung)}\\ & =& {F_n}^2-2F_n+1+1\\ & =& (F_{n-1}+2^{2^{n-1}}{F}_0{F}_1\dots F_{n-2}{)}^2-2\cdot (F_{n-1}+2^{2^{n-1}}{F}_0{F}_1\dots F_{n-2})+2& \text{(Induktionsvoraussetzung)}\\ & =& F_{n-1}^2+2\cdot 2^{2^{n-1}}{F}_0{F}_1\dots F_{n-2}{F}_{n-1}+(2^{2^{n-1}}{)}^2{F}_0^2{F}_1^2\dots F_{n-2}^2-2F_{n-1}-2\cdot 2^{2^{n-1}}{F}_0{F}_1\dots F_{n-2}+2\\ & =& (F_{n-1}^2-2F_{n-1}+1)+1+2^{2^{n-1}}{F}_0{F}_1\dots F_{n-2}\cdot (2F_{n-1}+2^{2^{n-1}}{F}_0{F}_1\dots F_{n-2}-2)\\ & =& (F_{n-1}-1{)}^2+1+2^{2^n}{F}_0{F}_1\dots F_{n-2}\cdot (\frac{2}{2^{2^{n-1}}}{F}_{n-1}+F_0{F}_1\dots F_{n-2}-\frac{2}{2^{2^{n-1}}})\\ & =& F_n+2^{2^n}{F}_0{F}_1\dots F_{n-2}\cdot (\frac{2}{2^{2^{n-1}}}{F}_{n-1}+\frac{F_n-F_{n-1}}{2^{2^{n-1}}}-\frac{2}{2^{2^{n-1}}})& \text{(umgeformte Induktionsvoraussetzung)}\\ & =& F_n+2^{2^n}{F}_0{F}_1\dots F_{n-2}\cdot \frac{2F_{n-1}+F_n-F_{n-1}-2}{2^{2^{n-1}}}\\ & =& F_n+2^{2^n}{F}_0{F}_1\dots F_{n-2}\cdot \frac{F_{n-1}+F_n-2}{2^{2^{n-1}}}\\ & =& F_n+2^{2^n}{F}_0{F}_1\dots F_{n-2}\cdot \frac{2^{2^{n-1}}+1+2^{2^n}+1-2}{2^{2^{n-1}}}& \text{(Definition von Fermat-Zahlen)}\\ & =& F_n+2^{2^n}{F}_0{F}_1\dots F_{n-2}\cdot \frac{2^{2^{n-1}}+2^{2^n}}{2^{2^{n-1}}}\\ & =& F_n+2^{2^n}{F}_0{F}_1\dots F_{n-2}\cdot \frac{2^{2^{n-1}}\cdot (1+2^{2^{n-1}})}{2^{2^{n-1}}}\\ & =& F_n+2^{2^n}{F}_0{F}_1\dots F_{n-2}\cdot (2^{2^{n-1}}+1)\\ & =& F_n+2^{2^n}{F}_0{F}_1\dots F_{n-2}\cdot F_{n-1}& \text{(Definition von Fermat-Zahlen)}\end{array}$

Was zu zeigen war. $◻$

Beweis der dritten Behauptung: $F_n=F_{n-1}^2-2\cdot (F_{n-2}-1{)}^2$ für $n\ge 2$

Der Beweis funktioniert direkt.

$\begin{array}{ccc}{F}_n=2^{2^n}+1& =& 2^{2\cdot 2^{n-1}}+2\cdot 2^{2^{n-1}}+1-2\cdot 2^{2^{n-1}}\\ & =& (2^{2^{n-1}}{)}^2+2\cdot 2^{2^{n-1}}+1-2\cdot 2^{2\cdot 2^{n-2}}\\ & =& (2^{2^{n-1}}+1{)}^2-2\cdot (2^{2^{n-2}}{)}^2\\ & =& {F_{n-1}}^2-2\cdot (2^{2^{n-2}}+1-1{)}^2\\ & =& F_{n-1}^2-2\cdot (F_{n-2}-1{)}^2\end{array}$

Was zu zeigen war. $◻$

Beweis der vierten Behauptung: $F_n=F_0\cdot F_1\cdot \dots \cdot F_{n-1}+2$ für $n\ge 1$

Der Beweis funktioniert mittels vollständiger Induktion.

Induktionsanfang:

$5=F_1=F_0+2=3+2=5$

$17=F_2=F_0\cdot F_1+2=3\cdot 5+2=15+2=17$

Induktionsvoraussetzung: $F_n=F_0\cdot F_1\cdot \dots \cdot F_{n-1}+2$

Induktionsschluss: zu zeigen: $F_{n+1}=F_0\cdot F_1\cdot \dots \cdot F_n+2$

$\begin{array}{cccc}{F}_{n+1}& =& (F_n-1{)}^2+1& \text{(erste obige Behauptung)}\\ & =& {F_n}^2-2F_n+1+1\\ & =& (F_0{F}_1\dots F_{n-1}+2{)}^2-2(F_0{F}_1\dots F_{n-1}+2)+2& \text{(Induktionsvoraussetzung)}\\ & =& F_0^2{F}_1^2\dots F_{n-1}^2+4F_0{F}_1\dots F_{n-1}+4-2F_0{F}_1\dots F_{n-1}-4+2\\ & =& F_0^2{F}_1^2\dots F_{n-1}^2+2F_0{F}_1\dots F_{n-1}+2\\ & =& F_0{F}_1\dots F_{n-1}\cdot (F_0{F}_1\dots F_{n-1}+2)+2\\ & =& F_0{F}_1\dots F_{n-1}\cdot F_n+2& \text{(Induktionsvoraussetzung)}\end{array}$

Was zu zeigen war. $◻$

• Vorlage:Anker Es gelten folgende Darstellungen von $F_n$:

• Jede Fermat-Zahl $F_n$ mit $n\ge 1$ ist von der Form $6m-1$, wobei $m\in \mathbb{N}$ positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: $F_n\equiv -1(\mathrm{mod}6)$)
• Jede Fermat-Zahl $F_n$ mit $n\ge 1$ ist von der Form $4m+1$, wobei $m\in \mathbb{N}$ positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: $F_n\equiv 1(\mathrm{mod}4)$)
• Jede Fermat-Zahl $F_n$ mit $n\ge 1$ ist von der Form $3m+2$, wobei $m\in \mathbb{N}$ positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: $F_n\equiv 2(\mathrm{mod}3)$)
• Jede Fermat-Zahl $F_n$ mit $n\ge 2$ ist von der Form $10m+7$, wobei $m\in \mathbb{N}$ positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: $F_n\equiv 7(\mathrm{mod}10)$)

Anders formuliert: Mit Ausnahme von $F_0=3$ und $F_1=5$ endet jede Fermat-Zahl im Dezimalsystem mit der Ziffer 7. Die letzten beiden Ziffern sind 17, 37, 57 oder 97.

Beweis der vier Behauptungen:

Beweis der ersten Behauptung: $F_n\equiv -1(\mathrm{mod}6)$

Der Beweis funktioniert direkt. Man startet mit einer bekannten richtigen Aussage und beweist das Gewünschte.

Eine weiter oben angegebene Eigenschaft besagt, dass $F_n=F_0\cdot F_1\cdot \dots \cdot F_{n-1}+2$ gilt für $n\ge 1$. Somit gilt aber, weil $F_0=3$ ist:

$F_n+1=F_0\cdot F_1\cdot \dots \cdot F_{n-1}+3=3\cdot F_1\cdot \dots \cdot F_{n-1}+3=3\cdot (F_1\cdot \dots \cdot F_{n-1}+1)$.

Der Ausdruck $F_1\cdot \dots \cdot F_{n-1}$ ist als Produkt von ungeraden Fermat-Zahlen selber ungerade. Addiert man 1 dazu, erhält man eine gerade Zahl. Also ist $F_n+1$ ein Produkt aus 3 und einer geraden Zahl und somit durch 6 teilbar. Es gibt also ein $m\in \mathbb{N}$ mit $F_n+1=6m$. Daher ist $F_n$ von der Form $6m-1$, was zu zeigen war. $◻$

Beweis der zweiten Behauptung: $F_n\equiv 1(\mathrm{mod}4)$

$F_n=2^{2^n}+1=(2^2{)}^{\frac{2^n}{2}}+1=4^{2^{n-1}}+1\equiv 1(\mathrm{mod}4)$, was zu zeigen war. $◻$

Beweis der dritten Behauptung: $F_n\equiv 2(\mathrm{mod}3)$

Der dritte Beweis funktioniert mit vollständiger Induktion:

Induktionsanfang:

$F_1=2^{2^1}+1=5=3\cdot 1+2\equiv 2(\mathrm{mod}3)$

$F_2=2^{2^2}+1=17=3\cdot 5+2\equiv 2(\mathrm{mod}3)$

Induktionsvoraussetzung: $F_n=3\cdot k+2$

Induktionsschluss: zu zeigen: $F_{n+1}=3\cdot m+2$ für ein $m\in \mathbb{N}$

$\begin{array}{cccc}{F}_{n+1}& =& (F_n-1{)}^2+1& \text{(erste Behauptung weiter oben)}\\ & =& {F_n}^2-2F_n+1+1\\ & =& (3k+2{)}^2-2\cdot (3k+2)+2& \text{(Induktionsvoraussetzung)}\\ & =& 9k^2+12k+4-6k-4+2\\ & =& 9k^2+6k+2\\ & =& 3\cdot (3k^2+2k)+2\\ & =& 3m+2& \text{(mit }m:=3k^2+2k\text{)}\end{array}$

Was zu zeigen war. $◻$

Beweis der vierten Behauptung: $F_n\equiv 7(\mathrm{mod}10)$

Der vierte Beweis funktioniert direkt:

Weiter oben wurde gezeigt, dass $F_n=F_0\cdot F_1\cdot \dots \cdot F_{n-1}+2$ für $n\ge 1$ gilt. Daraus kann man folgern, dass $F_n\equiv 2(\mathrm{mod}{F}_k)$ für $k=0,1,\dots ,n-1$ gilt. Im Speziellen gilt also für $k=1$ (also für $F_1=5$) die Kongruenz $F_n\equiv 2(\mathrm{mod}5)$ und somit entweder $F_n\equiv 2(\mathrm{mod}10)$ oder $F_n\equiv 7(\mathrm{mod}10)$. Weil aber Fermat-Zahlen immer ungerade sind, kann nur die Kongruenz $F_n\equiv 7(\mathrm{mod}10)$ zutreffen, was zu zeigen war.

