Pell-Folge

Die Pell-Folge ist eine mathematische Folge von positiven ganzen Zahlen, der Pell-Zahlen (engl. Pell numbers), genauso wie die Pell-Zahlen 2. Art (engl. companion Pell numbers). Ihren Namen hat sie von dem englischen Mathematiker John Pell (1611–1685).

Pell Folge/Zahlen

Die Folge ist rekursiv definiert durch:

$P(n)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{wenn }n=0;\\ 1,& \text{wenn }n=1;\\ 2P(n-1)+P(n-2)& \text{sonst.}\end{array}$

Das bedeutet in Worten:

• für die beiden ersten Zahlen werden die Werte Null und Eins vorgegeben
• jede weitere Zahl berechnet man durch Verdopplung des direkten Vorgängers und anschließende Addition des Vorvorgängers.

Die ersten $n$ Zahlen der Folge lauten (wenn man mit $n=0$ zu zählen beginnt):

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, … (Vorlage:OEIS)

Die Pell-Folge lässt sich auch als Spezialfall der allgemeinen Lucas-Folge $U_n(P,Q)$ mit $P=2$ und $Q=-1$ interpretieren:

$f_n=U_n(2,-1)$

Silberner Schnitt

Für den Grenzwert des Verhältnisses zweier aufeinander folgender Zahlen der Pell-Folge gilt:

${\delta }_S:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{P(n)}{P(n-1)}=1+\sqrt{2}$

Diese Zahl nennt man Silberner Schnitt in Analogie zum Goldenen Schnitt der Fibonacci-Folge.

Herleitung des Zahlenwertes

Es ist folgender Grenzwert zu bestimmen: $L:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{P(n)}{P(n-1)}$

Mit $P(n)=2\cdot P(n-1)+P(n-2)$ folgt:

$L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2\cdot P(n-1)+P(n-2)}{P(n-1)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2\cdot P(n-1)}{P(n-1)}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{P(n-2)}{P(n-1)}=2+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{P(n-2)}{P(n-1)}$

Mit $L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{P(n-1)}{P(n-2)}$

folgt weiter: $L=2+\frac{1}{L}$. Damit ergibt sich die quadratische Gleichung $L^2-2L-1=0$

mit den beiden Lösungen   $L_1=1+\sqrt{2}$   und   $L_2=1-\sqrt{2}$.

Da von diesen beiden Werten nur der positive für den Grenzwert in Frage kommt, folgt:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{P(n)}{P(n-1)}=1+\sqrt{2}$

Geschlossene Form der Pell-Folge

Im Abschnitt Herleitung des Zahlenwertes wurde für die Grenzwerte des Verhältnisses zweier aufeinander folgender Zahlen der Pell-Folge gezeigt:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{P(n)}{P(n-1)}=1+\sqrt{2}$   und   $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{P(n)}{P(n-1)}=1-\sqrt{2}$.

Seien $c_1$ und $c_2$ reelle Konstanten. Dann erfüllen die geometrischen Folgen

$P_1(0):=c_1{P}_1(n):=c_1(1+\sqrt{2}{)}^{n}n\in \mathbb{N}$   und

$P_2(0):=c_2{P}_2(n):=c_2(1-\sqrt{2}{)}^{n}n\in \mathbb{N}$

die Rekursionsformeln

$P_1(n)=2P_1(n-1)+P_1(n-2)$   und  

$P_2(n)=2P_2(n-1)+P_2(n-2)$.

Deren Linearkombination $P_l(n):=c_1(1+\sqrt{2}{)}^n+c_2(1-\sqrt{2}{)}^n$ erfüllt ebenfalls die Pell-Rekursion.

Für die Pell-Folge müssen folgende Anfangswerte gelten: $P(0)=0$   und    $P(1)=1$.

Eingesetzt in $P_l(n)$ ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$P_l(0)=c_1+c_2=0$   und  

$P_l(1)=c_1(1+\sqrt{2})+c_2(1-\sqrt{2})=1$

mit den Lösungen $c_1=\frac{1}{2\sqrt{2}}$    und   $c_2=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$

Damit ergibt sich die geschlossene Form der Pell-Folge:

$P(n)=\frac{(1+\sqrt{2}{)}^n-(1-\sqrt{2}{)}^n}{2\sqrt{2}}.$

Erzeugende Funktion der Pell-Folge

Die erzeugende Funktion der Pell-Folge ist:

$𝒫(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}P(n)\cdot x^n=\frac{x}{1-2x-x^2}.$

Diese Potenzreihe hat den Konvergenzradius $\sqrt{2}-1$.

