Zweidimensionale Yang-Mills-Theorie

Zweidimensionale Yang-Mills-Theorie (auch D = 2 Yang-Mills-Theorie, kurz D = 2 YM) ist in der Differentialgeometrie der Spezialfall der Yang-Mills-Theorie über einer Basismannigfaltigkeit mit zwei Dimensionen. Dieser Spezialfall erlaubt die Konstruktion des Yang-Mills-Maßes auf dem Raum aller Zusammenhänge des Hauptfaserbündels sowie ihren Orbiträumen bezüglich der Eichgruppe. Außerdem sind alle nichtflachen Yang-Mills-Zusammenhänge bereits Yang-Mills-Higgs-Zusammenhänge für ein nichttriviales Higgs-Feld, welches sich direkt aus diesen konstruieren lässt. Eine zentrale Anwendung findet die zweidimensionale Yang-Mills-Theorie in einer zweidimensionalen Formulierung der Quantenchromodynamik (auch ’t Hooft-Modell genannt), welche die starke Wechselwirkung beschreibt.

Grundlagen

Sei $G$ eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra $𝔤$ und $E\twoheadrightarrow B$ ein $G$-Hauptfaserbündel, wobei $B$ eine orientierbare Riemannsche 2-Mannigfaltigkeit ist. Es sei $A\in {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{Ad}}^1(E,𝔤)\cong {\mathrm{\Omega }}^1(B,\mathrm{Ad}(E))$ ein Zusammenhang und $F_A:={\mathrm{d}}_{A}A=\mathrm{d}A+[A\wedge A]\in {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{Ad}}^2(E,𝔤)\cong {\mathrm{\Omega }}^2(B,\mathrm{Ad}(E))$ dessen Krümmungsform. Da $B$ zweidimensional ist, kann $\mathrm{tr}(F_A)\in {\mathrm{\Omega }}^2(B)$ (auch notiert als $⟨F_A⟩$), wobei $\mathrm{tr}$ die Spur (englisch trace) notiert und die Differentialform wieder reellwertig macht, über dieser integriert werden (wofür die Riemannsche Struktur notwendig ist). Gemäß der Chern-Weil-Theorie ergibt dies für $G<\mathrm{U}(n)$ (was für jedes kompakte $G$ wegen des Satzes von Peter-Weyl erfüllt ist) die erste Chern-Klasse des Hauptfaserbündels (definiert als die des assoziierten Vektorbündels $E{\times }_G{ℂ}^n$):

$⟨c_1(E),[B]⟩=⟨c_1(E{\times }_G{ℂ}^n),[B]⟩=-\frac{i}{2\pi }\underset{B}{\int }\mathrm{tr}(F_A)\in \mathbb{Z}.$

Die Kronecker-Paarung der ersten Chern-Klasse $c_1(E)\in H^2(B;\mathbb{Z})$ mit der durch die (ebenso im Integral eingehende) Orientierung gegebenen Fundamentalklasse $[B]\in H_2(B,\mathbb{Z})$ wird dabei zur Vereinfachung auch oft weggelassen. In diesem Fall vergleicht die Gleichung jedoch eine Kohomologieklasse mit einer ganzen Zahl.

Ist $A$ flach ($F_A=0$), dann ist also $c_1(E)=0$. Daher ist die erste Chern-Klasse eine Obstruktion für die Existenz von flachen Zusammenhängen auf zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten. Yang-Mills-Zusammenhänge (${\mathrm{d}}_A\star F_A=0$) sind dadurch nicht nur eine Verallgemeinerung von flachen Zusammenhängen, sondern ebenfalls eine Alternative für Hauptfaserbündel, auf denen diese nicht existieren.

Spezialfall

Yang-Mills-Higgs-Gleichungen

In den Yang-Mills-Gleichungen ${\mathrm{d}}_A\star F_A=0$ wird noch zusätzlich der Hodge-Stern-Operator $\star$ auf die Krümmungsform $F_A$ angewendet. Da $B$ eine 2-Mannigfaltigkeit ist, ergibt dies eine 0-Form $\star F_A\in {\mathrm{\Omega }}^0(B,\mathrm{Ad}(E))={\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(B,\mathrm{Ad}(E))$. Daher ist der Grad nur in dieser Dimension identisch mit dem eines Higgs-Feldes $\mathrm{\Phi }$, wodurch sich eine spezielle Eigenschaft ergibt. Ein Yang-Mills-Zusammenhang $A$, also eine Lösung der Yang-Mills-Gleichungen ${\mathrm{d}}_A\star F_A=0$, ist sogar ein Yang-Mills-Higgs-Zusammenhang für das nicht unbedingt triviale Higgs-Feld $\mathrm{\Phi }=\star F_A$, also eine Lösung der Yang-Mills-Higgs-Gleichungen:

$\star {\mathrm{d}}_A\star F_A+[\mathrm{\Phi },{\mathrm{d}}_A\mathrm{\Phi }]=0;$

${\mathrm{d}}_A\star {\mathrm{d}}_A\mathrm{\Phi }=0.$

Dies folgt einfach daraus, dass die beiden Terme des Higgs-Feldes herausfallen:

${\mathrm{d}}_A\mathrm{\Phi }={\mathrm{d}}_A\star F_A=0.$

Yang-Mills-Maß

Zuerst definiert wurde das Yang-Mills-Maß von Bruce Driver sowie von Leonard Gross, Christopher King und Ambar Sengupta. Mit der Yang-Mills-Wirkung:

$\mathrm{YM}(A):=\underset{B}{\int }\Vert F_A{\Vert }^2\mathrm{d}{\mathrm{vol}}_g.$

und einem Parameter $T$ ist das Yang-Mills-Maß gegeben durch:

$d{\mu }_T(A)=\frac{1}{Z_T}{e}^{-\mathrm{YM}(A)/T}DA.$

Anwendung auf die 2-Sphäre

Eine einfache 2-Mannigfaltigkeit ist die 2-Sphäre $S^2$. Die komplexe Hopf-Faserung ${ℂ}^2\cong {ℝ}^4\supset S^3\to S^2\cong ℂP^1,(z,w)\mapsto [z:w]$ ist etwa ein $\mathrm{U}(1)$-Hauptfaserbündel über $S^2$. Zudem korrespondieren derartige Hauptfaserbündel mit der Quantisierung der Ladung eines magnetischen Monopols in drei Dimensionen (auch Dirac-Monopol genannt). Dies entspricht ihrer Klassifikation durch die ganzen Zahlen:

${\mathrm{Prin}}_{\mathrm{U}(1)}(S^2)\cong [S^2,\mathrm{BU}(1)]={\pi }_2\mathrm{BU}(1)\cong {\pi }_1\mathrm{U}(1)\cong {\pi }_1{S}^1\cong \mathbb{Z}$

Dabei ist $\mathrm{BU}(1)\cong ℂP^{\mathrm{\infty }}$ der klassifizierende Raum der Eichgruppe $\mathrm{U}(1)$. Das triviale Hauptfaserbündel entspricht $0\in \mathbb{Z}$ und die komplexe Hopf-Faserung entspricht $1\in \mathbb{Z}$.

Siehe auch

• Vierdimensionale Yang-Mills-Theorie

Literatur

• Vorlage:Literatur
• Vorlage:Literatur
• Vorlage:Literatur
• Vorlage:Literatur
• Vorlage:Literatur

Weblinks

• D=2 Yang-Mills theory auf nLab (englisch)