Die Aussage, dass die letzten beiden Ziffern 17, 37, 57 oder 97 sind, kann man der Literatur entnehmen. $◻$

• Sei $F_n=2^{2^n}+1$ die $n$-te Fermat-Zahl. Dann gilt:

• $F_n$ hat unendlich viele Darstellungen der Form $F_n=x^2-2y^2$ mit $x,y\in \mathbb{N}$ positiv ganzzahlig, für alle $n\ge 2$
• $F_n$ hat mindestens eine Darstellung der Form $F_n=x^2-y^2$ mit $x,y\in \mathbb{N}$ positiv ganzzahlig. Ist $F_n$ zusammengesetzt, gibt es mehrere Möglichkeiten dieser Darstellung.
• $F_n$ kann niemals als Summe von zwei Primzahlen dargestellt werden, für alle $n\ge 2:$

$F_n=p_1+p_2$ für alle $p_1,p_2\in \mathbb{P},n\ge 2$

• $F_n$ kann niemals als Differenz von zwei p-ten Potenzen geschrieben werden, wenn $F_n$ und p ungerade Primzahlen sind:

$F_n=a^p-b^p$ für alle $p\in \mathbb{P},p=2$

Beweis der vier Behauptungen:

Beweis der ersten Behauptung: $F_n=x^2-2y^2$

Der Beweis funktioniert direkt.

Die Existenz einer solchen Darstellung konnte schon weiter oben mit $x:=F_{n-1}$ und $y:=F_{n-2}-1$ gezeigt werden: $F_n=x^2-2y^2=F_{n-1}^2-2\cdot (F_{n-2}-1{)}^2$

Um unendlich viele solche Darstellungen zu erhalten, betrachte man folgende Identität:

$\begin{array}{ccc}(3x+4y{)}^2-2\cdot (2x+3y{)}^2& =& 9x^2+24xy+16y^2-2\cdot (4x^2+12xy+9y^2)\\ & =& 9x^2+24xy+16y^2-8x^2-24xy-18y^2\\ & =& x^2-2y^2\end{array}$

Weil $x,y\in \mathbb{N}$ ist, gilt $3x+4y>x$ und $2x+3y>y$. Somit kann man aus dem Darstellungspaar $(x,y)$ für $F_n$ ein (größeres) Darstellungspaar $(3x+4y,2x+3y)$ für $F_n$ konstruieren. Aus diesem kann man mit obiger Identität das nächste (größere) Darstellungspaar für $F_n$ konstruieren und so fort. Man erhält also unendlich viele Darstellungspaare für $F_n$ und somit auch unendlich viele Darstellungen von $F_n$ der Form $F_n=x^2-2y^2$, was zu zeigen war. $◻$

Beweis der zweiten Behauptung: $F_n=x^2-y^2$

Der Beweis funktioniert direkt.

Es gilt:

$F_n=2^{2^n}+1=2^{2^n}+2^{2^n}+1-2^{2^n}=2^{2^n}+2\cdot 2^{2^n-1}+1-2^{2^n}={(2^{2^n-1}+1)}^2-{\left(2^{2^n-1}\right)}^2$

Somit hat man zwei Zahlen $x:=2^{2^n-1}+1$ und $y:=2^{2^n-1}$ gefunden, sodass $F_n=x^2-y^2$, also die Differenz von zwei Quadratzahlen, ist, was zu zeigen war.

Die Aussage, dass es mehrere solche Darstellungsmöglichkeiten als Differenz von zwei Quadratzahlen gibt, wenn $F_n$ zusammengesetzt ist, kann man der Literatur entnehmen. $◻$

Beweis der dritten Behauptung: $F_n=p_1+p_2$

Der Beweis funktioniert indirekt. Man startet mit einer Behauptung und zeigt, dass sie falsch ist, womit die Behauptung fallengelassen werden muss und das Gegenteil gilt.

Alle Fermat-Zahlen $F_n=2^{2^n}+1$ sind als Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl 1 immer ungerade Zahlen. Primzahlen sind, bis auf die erste Primzahl $p=2$, immer ungerade. Wenn also die ungerade Zahl $F_n$ Summe von zwei Primzahlen sein soll, so dürfen nicht beide Primzahlen ungerade sein, weil die Summe zweier ungerader Zahlen eine gerade Zahl ergibt. Eine davon muss gerade sein. Weil es nur eine gerade Primzahl gibt, muss also 2 eine der beiden Summanden sein. Der andere prime Summand ist somit $F_n-2$ und es gilt trivialerweise $F_n=2+(F_n-2)$. Es gilt aber:

$F_n-2=2^{2^n}+1-2=2^{2^n}-1=(2^{2^{n-1}}-1)\cdot (2^{2^{n-1}}+1)$

Somit ist aber $F_n-2$ für $n\ge 2$ zusammengesetzt und keine Primzahl, weil sogar der kleinere der beiden Faktoren $2^{2^{n-1}}-1\ge 2^{2^{2-1}}-1=2^2-1=3$ ist und somit eine nichttriviale Faktorisierung von $F_n-2$ existiert. Wir erhalten einen Widerspruch. Die Annahme, dass man eine Fermat-Zahl als Summe zweier Primzahlen darstellen kann, muss fallengelassen werden, was zu zeigen war. $◻$

Beweis der vierten Behauptung: $F_n=a^p-b^p$

Der Beweis funktioniert indirekt. Man startet mit einer Behauptung und zeigt, dass sie falsch ist, womit die Behauptung fallengelassen werden muss und das Gegenteil gilt.

Angenommen, $p\in \mathbb{P}$ ist eine ungerade Primzahl und $F_n$ kann dargestellt werden als Differenz von zwei p-ten Potenzen. Es sei also $F_n=a^p-b^p$. Dann gilt:

$F_n=a^p-b^p=(a-b)\cdot (a^{p-1}+a^{p-2}b+\dots +a{b}^{p-2}+b^{p-1})$ mit $a>b$

Weil $F_n$ prim ist und somit nicht zwei Teiler haben darf, muss $a-b=1$ sein. Wegen des kleinen fermatschen Satzes ist $a^p\equiv a(\mathrm{mod}p)$ und $b^p\equiv b(\mathrm{mod}p)$ und somit gilt:

$F_n=a^p-b^p\equiv a-b\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

Somit muss $p$ ein Teiler von $F_n-1=2^{2^n}+1-1=2^{2^n}$ sein, was aber nicht sein kann, weil $2^{2^n}$ nur Zweierpotenzen als Teiler hat.

Die Annahme muss also fallengelassen werden, $F_n$ kann daher nicht dargestellt werden als Differenz von zwei p-ten Potenzen.

Was zu zeigen war. $◻$

• Sei $F_n=2^{2^n}+1$ die $n$-te Fermat-Zahl und sei $D(n)$ die Anzahl der Stellen von $F_n$. Dann gilt:

$D(n)=\lfloor {\log }_{10}(2^{2^n}+1)+1\rfloor \approx \lfloor {\log }_{10}{2}^{2^n}+1\rfloor =\lfloor 2^n\cdot {\log }_{10}2+1\rfloor$

wobei mit $\lfloor x\rfloor$ die Floor-Funktion gemeint ist (also die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich $x$ ist)

• Sei $F_n=2^{2^n}+1$ die $n$-te Fermat-Zahl mit $n\ge 1$. Dann gilt:

$F_n$ ist eine Primzahl genau dann, wenn gilt: $3^{\frac{F_n-1}{2}}\equiv -1(\mathrm{mod}{F}_n)$

Mit anderen Worten: Für $n\ge 1$ gilt:

$F_n\in \mathbb{P}⟺3^{\frac{F_n-1}{2}}\equiv -1(\mathrm{mod}{F}_n)$

Dieser Satz nennt sich Pépin-Test.

Beweis der Behauptung:

Der Beweis funktioniert direkt. Man startet mit dem linken Teil der Aussage und zeigt, dass daraus die rechte folgert. Danach startet man mit dem rechten Teil der Aussage und zeigt, dass daraus die linke Seite folgert.

Beweis:

„$\Rightarrow$“: Sei $F_n\in \mathbb{P}$ eine Primzahl mit $n\ge 1$. Man muss zeigen, dass $3^{\frac{F_n-1}{2}}\equiv -1mod{F}_n$ ist.

Es gilt nach dem Eulerschein Kriterium für das Legendre-Symbol die folgende Kongruenz:

$3^{\frac{F_n-1}{2}}\equiv \left(\frac{3}{F_n}\right)mod{F}_n$

Weil $F_n\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ und $F_n\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ gilt (wurde weiter oben bewiesen), erhält man wegen des Quadratischen Reziprozitätsgesetzes für das Legendre-Symbol:

$\left(\frac{3}{F_n}\right)=\left(\frac{F_n}{3}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)=(-1{)}^{\frac{3^2-1}{8}}=-1$

Somit erhält man:

$3^{\frac{F_n-1}{2}}\equiv \left(\frac{3}{F_n}\right)=-1mod{F}_n$

Damit ist eine Richtung des obigen Satzes gezeigt worden.

„$\Leftarrow$“: Sei nun $3^{\frac{F_n-1}{2}}\equiv -1mod{F}_n$. Man muss zeigen, dass $F_n\in \mathbb{P}$ eine Primzahl ist.

Quadriert man diese Kongruenz, erhält man:

$(3^{\frac{F_n-1}{2}}{)}^2=3^{F_n-1}\equiv (-1{)}^2=1mod{F}_n$

Nach dem verbesserten Lucas-Test folgt, dass $F_n$ prim ist (weil $F_n-1=2^{2^n}+1-1=2^{2^n}$ nur einen einzigen Primteiler, nämlich $p=2$ hat und für diesen Primfaktor $p=2$ auch laut Voraussetzung $3^{\frac{F_n-1}{p}}=3^{\frac{F_n-1}{2}}\equiv -1\equiv ̸1(\mathrm{mod}{F}_n)$ gilt).

Damit sind beide Richtungen obiger Aussage bewiesen, sie hat sich somit als richtig herausgestellt. $◻$

• Für $n\ge 2$ gilt:

$F_n^{\frac{F_{n+1}-1}{2}}\equiv 1(\mathrm{mod}{F}_{n+1})$

• Sei $n\ge 2$, $k\ge 1$ und $F_{n+k}$ prim. Dann gilt:

$F_n^{\frac{F_{n+k}-1}{2}}\equiv 1(\mathrm{mod}{F}_{n+k})$

Beweis der ersten Behauptung:

Der Beweis funktioniert direkt. Man startet mit einer bekannten richtigen Aussage und beweist mittels Umformungen und Modulo-Rechnungen das Gewünschte.