Herleitung der Funktion

Die erzeugende Funktion der Pell-Folge hat den Konvergenzradius $\sqrt{2}-1$.

Für $|x|<\sqrt{2}-1$ gilt daher mit $P(n+2)-2\cdot P(n+1)-P(n)=0,P(0)=0\text{ und }P(1)=1$:

$\begin{array}{cccccccccc}𝒫(x)& =P(0)& & +P(1)\cdot x& & +P(2)\cdot x^2& & +P(3)\cdot x^3& & +P(4)\cdot x^4+\cdots \\ -2x\cdot 𝒫(x)& =& & -2\cdot P(0)\cdot x& & -2\cdot P(1)\cdot x^2& & -2\cdot P(2)\cdot x^3& & -2\cdot P(3)\cdot x^4-\cdots \\ -x^2\cdot 𝒫(x)& =& & & & -P(0)\cdot x^2& & -P(1)\cdot x^3& & -P(2)\cdot x^4-\cdots \\ \text{HLINE TBD}(1-2x-x^2)\cdot 𝒫(x)& =P(0)& & +P(1)\cdot x-2\cdot P(0)\cdot x\\ & =x\end{array}$

Reihenentwicklungen

Die unendliche Summe der Kehrwerte der Nachfolger der ungeradstelligen Pell-Zahlen ist algebraisch.

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{P(2n-1)+1}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Die unendliche Summe der Kehrwerte der ungeradstelligen Pell-Zahlen ergibt folgenden elliptischen Funktionswert:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{P(2n-1)}=\frac{2\sqrt{2}}{\pi }\sqrt{{\lambda }^{*}[16{\pi }^{-2}\mathrm{arsinh}(1{)}^2]}K\{{\lambda }^{*}[16{\pi }^{-2}\mathrm{arsinh}(1{)}^2]\}$

Hierbei ist λ*(x) die elliptische Lambdafunktion und K(x) ist das vollständige elliptische Integral erster Art.

Analog zur Millin-Reihe über die Fibonaccizahlen kann folgende Reihe über die Pell-Zahlen formuliert werden:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{P(2^n)}=\underset{z\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=1}^z\frac{1}{P(2^n)}=\underset{z\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{P(2^z-1)+P(2^z-2)}{P(2^z)}=2-\sqrt{2}$

Pell-Primzahlen

Eine Pell-Primzahl ist eine Pell-Zahl, die prim ist. Die kleinsten Pell-Primzahlen lauten:

2, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469, 13558774610046711780701, 4125636888562548868221559797461449, 4760981394323203445293052612223893281, … (Vorlage:OEIS)

Für diese Pell-Primzahlen ist der Index $n$ von $P(n)$ der folgende:

2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087, 2273, 2393, 8093, 13339, 14033, 23747, 28183, 34429, 36749, 90197, … (Vorlage:OEIS)

Beispiel 1:

Es ist $P(10)=2378$ und $P(9)=985$. Somit ist $P(11)=2\cdot P(10)+P(9)=2\cdot 2378+985=5741\in \mathbb{P}$ eine Primzahl. Tatsächlich taucht der Index $n=11$ in obiger Liste an der 4. Stelle auf, weil er zur viertkleinsten Pell-Primzahl $P_{11}=5741$ führt.

Es gelten folgende Eigenschaften für Pell-Primzahlen:

• Wenn $P(n)$ eine Pell-Primzahl ist, dann ist der Index $n$ ebenfalls eine Primzahl (die Umkehrung stimmt nicht, das heißt, dass nicht jeder Primzahl-Index zu einer Pell-Primzahl führt).

Pell Zahlen 2. Art / Companion Pell-Folge

Pell Zahlen 2. Art werden auch Pell-Lucas Zahlen genannt.

Die Folge ist rekursiv definiert durch:

$Q(n)=\{\begin{array}{cc}2,& \text{wenn }n=0;\\ 2,& \text{wenn }n=1;\\ 2Q(n-1)+Q(n-2)& \text{sonst.}\end{array}$

Das bedeutet in Worten:

• für die beiden ersten Zahlen wird der Wert Zwei vorgegeben
• jede weitere Zahl berechnet man durch Verdopplung des direkten Vorgängers und anschließende Addition des Vorvorgängers.

Die ersten Zahlen der Folge lauten 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, … (Vorlage:OEIS)

Die Companion Pell-Folge lässt sich auch als Spezialfall der allgemeinen Lucas-Folge $V_n(P,Q)$ mit $P=2$ und $Q=-1$ interpretieren:

$Q(n)=V_n(2,-1)$

Weblinks

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