Vierdimensionale Yang-Mills-Theorie

Vierdimensionale Yang-Mills-Theorie (auch D = 4 Yang-Mills-Theorie, kurz D = 4 YM) ist in der Differentialgeometrie der Spezialfall der Yang-Mills-Theorie über einer Basismannigfaltigkeit mit vier Dimensionen. Dieser Spezialfall erlaubt die Reduktion der Yang-Mills-Gleichungen zweiter Ordnung auf die einfacheren (anti)selbstdualen Yang-Mills-Gleichungen erster Ordnung. Eine zentrale Anwendung findet die vierdimensionale Yang-Mills-Theorie in der mathematischen Formulierung der Quantenchromodynamik, welche die starke Wechselwirkung beschreibt.

Grundlagen

Sei $G$ eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra $𝔤$ und $E\twoheadrightarrow B$ ein $G$-Hauptfaserbündel, wobei $B$ eine orientierbare Riemannsche 4-Mannigfaltigkeit ist. Es sei $A\in {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{Ad}}^1(E,𝔤)\cong {\mathrm{\Omega }}^1(B,\mathrm{Ad}(E))$ ein Zusammenhang und $F_A:={\mathrm{d}}_{A}A=\mathrm{d}A+[A\wedge A]\in {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{Ad}}^2(E,𝔤)\cong {\mathrm{\Omega }}^2(B,\mathrm{Ad}(E))$ dessen Krümmungsform. Da $B$ vierdimensional ist, kann $\mathrm{tr}(F_A\wedge F_A)\in {\mathrm{\Omega }}^4(B)$ (auch notiert als $⟨F_A\wedge F_A⟩$), wobei $\mathrm{tr}$ die Spur (englisch trace) notiert und die Differentialform wieder reellwertig macht, über dieser integriert werden (wofür die Riemannsche Struktur notwendig ist). Gemäß der Chern-Weil-Theorie ergibt dies für $G<\mathrm{U}(n)$ (was für jedes kompakte $G$ wegen des Satzes von Peter-Weyl erfüllt ist) die zweite Chern-Klasse des Hauptfaserbündels (definiert als die des assoziierten Vektorbündels $E{\times }_G{ℂ}^n$):

$⟨c_2(E),[B]⟩=⟨c_2(E{\times }_G{ℂ}^n),[B]⟩=-\frac{1}{8{\pi }^2}\underset{B}{\int }\mathrm{tr}(F_A\wedge F_A)\in \mathbb{Z}.$

Die Kronecker-Paarung der zweiten Chern-Klasse $c_2(E)\in H^4(B;\mathbb{Z})$ mit der durch die (ebenso im Integral eingehende) Orientierung gegebenen Fundamentalklasse $[B]\in H_4(B,\mathbb{Z})$ wird dabei zur Vereinfachung auch oft weggelassen. In diesem Fall vergleicht die Gleichung jedoch eine Kohomologieklasse mit einer ganzen Zahl.

Ist $A$ flach ($F_A=0$), dann ist also $c_2(E)=0$. Daher ist die zweite Chern-Klasse eine Obstruktion für die Existenz von flachen Zusammenhängen auf vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten. Yang-Mills-Zusammenhänge (${\mathrm{d}}_A\star F_A=0$) sind dadurch nicht nur eine Verallgemeinerung von flachen Zusammenhängen, sondern ebenfalls eine Alternative für Hauptfaserbündel, auf denen diese nicht existieren.