Beweis der ersten Behauptung:

$F_n^2=(2^{2^n}+1{)}^2=2^{2^{n+1}}+1+2\cdot 2^{2^n}=F_{n+1}+2\cdot 2^{2^n}\equiv 2\cdot 2^{2^n}(\mathrm{mod}{F}_{n+1})$

Somit gilt:

$F_n^{2^2}\equiv (2\cdot 2^{2^n}{)}^2=4\cdot 2^{2^{n+1}}=4\cdot (F_{n+1}-1)=4\cdot F_{n+1}-4\equiv -4\equiv -2^2(\mathrm{mod}{F}_{n+1})$

Für $k\ge 3$ erhält man:

$F_n^{2^k}=(F_n^{2^2}{)}^{2^{k-2}}\equiv (-2^2{)}^{2^{k-2}}\equiv 2^{2^{k-1}}(\mathrm{mod}{F}_{n+1})$

Setzt man nun $k=2^{n+1}-1$ in obiges Ergebnis ein, dann erhält man:

$F_n^{2^{2^{n+1}-1}}=F_n^{\frac{2^{2^{n+1}}}{2}}=F_n^{\frac{2^{2^{n+1}}+1-1}{2}}=F_n^{\frac{F_{n+1}-1}{2}}\equiv 2^{2^{2^{n+1}-2}}(\mathrm{mod}{F}_{n+1})$

Die Zahl $2^{2^{n+1}-2}$ ist als Potenz von 2 durch jede kleinere Potenz von 2 teilbar, somit für $n\ge 2$ auch durch $2^{n+1}$. Es existiert also eine positive ganze Zahl $N\in \mathbb{N}$ mit $2^{2^{n+1}-2}=2^{n+1}\cdot 2N$. Wenn man dies in obiges Ergebnis einsetzt, erhält man:

$F_n^{\frac{F_{n+1}-1}{2}}\equiv 2^{2^{2^{n+1}-2}}=(2^{2^{n+1}}{)}^{2N}=(2^{2^{n+1}}+1-1{)}^{2N}=(F_{n+1}-1{)}^{2N}\equiv (-1{)}^{2N}\equiv 1(\mathrm{mod}{F}_{n+1})$

Womit die erste Behauptung bewiesen ist. $◻$

• Sei $F_n$ eine Primzahl und $a\in \mathbb{Z}$ eine ganze Zahl. Dann gilt für jede prime Fermat-Zahl $F_k$ mit $F_k\le F_n$:

$F_k$ teilt $a^{F_n}-a$

Beweis der Behauptung:

Der Beweis funktioniert direkt. Man startet mit einer bekannten richtigen Aussage und beweist das Gewünschte.

Beweis:

Sei $F_k$ eine prime Fermat-Zahl mit $0\le k\le n$.

Sei weiters $F_k$ ein Teiler von $a$. Dann ist $F_k$ auch ein Teiler von $a^{F_n}$ und somit auch Teiler der Differenz. Also gilt:

$F_k$ teilt $a^{F_n}-a=a\cdot (a^{F_n-1}-1)$

Sei nun $F_k$ kein Teiler von $a$. Dann gilt wegen des kleinen fermatschen Satzes: $a^{F_k-1}\equiv 1(\mathrm{mod}{F}_k)$ und somit:

$F_k$ teilt $a^{F_k-1}-1$

Weil aber jede kleine Zweierpotenz jede größere Zweierpotenz teilt, gilt auch:

$F_k-1=2^{2^k}+1-1=2^{2^k}$ teilt $2^{2^n}=2^{2^n}+1-1=F_n-1$

Weiters gilt bei mehrfacher Anwendung der dritten binomischen Formel:

$a^{F_k-1}-1=a^{2^{2^k}+1-1}-1=a^{2^{2^k}}-1^2$ teilt $a^{2^{2^n}}-1^2=a^{2^{2^n}+1-1}-1=a^{F_n-1}-1$

Obige Ergebnisse zusammengefasst ergibt:

$F_k$ teilt $a^{F_k-1}-1$ teilt $a^{F_n-1}-1$ teilt $a\cdot (a^{F_n-1}-1)=a^{F_n}-a$

Was zu zeigen war. $◻$

• Sei $H_n:=2^{2^{n+1}}+2^{2^n}+1$. Dann gilt:

$H_n=(F_{n-1}^2-3F_{n-1}+3)\cdot H_{n-1}$ für alle $n\ge 1$

Beweis der Behauptung:

Der Beweis funktioniert direkt.

Beweis:

Man betrachte die folgende Identität unter Verwendung der dritten binomischen Formel:

$\begin{array}{cccc}[(x+1{)}^2-3(x+1)+3]\cdot (x^2+x+1)& =& (x^2+2x+1-3x-3+3)\cdot (x^2+x+1)& \\ & =& (x^2-x+1)\cdot (x^2+x+1)& \\ & =& ((x^2+1)-x)\cdot ((x^2+1)+x)& \text{(dritte binomische Formel)}\\ & =& (x^2+1{)}^2-x^2& \\ & =& x^4+2x^2+1-x^2& \\ & =& x^4+x^2+1& \end{array}$

Wenn man nun $x:=2^{2^{n-1}}$ substituiert, sich ins Gedächtnis zurückruft, dass Fermatzahlen die Form $F_{n-1}=2^{2^{n-1}}+1$ haben und dass laut Definition $H_{n-1}:=2^{2^n}+2^{2^{n-1}}+1=(2^{2^{n-1}}{)}^2+2^{2^{n-1}}+1$ ist, erhält man das gewünschte Ergebnis:

$\begin{array}{ccc}({F_{n-1}}^2-3F_{n-1}+3)\cdot H_{n-1}& =& [(2^{2^{n-1}}+1{)}^2-3(2^{2^{n-1}}+1)+3]\cdot ((2^{2^{n-1}}{)}^2+2^{2^{n-1}}+1)\\ & =& [(x+1{)}^2-3(x+1)+3]\cdot (x^2+x+1)\\ & =& x^4+x^2+1\\ & =& (2^{2^{n-1}}{)}^4+(2^{2^{n-1}}{)}^2+1\\ & =& 2^{2^2\cdot 2^{n-1}}+2^{2\cdot 2^{n-1}}+1\\ & =& 2^{2^{n+1}}+2^{2^n}+1\\ & =& H_n\end{array}$

Was zu zeigen war. $◻$

• Sei $n^n+1$ eine Primzahl. Dann gilt:

• $n=F_m-1=2^{2^m}$ mit einer positiven ganzen Zahl $m\in \mathbb{N}$
• $n^n+1=F_{2^m+m}$

Beweis der Behauptung:

Beweis von Teil 1 durch Widerspruch: Man führt die Annahme, dass das zu Beweisende falsch sei, zu einem Widerspruch (analog zum Beweis weiter oben).

Annahme: $n^n+1$ ist prim und die Hochzahl $n$ hat einen ungeraden Teiler $c>1$.

Dann gilt

$n^n+1=n^{\frac{n}{c}\cdot c}+1=(n^{\frac{n}{c}}{)}^c+1^c$

mit einer ganzen Zahl $\frac{n}{c}$. Nach Annahme ist $c$ ungerade, also ist diese Summe bekanntlich durch die Summe $n^{\frac{n}{c}}+1$ der beiden Basen teilbar:

$n^n+1=(n^{\frac{n}{c}}{)}^c+1^c=(n^{\frac{n}{c}}+1)\cdot \sum _{j=0}^{c-1}(-1{)}^j\cdot (n^{\frac{n}{c}}{)}^j$

Weil die Zahl $n^n+1$ prim ist, muss ihr Teiler $n^{\frac{n}{c}}+1$ gleich 1 oder gleich $n^n+1$ sein. Aber im Widerspruch dazu ist $n^{\frac{n}{c}}+1$ (wegen $n^{\frac{n}{c}}>0$) größer als 1 und (wegen $\frac{n}{c}<n$) kleiner als $n^n+1$. Die Annahme, dass $n^n+1$ prim ist und $n$ einen ungeraden Teiler $c>1$ hat, muss daher fallengelassen werden: $n^n+1$ kann nur prim sein, wenn $n$ eine Zweierpotenz $2^k$ mit $k\ge 0$ ist.

Es ist also $n^n+1=(2^k{)}^{2^k}+1=2^{k\cdot 2^k}+1$ und $n^n$ ist somit eine Zweierpotenz.

Es wurde aber weiter oben gezeigt, dass eine Zahl der Form $2^t+1$ nur dann eine Primzahl ist, wenn die Hochzahl (also der Exponent) selbst eine Zweierpotenz ist. Es gibt also ein $t\in {\mathbb{N}}_0$, sodass $k\cdot 2^k=2^t$ ist. Somit muss $k$ selbst eine Zweierpotenz (also ohne ungerade Teiler) sein, daher gibt es ein $m\in {\mathbb{N}}_0$, sodass $k=2^m$ ist. Es ist also $n=2^k=2^{2^m}=2^{2^m}+1-1=F_m-1$, was als Erstes zu zeigen war.

Weiters gilt also $n^n+1=(2^k{)}^{(2^k)}+1=(2^{2^m}{)}^{(2^{2^m})}+1=2^{2^m\cdot 2^{2^m}}+1=2^{2^{m+2^m}}+1=2^{2^{2^m+m}}+1=F_{2^m+m}$, was zu zeigen war. $◻$

Beispiele:

Für $m=0$ erhält man $n^n+1=F_{2^0+0}=F_1=5\in \mathbb{P}$

Für $m=1$ erhält man $n^n+1=F_{2^1+1}=F_3=257\in \mathbb{P}$

Für $m=2$ erhält man $n^n+1=F_{2^2+2}=F_6=18.446.744.073.709.551.617\in ̸\mathbb{P}$ (eine 20-stellige Zahl)

Für $m=3$ erhält man $n^n+1=F_{2^3+3}=F_{11}\in ̸\mathbb{P}$ (eine 617-stellige Zahl)

Für $m=4$ erhält man $n^n+1=F_{2^4+4}=F_{20}\in ̸\mathbb{P}$ (eine 315653-stellige Zahl)

Auch für $m=5$ (eine 41373247568-stellige Zahl) und $m=11$ (die Anzahl der Stellen dieser Zahl hat 620 Stellen) erhält man keine Primzahlen. Für alle anderen $m$ ist noch nicht bekannt, ob es sich um Primzahlen handelt oder nicht.

Könnte man zeigen, dass es keine weiteren Primzahlen der Form $n^n+1$ gibt, so wäre gleichzeitig auch bewiesen, dass es unendlich viele zusammengesetzte Fermat-Zahlen gibt.

• Sei $n^{n^n}+1$ eine Primzahl. Dann gilt:

• $n=F_m-1=2^{2^m}$ mit einer positiven ganzen Zahl $m\in \mathbb{N}$
• $n^{n^n}+1=F_{2^{2^m+m}+m}$

• Die Menge aller quadratischen Nichtreste einer primen Fermat-Zahl ist gleich der Menge aller ihrer Primitivwurzeln.

• Zwei Fermat-Zahlen sind gleich oder teilerfremd, wie aus der letzten Aussage folgt (Goldbachs Theorem, nach Christian Goldbach, 1730). Daraus lässt sich folgern, dass es unendlich viele Primzahlen gibt (siehe auch Beweisarchiv).

• Die Summe der Kehrwerte aller Fermat-Zahlen ist eine irrationale Zahl (bewiesen von Solomon W. Golomb im Jahr 1963). Es gilt:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{F_n}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{2^n}+1}\approx 0,59606317211782167942379392586279$ (Vorlage:OEIS)

• Keine Fermat-Zahl ist eine perfekte Zahl. Keine Fermat-Zahl ist Teil eines Paares befreundeter Zahlen (bewiesen von Florian Luca im Jahr 2000).

• Die Summe der Kehrwerte aller Primteiler von Fermat-Zahlen ist konvergent (bewiesen von Michal Křížek, Florian Luca und Lawrence Somer im Jahr 2002). Mit anderen Worten:

Sei $P_F\subset \mathbb{P}$ die Menge aller Primzahlen, die irgendeine Fermat-Zahl $F_n$ teilen. Dann gilt:

$\sum _{p\in P_F}\frac{1}{p}$ ist konvergent.

• Sei $p(F_n)$ der größte Primteiler der Fermat-Zahl $F_n$. Dann gilt:

$p(F_n)\ge 2^{n+2}\cdot (4n+9)+1$

für alle  $n\ge 4$ (bewiesen von Aleksander Grytczuk, Florian Luca und Marek Wójtowicz im Jahr 2001).

• Jede zusammengesetzte Fermat-Zahl ist eine starke Pseudoprimzahl zur Basis 2, weil für alle Fermat-Zahlen gilt:

$2^{2^r}\equiv -1(\mathrm{mod}{F}_n)$

für mindestens ein $0\le r<2^n$ (im Speziellen für $r=n$).

• Jede zusammengesetzte Fermat-Zahl ist eine eulersche Pseudoprimzahl zur Basis 2, weil für alle Fermat-Zahlen gilt:

$2^{\frac{F_n-1}{2}}=2^{2^n-1}\equiv \pm 1(\mathrm{mod}{F}_n)$

• Jede zusammengesetzte Fermat-Zahl $F_n$ ist eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 2. Das heißt, für alle Fermat-Zahlen gilt:

$2^{F_n-1}\equiv 1(\mathrm{mod}{F}_n)$

• Eine prime Fermat-Zahl $F_n$ ist niemals eine Wieferich-Primzahl. Das heißt, für alle primen Fermat-Zahlen gilt:

$2^{F_n-1}\equiv ̸1(\mathrm{mod}{F}_n^2)$

• Ein Produkt

$F_a\cdot F_b\cdot \dots \cdot F_s$

von Fermat-Zahlen mit $a>b>\dots >s>1$ ist eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 2 genau dann, wenn $2^s>a$ (bewiesen von Michele Cipolla im Jahr 1904).

• Jede Fermat-Zahl $F_n$ hat im Binärsystem die Form

$F_n=1000\dots 0001$

mit $2^n-1$ Nullen zwischen den beiden Einsen am Anfang und Ende.

Jede Fermat-Zahl ab $F_2$ hat im Hexadezimalsystem die Form

$F_n=1000\dots 0001$

mit $2^{n-2}-1$ Nullen zwischen den beiden Einsen am Anfang und Ende.

Ungelöste Probleme

• Ist F_n eine zusammengesetzte Zahl für alle n ≥ 5?
• Gibt es unendlich viele zusammengesetzte Fermatsche Zahlen? (Diese Behauptung ist etwas schwächer als die vorherige.)
• Gibt es unendlich viele Fermatsche Primzahlen? (Diese Behauptung steht nicht im Widerspruch zur vorherigen; es könnten beide Behauptungen gelten. Es ist allerdings äußerst unwahrscheinlich, wie der untere Abschnitt zeigt.)
• Gibt es Fermatsche Zahlen, die nicht quadratfrei sind?

Warum es wahrscheinlich keine weiteren Fermat-Primzahlen gibt

Man kann heuristisch annehmen, dass $F_4=65537$ die letzte (und somit auch die größte) Fermat-Primzahl ist. Die Überlegungen dafür sind die folgenden:

Der Primzahlsatz gibt an, dass eine zufällige ganze Zahl in einem geeigneten Intervall um $n$ mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $\frac{1}{\ln n}$ eine Primzahl ist. Wenn man nun heuristisch davon ausgeht, dass diese Aussage auch für Fermat-Primzahlen gilt, gepaart mit der Tatsache, dass die Fermat-Zahlen $F_5,\dots F_{32}$ alle zusammengesetzt sind, kommt man für größere Fermat-Primzahlen zu folgendem Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, dass $F_n$ eine Fermat-Primzahl ist, beträgt höchstens $\frac{4}{2^n}$.

Für eine neue, noch unbekannte Fermat-Primzahl $F_n$ muss $n\ge 33$ sein. Somit beträgt die erwartete Anzahl an neuen, noch unbekannten Fermat-Primzahlen höchstens

$\frac{4}{2^{33}}+\frac{4}{2^{34}}+\frac{4}{2^{35}}+\dots =\frac{4}{2^{32}}=\frac{1}{2^{30}}<\frac{1}{10^9}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass es noch eine weitere Fermat-Primzahl $F_n>F_4$ gibt, beträgt also weniger als 1 zu einer Milliarde, weswegen man davon ausgehen kann, dass es wahrscheinlich keine weiteren gibt.

Geometrische Anwendung der Fermatschen Primzahlen

Anzahl der Seiten bekannter konstruierbarer Polygone.
Rot: Seitenzahlen der 31 bekannten regulären Polygone mit ungerader Seitenzahl (Lesart von oben nach unten: Gleichseitiges Dreieck – regelmäßiges Fünfeck – regelmäßiges Fünfzehneck - … – 4294967295-Eck)
Schwarz: Seitenzahlen der (unendlich vielen) bekannten Polygone mit gerader Seitenzahl

Carl Friedrich Gauß zeigte (in seinem Lehrbuch Disquisitiones Arithmeticae), dass es einen Zusammenhang zwischen der Konstruktion von regelmäßigen Polygonen und den Fermatschen Primzahlen gibt:

Ein regelmäßiges Polygon mit n Seiten kann dann und nur dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden, wenn n

• eine Potenz von 2 oder
• eine Potenz von 2 multipliziert mit paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist.

Mit anderen Worten:

Ein $n$-seitiges regelmäßiges Polygon kann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden$⟺$

$n=2^k\cdot p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_s$  mit $k\in {\mathbb{N}}_0$ und paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen $p_1,p_2,\dots ,p_s$

Konkret zeigte Gauß die Konstruierbarkeit des regelmäßigen Siebzehnecks.

Die nach der obigen Formel konstruierbaren regelmäßigen Polygone lassen sich in zwei Gruppen unterteilen: solche mit ungerader Seitenzahl und solche mit gerader Seitenzahl. Alle Polygone, in denen $k>0$ ist, sind offensichtlich solche mit gerader Seitenzahl (durch 2 teilbar). Alle Polygone mit $k=0$ sind solche mit ungerader Seitenzahl (ein Produkt von Primzahlen größer als 2 ist immer eine ungerade Zahl). Da nur endlich viele Fermatsche Primzahlen bekannt sind, ist auch die Anzahl der bekannten, mit Zirkel und Lineal konstruierbaren, regulären Polygone mit ungerader Seitenzahl begrenzt. Unter diesen ist das 4294967295-Eck (${\prod }_{i=1}^5{p}_i$) dasjenige mit der größten Eckenzahl.

Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen

Eine Zahl der Form $b^{2^n}+a^{2^n}$ mit zwei teilerfremden natürlichen Zahlen a > 0 und b > 0 heißt verallgemeinerte Fermatsche Zahl. Ist eine solche Zahl prim, dann heißt sie verallgemeinerte Fermatsche Primzahl.

Insgesamt sind schon über 11719 Faktoren von verallgemeinerten zusammengesetzten Fermat-Zahlen bekannt (Stand: 13. August 2018). Davon wurden alleine über 5100 von Anders Björn und Hans Riesel vor 1998 entdeckt.

Ist a = 1, so werden die so erhaltenen verallgemeinerten Fermatschen Zahlen üblicherweise mit

$F_n(b)=b^{2^n}+1$

bezeichnet. Die Zahl b nennt man Basis.

Ist a = 1 und b = 2, so handelt es sich um die schon weiter oben erwähnten Fermat-Zahlen

$F_n(2)=F_n=2^{2^n}+1$.

Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen der Form $F_n(b,a)=\frac{b^{2^n}+a^{2^n}}{\mathrm{ggT}(b+a,2)}$. Die beiden Basen $b$ und $a$ müssen, damit $F_n(b,a)$ prim sein kann, teilerfremd sein. Außerdem ist es auch notwendig, dass man $F_n(b,a)$ durch den größten gemeinsamen Teiler $\mathrm{ggT}(b+a,2)$ dividiert, da die Zahl $b^{2^n}+a^{2^n}$ bei ungeradem $b$ und $a$ immer eine gerade Zahl wäre und somit niemals eine Primzahl sein könnte. Weiters kann man ohne Einschränkung annehmen, dass $a<b$ sein muss, da man bei $F_n(b,a)$ das $a$ bedenkenlos mit $b$ vertauschen kann und somit zum Beispiel $F_n(5,9)=F_n(9,5)$ ist. Der Fall $a=b$ führt niemals zu Primzahlen, da dann $F_n(b,a)=F_n(b,b)=\frac{b^{2^n}+b^{2^n}}{\mathrm{ggT}(b+b,2)}=\frac{2b^{2^n}}{2}=b^{2^n}$ wäre und sicher nicht prim ist (es wären in diesem Fall auch die beiden Basen $b$ und $b$ nicht wie vorausgesetzt teilerfremd).