Spezialfall

In den Yang-Mills-Gleichungen ${\mathrm{d}}_A\star F_A=0$ wird noch zusätzlich der Hodge-Stern-Operator $\star$ auf die Krümmungsform $F_A$ angewendet. Da $B$ eine 4-Mannigfaltigkeit ist, ergibt dies wieder eine 2-Form $\star F_A\in {\mathrm{\Omega }}^2(B,\mathrm{Ad}(E))$. Daher ist der Grad nur in dieser Dimension identisch mit dem der Krümmungsform $F_A$, wodurch sich eine spezielle Eigenschaft ergibt. Ein Zusammenhang $A$, welcher eine Lösung der:

• selbstdualen Yang–Mills-Gleichungen (SDYM-Gleichungen) $\star F_A=F_A$ ist, wird selbstdual
• antiselbstdualen Yang–Mills-Gleichungen (ASDYM-Gleichungen) $\star F_A=-F_A$ ist, wird antiselbstdual

genannt. Solche Zusammenhänge sind trivialerweise Lösungen der Yang–Mills-Gleichungen ${\mathrm{d}}_A\star F_A=0$, da diese dann einfach auf die Bianchi-Identität ${\mathrm{d}}_A{F}_A=0$ zurückfallen. Zudem kann die Krümmungsform $F_A=F_A^{-}+F_A^{+}$ immer in eindeutig in einen selbstdualen Anteil $F_A^{+}$ (mit $\star F_A^{+}=F_A^{+}$), welcher etwa in den Seiberg-Witten-Gleichungen verwendet wird, und einen antiselbstdualen Anteil $F_A^{-}$ (mit $\star F_A^{-}=-F_A^{-}$) zerlegt werden durch:

$F_A^{\pm }:=\frac{1}{2}(F_A\pm \star F_A).$

So lassen sich die SDYM-Gleichungen auch als $F_A^{-}=0$ und die ASDYM-Gleichungen auch als $F_A^{+}=0$ schreiben.

Alle schwach stabilen Yang-Mills-Zusammenhänge auf $S^4$ mit Eichgruppe $\mathrm{SU}(2)$, $\mathrm{SU}(3)$ oder $\mathrm{U}(2)$ sind entweder selbstdual oder antiselbstdual.

Anwendung auf die 4-Sphäre

Eine einfache 4-Mannigfaltigkeit ist die 4-Sphäre $S^4$. Die quaternionische Hopf-Faserung ${ℍ}^2\cong {ℝ}^8\supset S^7\to S^4\cong ℍP^1,(q,p)\mapsto [q:p]$ ist etwa ein $\mathrm{Sp}(1)$-Hauptfaserbündel über $S^4$. Zudem korrespondieren derartige Hauptfaserbündel mit der Quantisierung der Ladung eines magnetischen Monopols in fünf Dimensionen (auch Wu-Yang-Monopol genannt). Dies entspricht ihrer Klassifikation durch die ganzen Zahlen:

${\mathrm{Prin}}_{\mathrm{Sp}(1)}(S^4)\cong [S^4,\mathrm{BSp}(1)]={\pi }_4\mathrm{BSp}(1)\cong {\pi }_3\mathrm{Sp}(1)\cong {\pi }_3{S}^3\cong \mathbb{Z}$

Dabei ist $\mathrm{BSp}(1)\cong \mathrm{BSU}(2)\cong ℍP^{\mathrm{\infty }}$ der klassifizierende Raum der Eichgruppe $\mathrm{Sp}(1)\cong \mathrm{SU}(2)$. Das triviale Hauptfaserbündel entspricht $0\in \mathbb{Z}$ und die quaternionische Hopf-Faserung entspricht $1\in \mathbb{Z}$.

Sei $A$ ein Yang-Mills-Zusammenhang über $S^4$ (mit beliebigem Hauptfaserbündel). Ist $\Vert F_A^{-}{\Vert }^2<3$, dann ist $A$ selbstdual ($F_A^{-}=0$). Ist $\Vert F_A^{+}{\Vert }^2<3$, dann ist $A$ antiselbstdual ($F_A^{+}=0$).

Literatur

• Vorlage:Cite book

Siehe auch

• Zweidimensionale Yang-Mills-Theorie

Weblinks

• D=4 Yang-Mills theory und self-dual Yang-Mills theory auf nLab (englisch)