Liste der verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen der Form $F_n(b,a)=\frac{b^{2^n}+a^{2^n}}{\mathrm{ggT}(b+a,2)}$ mit konstantem $b\le 16$ und $a<b$

b a $F_n(b,a)$ $n$, für das $F_n(b,a)$ prim ist 2 1 $2^{2^n}+1^{2^n}$ 0, 1, 2, 3, 4, … 3 1 $\frac{3^{2^n}+1^{2^n}}{2}$ 0, 1, 2, 4, 5, 6, … 3 2 $3^{2^n}+2^{2^n}$ 0, 1, 2, … 4 1 $4^{2^n}+1^{2^n}$ 0, 1, 2, 3, … 4 3 $4^{2^n}+3^{2^n}$ 0, 2, 4, … 5 1 $\frac{5^{2^n}+1^{2^n}}{2}$ 0, 1, 2 … 5 2 $5^{2^n}+2^{2^n}$ 0, 1, 2, … 5 3 $\frac{5^{2^n}+3^{2^n}}{2}$ 1, 2, 3, … 5 4 $5^{2^n}+4^{2^n}$ 1, 2, … 6 1 $6^{2^n}+1^{2^n}$ 0, 1, 2, … 6 5 $6^{2^n}+5^{2^n}$ 0, 1, 3, 4, … 7 1 $\frac{7^{2^n}+1^{2^n}}{2}$ 2, … 7 2 $7^{2^n}+2^{2^n}$ 1, 2, … 7 3 $\frac{7^{2^n}+3^{2^n}}{2}$ 0, 1, 8, … 7 4 $7^{2^n}+4^{2^n}$ 0, 2, … 7 5 $\frac{7^{2^n}+5^{2^n}}{2}$ 1, 4, … 7 6 $7^{2^n}+6^{2^n}$ 0, 2, 4, … 8 1 $8^{2^n}+1^{2^n}$ es gibt keine Prim­zahlen dieser Form 8 3 $8^{2^n}+3^{2^n}$ 0, 1, 2, … 8 5 $8^{2^n}+5^{2^n}$ 0, 1, 2, …

b a $F_n(b,a)$ $n$, für das $F_n(b,a)$ prim ist 8 7 $8^{2^n}+7^{2^n}$ 1, 4, … 9 1 $\frac{9^{2^n}+1^{2^n}}{2}$ 0, 1, 3, 4, 5, … 9 2 $9^{2^n}+2^{2^n}$ 0, 2, … 9 4 $9^{2^n}+4^{2^n}$ 0, 1, … 9 5 $\frac{9^{2^n}+5^{2^n}}{2}$ 0, 1, 2, … 9 7 $\frac{9^{2^n}+7^{2^n}}{2}$ 2, … 9 8 $9^{2^n}+8^{2^n}$ 0, 2, 5, … 10 1 $10^{2^n}+1^{2^n}$ 0, 1, … 10 3 $10^{2^n}+3^{2^n}$ 0, 1, 3, … 10 7 $10^{2^n}+7^{2^n}$ 0, 1, 2, … 10 9 $10^{2^n}+9^{2^n}$ 0, 1, 2, … 11 1 $\frac{11^{2^n}+1^{2^n}}{2}$ 1, 2, … 11 2 $11^{2^n}+2^{2^n}$ 0, 2, … 11 3 $\frac{11^{2^n}+3^{2^n}}{2}$ 0, 3, … 11 4 $11^{2^n}+4^{2^n}$ 1, 2, … 11 5 $\frac{11^{2^n}+5^{2^n}}{2}$ 1, … 11 6 $11^{2^n}+6^{2^n}$ 0, 1, 2, … 11 7 $\frac{11^{2^n}+7^{2^n}}{2}$ 2, 4, 5, … 11 8 $11^{2^n}+8^{2^n}$ 0, 6, … 11 9 $\frac{11^{2^n}+9^{2^n}}{2}$ 1, 2, …

b a $F_n(b,a)$ $n$, für das $F_n(b,a)$ prim ist 11 10 $11^{2^n}+10^{2^n}$ 5, … 12 1 $12^{2^n}+1^{2^n}$ 0, … 12 5 $12^{2^n}+5^{2^n}$ 0, 4, … 12 7 $12^{2^n}+7^{2^n}$ 0, 1, 3, … 12 11 $12^{2^n}+11^{2^n}$ 0, … 13 1 $\frac{13^{2^n}+1^{2^n}}{2}$ 0, 2, 3, … 13 2 $13^{2^n}+2^{2^n}$ 1, 3, 9, … 13 3 $\frac{13^{2^n}+3^{2^n}}{2}$ 1, 2, … 13 4 $13^{2^n}+4^{2^n}$ 0, 2, … 13 5 $\frac{13^{2^n}+5^{2^n}}{2}$ 1, 2, 4, … 13 6 $13^{2^n}+6^{2^n}$ 0, 6, … 13 7 $\frac{13^{2^n}+7^{2^n}}{2}$ 1, … 13 8 $13^{2^n}+8^{2^n}$ 1, 3, 4, … 13 9 $\frac{13^{2^n}+9^{2^n}}{2}$ 0, 3, … 13 10 $13^{2^n}+10^{2^n}$ 0, 1, 2, 4, … 13 11 $\frac{13^{2^n}+11^{2^n}}{2}$ 2, … 13 12 $13^{2^n}+12^{2^n}$ 1, 2, 5, … 14 1 $14^{2^n}+1^{2^n}$ 1, … 14 3 $14^{2^n}+3^{2^n}$ 0, 3, … 14 5 $14^{2^n}+5^{2^n}$ 0, 2, 4, 8, …

b a $F_n(b,a)$ $n$, für das $F_n(b,a)$ prim ist 14 9 $14^{2^n}+9^{2^n}$ 0, 1, 8, … 14 11 $14^{2^n}+11^{2^n}$ 1, … 14 13 $14^{2^n}+13^{2^n}$ 2, … 15 1 $\frac{15^{2^n}+1^{2^n}}{2}$ 1, … 15 2 $15^{2^n}+2^{2^n}$ 0, 1, … 15 4 $15^{2^n}+4^{2^n}$ 0, 1, … 15 7 $\frac{15^{2^n}+7^{2^n}}{2}$ 0, 1, 2, … 15 8 $15^{2^n}+8^{2^n}$ 0, 2, 3, … 15 11 $\frac{15^{2^n}+11^{2^n}}{2}$ 0, 1, 2, … 15 13 $\frac{15^{2^n}+13^{2^n}}{2}$ 1, 4, … 15 14 $15^{2^n}+14^{2^n}$ 0, 1, 2, 4, … 16 1 $16^{2^n}+1^{2^n}$ 0, 1, 2, … 16 3 $16^{2^n}+3^{2^n}$ 0, 2, 8, … 16 5 $16^{2^n}+5^{2^n}$ 1, 2, … 16 7 $16^{2^n}+7^{2^n}$ 0, 6, … 16 9 $16^{2^n}+9^{2^n}$ 1, 3, … 16 11 $16^{2^n}+11^{2^n}$ 2, 4, … 16 13 $16^{2^n}+13^{2^n}$ 0, 3, … 16 15 $16^{2^n}+15^{2^n}$ 0, …

Fast alle verallgemeinerten Fermatschen Zahlen sind wahrscheinlich zusammengesetzt. Bewiesen ist diese Aussage aber nicht, denn schon für $b=2$ und $a=1$ (das sind die ursprünglichen Fermat-Zahlen) wurde weiter oben im Kapitel Ungelöste Probleme erwähnt, dass man noch nicht weiß, ob ab $n\ge 5$ alle weiteren $F_n$ zusammengesetzt sind oder nicht. Ähnlich verhält es sich mit anderen Basen und Hochzahlen. Und obwohl schon über 11000 Faktoren von verallgemeinerten Fermatschen Zahlen bekannt sind (siehe weiter oben), ist es schwierig, solche Faktoren zu finden, zumal $F_n(b,a)$ sehr schnell sehr groß wird. Zum Teil weiß man zwar, dass diese Zahlen zusammengesetzt sein müssen, aber Primteiler kennt man von den wenigsten. Bekannt ist, dass solche Primteiler die Form $k\cdot 2^m+1$ haben müssen. Es folgt eine Auflistung von Primfaktoren kleinerer verallgemeinerter Fermatschen Zahlen inklusive zweier etwas höherer Zahlenbeispiele, anhand derer man erkennen kann, wie schnell die Zahlen sehr hoch werden.

Liste von ausgewählten Primfaktoren von verallgemeinerten Fermatschen Zahlen der Form $F_n(b,a)=\frac{b^{2^n}+a^{2^n}}{\mathrm{ggT}(b+a,2)}$

verallgemeinerte zusammengesetzte Fermatsche Zahl					Primteiler
b	a	n	$F_n(b,a)$	Dezimalschreibweise	k	m	Primteiler $k\cdot 2^m+1$	Dezimalschreibweise
2	1	5	$2^{2^5}+1^{2^5}$	4.294.967.297 (=$F_5$)	5	7	$5\cdot 2^7+1$	641
					52347	7	$52347\cdot 2^7+1$	6.700.417
2	1	6	$2^{2^6}+1^{2^6}$	18.446.744.073.709.551.617 (=$F_6$)	1071	8	$1071\cdot 2^8+1$	274.177
					262814145745	8	$262814145745\cdot 2^8+1$	67.280.421.310.721
3	1	3	$\frac{3^{2^3}+1^{2^3}}{2}$	3.281	1	4	$1\cdot 2^4+1$	17
					3	6	$3\cdot 2^6+1$	193
3	2	3	$3^{2^3}+2^{2^3}$	6.817	1	4	$1\cdot 2^4+1$	17
					25	4	$25\cdot 2^4+1$	401
3	2	4	$3^{2^4}+2^{2^4}$	43.112.257	95	5	$95\cdot 2^5+1$	3.041
					443	5	$443\cdot 2^5+1$	14.177
3	2	5	$3^{2^5}+2^{2^5}$	1.853.024.483.819.137	9	7	$9\cdot 2^7+1$	1.153
					3138931869	9	$3138931869\cdot 2^9+1$	1.607.133.116.929
3	2	6	$3^{2^6}+2^{2^6}$	3.433.683.820.310.959.228.731.558.640.897	3	8	$3\cdot 2^8+1$	769
					952341149	7	$952341149\cdot 2^7+1$	121.899.667.073
					286168266760535	7	$286168266760535\cdot 2^7+1$	36.629.538.145.348.481
4	1	4	$4^{2^4}+1^{2^4}$	4.294.967.297	5	7	$5\cdot 2^7+1$	641
					52347	7	$52347\cdot 2^7+1$	6.700.417
4	1	5	$4^{2^5}+1^{2^5}$	18.446.744.073.709.551.617	1071	8	$1071\cdot 2^8+1$	274.177
					262814145745	8	$262814145745\cdot 2^7+1$	67.280.421.310.721
4	1	6	$4^{2^6}+1^{2^6}$	340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457	116503103764643	9	$116503103764643\cdot 2^9+1$	59.649.589.127.497.217
					11141971095088142685	9	$11141971095088142685\cdot 2^9+1$	5.704.689.200.685.129.054.721
4	3	1	$4^{2^1}+3^{2^1}$	25	1	2	$1\cdot 2^2+1$	5
					1	2	$1\cdot 2^2+1$	5
4	3	3	$4^{2^3}+3^{2^3}$	72.097	1	4	$1\cdot 2^4+1$	17
					265	4	$265\cdot 2^4+1$	4.241
4	3	5	$4^{2^5}+3^{2^5}$	18.448.597.093.898.403.457	187	6	$187\cdot 2^6+1$	11.969
					24083827353343	6	$24083827353343\cdot 2^6+1$	1.541.364.950.613.953
4	3	6	$4^{2^6}+3^{2^6}$	340.282.370.354.622.283.755.887.092.089.617.300.737	1317	8	$1317\cdot 2^8+1$	337.153
					492813355211781926870528348211	11	$492813355211781926870528348211\cdot 2^{11}+1$	1.009.281.751.473.729.386.230.842.057.136.129
5	1	3	$\frac{5^{2^3}+1^{2^3}}{2}$	195.313	1	4	$1\cdot 2^4+1$	17
					359	5	$359\cdot 2^5+1$	11.489
5	1	4	$\frac{5^{2^4}+1^{2^4}}{2}$	76.293.945.313	81	5	$81\cdot 2^5+1$	2.593
					459735	6	$459735\cdot 2^6+1$	29.423.041
5	1	5	$\frac{5^{2^5}+1^{2^5}}{2}$	11.641.532.182.693.481.445.313	5	7	$5\cdot 2^7+1$	641
					1172953	6	$1172953\cdot 2^6+1$	75.068.993
					945042975	8	$945042975\cdot 2^8+1$	241.931.001.601
5	1	6	$\frac{5^{2^6}+1^{2^6}}{2}$	271.050.543.121.376.108.501.863.200.217.485.427.856.445.313 (Zahl hat 45 (also abgerundet etwa $10^1$) Stellen)	3	8	$3\cdot 2^8+1$	769
					28644528117	7	$28644528117\cdot 2^7+1$	3.666.499.598.977
					187759681216101058498487625	9	$187759681216101058498487625\cdot 2^9+1$	96.132.956.782.643.741.951.225.664.001
…	…	…	…	…	…	…	…	…
					…	…	…	…
12	11	37	$12^{2^{37}}+11^{2^{37}}$	Zahl hat 148.321.541.064 (also etwa $10^{11}$) Stellen	1776222707793	38	$1776222707793\cdot 2^{38}+1$	488.244.380.184.543.957.614.593
					und noch ein Faktor, von dem man nicht weiß, ob er zusammengesetzt ist oder nicht
…	…	…	…	…	…	…	…	…
					…	…	…	…
12	11	7033640	$12^{2^{7033640}}+11^{2^{7033640}}$	Zahl hat etwa $10^{2117337}$ Stellen	3	7033641	$3\cdot 2^{7033641}+1$	Primteiler hat 2117338 Stellen
					und noch ein Faktor, von dem man nicht weiß, ob er zusammengesetzt ist oder nicht

Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen der Form F_n(b)

Ist b eine gerade Zahl, so kann F_n(b) sowohl zusammengesetzt als auch prim sein.

Beispiel 1:

b = 8, n = 3 ergibt die zusammengesetzte Zahl

$F_3(8)=8^{2^3}+1=8^8+1=16.777.217=97\cdot 257\cdot 673$.

Beispiel 2:

b = 6, n = 2 ergibt die Primzahl

$F_2(6)=6^{2^2}+1=6^4+1=1297$.

Beispiel 3:

b = 30, n = 5 ergibt die 48-stellige Primzahl

$F_5(30)=30^{2^5}+1=30^{32}+1=185.302.018.885.184.100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.001$

und ist gleichzeitig die kleinste verallgemeinerte Fermatsche Primzahl mit $n>4$.

Ist b eine ungerade Zahl, so ist F_n(b) als Summe einer Potenz einer ungeraden Zahl (die selbst wieder ungerade ist) und 1 immer eine gerade Zahl, somit durch 2 teilbar und deshalb für b > 1 keine Primzahl, sondern zusammengesetzt. In diesem Fall wird häufig die Zahl

$\frac{F_n(b)}{2}=\frac{b^{2^n}+1}{2}$

auf ihre Primalität untersucht. Diese Zahlen werden auch halbe verallgemeinerte Fermatsche Zahlen genannt.

Beispiel 4:

b = 3, n = 2 ergibt die gerade und somit zusammengesetzte Zahl

$F_2(3)=3^{2^2}+1=3^4+1=81+1=82=2\cdot 41$.

Es ist aber

$\frac{F_2(3)}{2}=\frac{3^{2^2}+1}{2}=\frac{82}{2}=41$

eine Primzahl.

Beispiel 5:

b = 5, n = 3 ergibt die gerade und somit zusammengesetzte Zahl

$F_3(5)=5^{2^3}+1=5^8+1=390625+1=390626=2\cdot 17\cdot 11489.$

Es ist aber

$\frac{F_3(5)}{2}=\frac{5^{2^3}+1}{2}=\frac{390626}{2}=195313=17\cdot 11489$

eine zusammengesetzte Zahl.

Liste der Primzahlen der Form F_n(b)

Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen der Form $F_n(b)=b^{2^n}+1$ (für gerade $b$) bzw. der Form $\frac{F_n(b)}{2}=\frac{b^{2^n}+1}{2}$ (für ungerade $b$) sind in den meisten Fällen zusammengesetzt. Weil diese Zahlen sehr schnell sehr groß werden, sind nicht besonders viele Primzahlen dieser Art bekannt. Es folgt eine Auflistung von Primzahlen der Form $F_n(b)$ mit konstantem $b\le 60$:

Liste der verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen der Form $F_n(b)=b^{2^n}+1$ bzw. der Form $\frac{F_n(b)}{2}=\frac{b^{2^n}+1}{2}$ mit konstantem $b\le 60$

b $F_n(b)$ bzw. $\frac{F_n(b)}{2}$ $n$, für die $F_n(b)$ bzw. $\frac{F_n(b)}{2}$ prim ist 0 $0^{2^n}+1=1$ es gibt keine Primzahlen dieser Form 1 $\frac{1^{2^n}+1}{2}=1$ es gibt keine Primzahlen dieser Form 2 $2^{2^n}+1$ 0, 1, 2, 3, 4, … 3 $\frac{3^{2^n}+1}{2}$ 0, 1, 2, 4, 5, 6, … 4 $4^{2^n}+1$ 0, 1, 2, 3, … 5 $\frac{5^{2^n}+1}{2}$ 0, 1, 2, … 6 $6^{2^n}+1$ 0, 1, 2, … 7 $\frac{7^{2^n}+1}{2}$ 2, … 8 $8^{2^n}+1$ es gibt keine Primzahlen dieser Form 9 $\frac{9^{2^n}+1}{2}$ 0, 1, 3, 4, 5, … 10 $10^{2^n}+1$ 0, 1, … 11 $\frac{11^{2^n}+1}{2}$ 1, 2, … 12 $12^{2^n}+1$ 0, … 13 $\frac{13^{2^n}+1}{2}$ 0, 2, 3, … 14 $14^{2^n}+1$ 1, … 15 $\frac{15^{2^n}+1}{2}$ 1, …

b $F_n(b)$ bzw. $\frac{F_n(b)}{2}$ $n$, für die $F_n(b)$ bzw. $\frac{F_n(b)}{2}$ prim ist 16 $16^{2^n}+1$ 0, 1, 2, … 17 $\frac{17^{2^n}+1}{2}$ 2, … 18 $18^{2^n}+1$ 0, … 19 $\frac{19^{2^n}+1}{2}$ 1, … 20 $20^{2^n}+1$ 1, 2, … 21 $\frac{21^{2^n}+1}{2}$ 0, 2, 5, … 22 $22^{2^n}+1$ 0, … 23 $\frac{23^{2^n}+1}{2}$ 2, … 24 $24^{2^n}+1$ 1, 2, … 25 $\frac{25^{2^n}+1}{2}$ 0, 1, … 26 $26^{2^n}+1$ 1, … 27 $\frac{27^{2^n}+1}{2}$ es gibt keine Primzahlen dieser Form 28 $28^{2^n}+1$ 0, 2, … 29 $\frac{29^{2^n}+1}{2}$ 1, 2, 4, … 30 $30^{2^n}+1$ 0, 5, …

b $F_n(b)$ bzw. $\frac{F_n(b)}{2}$ $n$, für die $F_n(b)$ bzw. $\frac{F_n(b)}{2}$ prim ist 31 $\frac{31^{2^n}+1}{2}$ noch keine bekannt 32 $32^{2^n}+1$ es gibt keine Primzahlen dieser Form 33 $\frac{33^{2^n}+1}{2}$ 0, 3, … 34 $34^{2^n}+1$ 2, … 35 $\frac{35^{2^n}+1}{2}$ 1, 2, 6, … 36 $36^{2^n}+1$ 0, 1, … 37 $\frac{37^{2^n}+1}{2}$ 0, … 38 $38^{2^n}+1$ noch keine bekannt 39 $\frac{39^{2^n}+1}{2}$ 1, 2, … 40 $40^{2^n}+1$ 0, 1, … 41 $\frac{41^{2^n}+1}{2}$ 4, … 42 $42^{2^n}+1$ 0, … 43 $\frac{43^{2^n}+1}{2}$ 3, … 44 $44^{2^n}+1$ 4, … 45 $\frac{45^{2^n}+1}{2}$ 0, 1, …

b $F_n(b)$ bzw. $\frac{F_n(b)}{2}$ $n$, für die $F_n(b)$ bzw. $\frac{F_n(b)}{2}$ prim ist 46 $\frac{46^{2^n}+1}{2}$ 0, 2, 9, … 47 $47^{2^n}+1$ 3, … 48 $\frac{48^{2^n}+1}{2}$ 2, … 49 $49^{2^n}+1$ 1, … 50 $\frac{50^{2^n}+1}{2}$ noch keine bekannt 51 $51^{2^n}+1$ 1, 3, 6, … 52 $\frac{52^{2^n}+1}{2}$ 0, … 53 $53^{2^n}+1$ 3, … 54 $\frac{54^{2^n}+1}{2}$ 1, 2, 5, … 55 $55^{2^n}+1$ noch keine bekannt 56 $\frac{56^{2^n}+1}{2}$ 1, 2, … 57 $57^{2^n}+1$ 0, 2, … 58 $\frac{58^{2^n}+1}{2}$ 0, … 59 $59^{2^n}+1$ 1, … 60 $\frac{60^{2^n}+1}{2}$ 0, …

Die kleinsten $n$ (ab $b=2$), für die $F_n(b)$ bzw. $\frac{F_n(b)}{2}$ erstmals eine Primzahl ergibt, kann man der obigen Tabelle entnehmen, was für alle $b\le 1500$ die folgende Liste ergibt (der Wert −1 bedeutet „nicht existent“ bzw. „noch keine bekannt“):

0, 0, 0, 0, 0, 2, −1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 0, 2, 1, 0, 1, −1, 0, 1, 0, −1, −1, 0, 2, 1, 0, 0, −1, 1, 0, 4, 0, 3, 4, 0, 0, 3, 2, 1, −1, 1, 0, 3, 1, −1, 1, 0, 0, 1, 0, … (Vorlage:OEIS)

Mehr Informationen für gerade $b$ bis zur Basis $b=1000$ findet man im Internet.

Nun folgt eine Auflistung von Primzahlen der Form $F_n(b)$ mit konstantem $n$:

Liste der verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen der Form $F_n(b)=b^{2^n}+1$ mit konstantem $n$

n	Fn(b)	b, für die Fn(b) prim ist	OEIS-Folge
0	$b+1$	1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, … (alle Primzahlen minus 1)	(Vorlage:OEIS)
1	$b^2+1$	1, 2, 4, 6, 10, 14, 16, 20, 24, 26, 36, 40, 54, 56, 66, 74, 84, 90, 94, 110, 116, 120, 124, 126, 130, 134, 146, 150, 156, 160, 170, 176, 180, 184, 204, 206, 210, 224, 230, 236, 240, 250, 256, 260, 264, 270, 280, 284, 300, 306, 314, 326, 340, 350, 384, 386, 396, …	(Vorlage:OEIS)
2	$b^4+1$	1, 2, 4, 6, 16, 20, 24, 28, 34, 46, 48, 54, 56, 74, 80, 82, 88, 90, 106, 118, 132, 140, 142, 154, 160, 164, 174, 180, 194, 198, 204, 210, 220, 228, 238, 242, 248, 254, 266, 272, 276, 278, 288, 296, 312, 320, 328, 334, 340, 352, 364, 374, 414, 430, 436, 442, 466, …	(Vorlage:OEIS)
3	$b^8+1$	1, 2, 4, 118, 132, 140, 152, 208, 240, 242, 288, 290, 306, 378, 392, 426, 434, 442, 508, 510, 540, 542, 562, 596, 610, 664, 680, 682, 732, 782, 800, 808, 866, 876, 884, 892, 916, 918, 934, 956, 990, 1022, 1028, 1054, 1106, 1120, 1174, 1224, 1232, 1256, 1284, …	(Vorlage:OEIS)
4	$b^{16}+1$	1, 2, 44, 74, 76, 94, 156, 158, 176, 188, 198, 248, 288, 306, 318, 330, 348, 370, 382, 396, 452, 456, 470, 474, 476, 478, 560, 568, 598, 642, 686, 688, 690, 736, 774, 776, 778, 790, 830, 832, 834, 846, 900, 916, 946, 956, 972, 982, 984, 1018, 1044, 1078, …	(Vorlage:OEIS)
5	$b^{32}+1$	1, 30, 54, 96, 112, 114, 132, 156, 332, 342, 360, 376, 428, 430, 432, 448, 562, 588, 726, 738, 804, 850, 884, 1068, 1142, 1198, 1306, 1540, 1568, 1596, 1678, 1714, 1754, 1812, 1818, 1878, 1906, 1960, 1962, 2046, 2098, 2118, 2142, 2330, 2418, 2434, 2654, 2668, …	(Vorlage:OEIS)
6	$b^{64}+1$	1, 102, 162, 274, 300, 412, 562, 592, 728, 1084, 1094, 1108, 1120, 1200, 1558, 1566, 1630, 1804, 1876, 2094, 2162, 2164, 2238, 2336, 2388, 2420, 2494, 2524, 2614, 2784, 3024, 3104, 3140, 3164, 3254, 3278, 3628, 3694, 3738, 3750, 4000, 4030, 4058, 4166, …	(Vorlage:OEIS)
7	$b^{128}+1$	1, 120, 190, 234, 506, 532, 548, 960, 1738, 1786, 2884, 3000, 3420, 3476, 3658, 4258, 5788, 6080, 6562, 6750, 7692, 8296, 9108, 9356, 9582, 9706, 10238, 10994, 11338, 11432, 11466, 11554, 11778, 12704, 12766, 13082, 13478, 13700, …	(Vorlage:OEIS)
8	$b^{256}+1$	1, 278, 614, 892, 898, 1348, 1494, 1574, 1938, 2116, 2122, 2278, 2762, 3434, 4094, 4204, 4728, 5712, 5744, 6066, 6508, 6930, 7022, 7332, 8524, 8644, 8762, 8808, 9024, 9142, 9412, 10892, 12206, 13220, 13222, 13246, 13370, 13738, 14114, 14930, …	(Vorlage:OEIS)
9	$b^{512}+1$	1, 46, 1036, 1318, 1342, 2472, 2926, 3154, 3878, 4386, 4464, 4474, 4482, 4616, 4688, 5374, 5698, 5716, 5770, 6268, 6386, 6682, 7388, 7992, 8678, 8792, 9448, 9452, 9972, 10086, 10448, 10926, 11468, 12754, 13198, 13776, 14734, 16826, 16914, 18334, …	(Vorlage:OEIS)
10	$b^{1024}+1$	1, 824, 1476, 1632, 2462, 2484, 2520, 3064, 3402, 3820, 4026, 6640, 7026, 7158, 9070, 12202, 12548, 12994, 13042, 15358, 17646, 17670, 18336, 19564, 20624, 22500, 24126, 26132, 26188, 26240, 29074, 29658, 30778, 31126, 32244, 33044, 34016, …	(Vorlage:OEIS)
11	$b^{2048}+1$	1, 150, 2558, 4650, 4772, 11272, 13236, 15048, 23302, 26946, 29504, 31614, 33308, 35054, 36702, 37062, 39020, 39056, 43738, 44174, 45654, 46502, 47348, 49190, 49204, 49544, 54514, 57210, 59770, 61184, 66894, 68194, 70574, 72446, 82642, …	(Vorlage:OEIS)
12	$b^{4096}+1$	1, 1534, 7316, 17582, 18224, 28234, 34954, 41336, 48824, 51558, 51914, 57394, 61686, 62060, 89762, 96632, 98242, 100540, 101578, 109696, 110540, 114690, 125440, 125442, 127596, 138068, 144362, 154908, 157310, 161822, 161900, 166224, …	(Vorlage:OEIS)
13	$b^{8192}+1$	1, 30406, 71852, 85654, 111850, 126308, 134492, 144642, 147942, 150152, 165894, 176206, 180924, 201170, 212724, 222764, 225174, 241600, 241860, 248744, 268032, 270674, 302368, 316970, 326260, 347962, 350830, 397468, 410938, 416010, 441238, 443718, 458520, 462678, 463012, 475158, 481750, …, 352666770, …	(Vorlage:OEIS)
14	$b^{16384}+1$	1, 67234, 101830, 114024, 133858, 162192, 165306, 210714, 216968, 229310, 232798, 422666, 426690, 449732, 462470, 468144, 498904, 506664, 509622, 528614, 572934, 581424, 638980, 641762, 656210, 698480, 704930, 730352, 795810, 840796, 908086, 975248, 976914, 990908, 1007874, 1037748, 1039970, 1067896, 1082054, 1097352, 1102754, 1132526, 1162996, 1171010, 1177808, 1181388, …, 10841645805132531666786792405311319418846637043199917731311876, …	(Vorlage:OEIS)
15	$b^{32768}+1$	1, 70906, 167176, 204462, 249830, 321164, 330716, 332554, 429370, 499310, 524552, 553602, 743788, 825324, 831648, 855124, 999236, 1041870, 1074542, 1096382, 1113768, 1161054, 1167528, 1169486, 1171824, 1210354, 1217284, 1277444, 1519380, 1755378, 1909372, 1922592, 1986700, 2034902, 2147196, 2167350, …, 3292665455999520712131951642528, …	(Vorlage:OEIS)
16	$b^{65536}+1$	1, 48594, 108368, 141146, 189590, 255694, 291726, 292550, 357868, 440846, 544118, 549868, 671600, 843832, 857678, 1024390, 1057476, 1087540, 1266062, 1361846, 1374038, 1478036, 1483076, 1540550, 1828502, 1874512, 1927034, 1966374, 2019300, 2041898, 2056292, 2162068, 2177038, 2187182, 2251082, 2313394, …, 1814570322984178, …	(Vorlage:OEIS)
17	$b^{131072}+1$	1, 62722, 130816, 228188, 386892, 572186, 689186, 909548, 1063730, 1176694, 1361244, 1372930, 1560730, 1660830, 1717162, 1722230, 1766192, 1955556, 2194180, 2280466, 2639850, 3450080, 3615210, 3814944, 4085818, 4329134, 4893072, 4974408, 5326454, 5400728, 5471814, 5586416, 5734100, 5877582, 6391936, 6403134, 6705932, 7379442, 7832704, 7858180, 7926326, 8150484, 8704114, 8770526, 9240606, 9419976, 9785844, 9907326, 10037266, 10368632, 10453790, 10765720, 10921162, 10962066, 10994460, 11036888, 11195602, 11267296, 11292782, 11778792, 11876066, 12343130, 12357518, 12512992, 12661786, 12687374, 12851074, 12961862, 12978952, 13083418, 13433028, 13613070, 13800346, 14020004, 14217182, 14613898, 14790404, 15091270, 15147290, 15237960, 15342502, 15567144, 15667716, 15731520, 16329572, 16741226, 16985784, 17025822, 17052490, 17119936, 17138628, 17141888, 17643330, 17814792, 17958952, 18298534, 18309468, 18501600, 18509226, 18608780, 18813106, 18968126, 19216648, 19464034, 20185276, 20227142, 20234282, 20674450, 20968936, 21517658, 21582550, 21757066, 21869554, 21917442, 22007146, 22705306, 22718284, 22808110, 22901508, 22980158, 23011666, 23045178, 23363426, 24297936, 24486806, 24522386, 24641166, 24642712, 24644826, 24734116, 25124378, 25128150, 26172278, 26500832, 26599558, 26757382, 26896670, 27022768, 27408050, 27544748, 27557876, 27758510, 27822108, 28175634, 28294666, 28398204, 28497098, 29169314, 29505368, 29607314, 29959190, 30022816, 30059800, 30225714, 30300414, 30315072, 30318724, 30819256, 30844300, 31044982, 31145080, 31469984, 31768014, 31821360, 32055422, 32096608, 32137342, 32200644, 32286660, 32348894, 32417420, 32430486, 32608738, 32704348, 32792696, 32869172, 33191418, 33395198, 33474284, 33732746, 34087952, 34530386, 34585314, 34763644, 34871942, 34957136, 35047222, 35139782, 35141602, 35282096, 35327718, 35372304, 35391288, 35957420, 35997532, 36038176, 36416848, 36422846, 36531196, 37909914, 38152876, 38196496, 38310998, 38734748, 38824296, 39100746, 39324372, 39502358, 39597790, 39746366, 40151896, 40463598, 40550398, 41001148, 41007562, 41102236, 41237116, 41364744, 41688706, 42168978, 42230406, 42243204, 42254832, 42414020, 42550702, 42654182, 43163894, 43165206, 44049878, 44085096, 44330870, 44438760, 44919410, 45315256, 45570624, 46077492, 46371508, 46385310, 46413358, 46730280, 46736070, 46776558, 47090246, 47179704, 48273828, 48370248, 48643706, 49038514, 49090656, 49225986, 49243622, 49331672, 49397682, 49530004, 49817700, 50055102, 50110436, 50217306, 50495632, 50844724, 50963598, 51269192, 51567684, 51570250, 51580416, 51872628, 51954384, 52043532, 52412612, 52712138, 53078434, 53161266, 53659976, 54032538, 54161106, 54206254, 54212352, 54334044, 54361742, 54548788, 55015050, 55184170, 55268442, 55579418, 55645700, 56307420, 56383242, 56459558, 56584816, 56735576, 56917336, 57438404, 57594734, 57694224, 57704312, 58247118, 58447642, 58447816, 58523466, 58589880, 59161754, 59210784, 59305348, 59362002, 59405420, 59515830, 59692546, 59720358, 60133106, 60455792, 60540024, 60642326, 61030988, 61267078, 61837354, 62146946, 62276102, 63112418, 63165756, 63168480, 63823568, 64024604, 64476916, 64506894, 64568930, 64791668, 64911056, 65200798, 65305572, 65569854, 65791182, 66131722, 66272848, 66901180, 66982940, 67371416, 67725850, 67894288, 68275006, 68372810, 68536972, 68811158, 68918852, 68924112, 68999820, 69534788, 69565722, 69622572, 69689592, 69742382, 69915032, 70022042, 70050828, 70421038, 70658696, 70893680, 70934282, 70948704, 70960658, 71450224, 71679108, 71732900, 72070092, 72602370, 73099962, 73132228, 73160610, 73404316, 73690464, 73839292, 74325990, 74363146, 74381296, 74396818, 74817490, 74833516, 75521414, 75647276, 75861530, 76018874, 76026988, 76416048, 77281404, 77469882, 77918854, 77924964, 78089172, 78240016, 78439440, 78714954, 78851276, 78880690, 78910032, 79201682, 79383608, 79428414, 79485098, 79789806, 79801426, 79912550, 80146408, 80284312, 81096098, 81444036, 81477176, 81976506, 82003030, 82008736, 83003850, 83328182, 83364886, 84149050, 84384358, 84445014, 84679936, 84715930, 84723284, 84757790, 84765338, 84817722, 84924212, 85115888, 86060696, 86295564, 86347638, 86413544, 86829162, 87039658, 87116452, 87192538, 87268788, 87352356, 87370574, 87454694, 87547832, 87920992, 88068088, 88166868, 88243020, 88760062, 89113896, 89285798, 89790434, 89977312, 90006846, 90382348, 90857490, 90938686, 90942952, 91033554, 91049202, 91069366, 91655310, 91685784, 91689894, 91707732, 91767880, 92198216, 92460588, 93035888, 93514592, 93773904, 93886318, 93950924, 94978760, 95308284, 95596816, 95635202, 95940796, 96111850, 96475576, 96734274, 96821302, 97046574, 97512766, 98137862, 98200338, 98240694, 98518362, 98557818, 98652282, 98922946, 98978354, 99189780, 99351950, 99557826, 99650934, 99665972, 100010426, 100324226, 100369508, 100382228, 100441116, 100520930, 100534258, 100719472, 100865034, 101270816, 101328382, 101607438, 101856256, 101915106, 102021074, 102050324, 102257714, 102397132, 102469684, 102507732, 103013294, 103094212, 103209792, 103280694, 103289324, 103605376, 103828182, 108584736, 108581414, 108195632, 108161744, 108080390, 107979316, 107922308, 107732730, 107627678, 107492880, 107420312, 107404768, 107222132, 107126228, 106901434, 106508704, 106440698, 106019242, 105937832, 105861526, 105850338, 105534478, 105058710, 104907548, 104808996, 104641854, …, 271643232, 314187728, 399866798, …	(Vorlage:OEIS)
18	$b^{262144}+1$	1, 24518, 40734, 145310, 361658, 525094, 676754, 773620, 1415198, 1488256, 1615588, 1828858, 2042774, 2514168, 2611294, 2676404, 3060772, 3547726, 3596074, 3673932, 3853792, 3933508, 4246258, 4489246, 5152128, 5205422, 5828034, 6287774, 6291332, 8521794, 8883864, 9125820, 9450844, 9750938, 9812766, 10578478, 10578478, 10578478, 10627360, 10793312, 10829576, 10979776, 11081688, 12189878, 12304152, 12529818, 12582496, 12959788, 13039868, 13553882, 13640376, 13911580, 14103144, 14399216, 14741470, …	(Vorlage:OEIS)
19	$b^{524288}+1$	1, 75898, 341112, 356926, 475856, 1880370, 2061748, 2312092, 2733014, 2788032, 2877652, 2985036, 3214654, 3638450, 4896418, 5897794, 6339004, …	(Vorlage:OEIS)
20	$b^{1048576}+1$	1, 919444, 1059094, 1951734, 1963736, 3843236, …	(Vorlage:OEIS)

Stand: 18. Juli 2023

Die kleinsten $b$ (mit $b\ge 2$), für die $F_n(b)$ erstmals eine Primzahl ergibt, kann man der obigen Tabelle entnehmen, was die folgende Liste ergibt:

2, 2, 2, 2, 2, 30, 102, 120, 278, 46, 824, 150, 1534, 30406, 67234, 70906, 48594, 62722, 24518, 75898, 919444, … (Vorlage:OEIS)

Die 10 größten bekannten verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen

Der folgenden Liste kann man die 10 größten bekannten verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen entnehmen. Sämtliche Entdecker dieser Primzahlen sind Teilnehmer des PrimeGrid-Projektes. In der zweiten Spalte steht, die wievieltgrößte bekannte Primzahl diese Fermatsche Primzahl im Moment ist.

Die 10 größten bekannten verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen

Rang	wievieltgrößte bekannte PrimzahlVorlage:FN	Primzahl	Fn(b)	Dezimalstellen von Fn(b)	Entdeckungsdatum	Entdecker	Quelle
1	14	$4\cdot 5^{11786358}+1=(2\cdot 5^{5893179}{)}^{2^1}+1$	$F_1(5893179)$	8.238.312	1. Oktober 2024	Ryan Propper
2	19.	$3843236^{1048576}+1$	$F_{20}(3843236)$	6.904.556	22. Dezember 2024	Jonas Skendelis
3	21.	$1963736^{1048576}+1$	$F_{20}(1963736)$	6.598.776	26. September 2022	Tom Greer (USA)
4	22.	$1951734^{1048576}+1$	$F_{20}(1951734)$	6.595.985	9. August 2022	Kazuya Tanaka (JAP)
5	25.	$1059094^{1048576}+1$	$F_{20}(1059094)$	6.317.602	31. Oktober 2018	Rob Gahan (IRL)
6	27.	$919444^{1048576}+1$	$F_{20}(919444)$	6.253.210	29. August 2017	Sylvanus A. Zimmerman (USA)
7	28.	$81\cdot 2^{20498148}+1=(3\cdot 2^{5124537}{)}^{2^2}+1$	$F_2(3\cdot 2^{20498148})$	6.170.560	13. Juni 2023	Ryan Propper
8	30.	$4\cdot 5^{8431178}+1=(2\cdot 5^{4215589}{)}^{2^1}+1$	$F_1(2\cdot 2^{4215589})$	5.893.142	2. Januar 2024	Ryan Propper
9	39.	$4\cdot 3^{11279466}+1=(2\cdot 3^{5639733}{)}^{2^1}+1$	$F_1(2\cdot 2^{5639733})$	5.381.674	10. September 2024	Ryan Propper
10	75.	$25\cdot 2^{13719266}+1=(5\cdot 2^{6859633}{)}^{2^1}+1$	$F_1(5\cdot 2^{6859633})$	4.129.912	21. September 2022	Ryan Propper

Die meisten der oben genannten Ergebnisse konnten natürlich nur mit Hilfe von Computern gefunden werden.

Siehe auch

• Mersenne-Primzahl
• Prothsche Primzahl
• 257-Eck
• 4294967295-Eck

Literatur

• Solomon W. Golomb: On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities. In: Canad. J. Math., Vol. 15, 1963, S. 475–478.
• Florian Luca: The Anti-Social Fermat Number. In: American Mathematical Monthly, Vol. 107, Nr. 2, Februar 2000, S. 171–173.
• Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: On the Convergence of Series of Reciprocals of Primes Related to the Fermat Numbers. In: Journal of Number Theory, Vol. 97, Nr. 1 (Nov. 2002), S. 95–112.
• Aleksander Grytczuk, Florian Luca, Marek Wójtowicz: Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers. In: Southeast Asian Bulletin of Mathematics, Vol. 25, Nr. 1 (Juli 2001), S. 111–115.
• Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry. In: Canad. J. Math., S. 132–138.
• Fredrick Kennard: Unsolved Problems in Mathematics. Lulu.com, Morrisville (NC) 2015. ISBN 978-1312938113. S. 56.

Weblinks

• Distributed Search for Fermat Number Divisors.
• Vorlage:MathWorld
• Factors of generalized Fermat numbers found by Björn & Riesel.
• Factors of generalized Fermat numbers found after Björn & Riesel.