Chern-Simons-Form

Vorlage:Dieser Artikel Die Chern-Simons-Formen sind bei der Definition von sekundären charakteristischen Klassen verwendete Differentialformen, die in der Mathematik in Differentialgeometrie und Differentialtopologie in verschiedenen Zusammenhängen vorkommen, insbesondere in Eichtheorien. Die Chern-Simons-3-Form definiert das Wirkungsfunktional der Chern-Simons-Theorie. Sie sind benannt nach Shiing-Shen Chern und James Harris Simons, den Autoren der 1974 veröffentlichten Arbeit Characteristic Forms and Geometric Invariants.

Definition

Sei M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Der Riemannsche Zusammenhang

$A\in {\mathrm{\Omega }}^1(P(M),𝔤𝔩(n))$

ist eine Lie-Algebra-wertige 1-Form auf dem Rahmenbündel $P(M)$.

Die Chern-Simons-1-Form wird definiert durch

$\mathrm{Tr}[𝐀]$,

wobei Tr die Spur von Matrizen bezeichnet.

Die Chern-Simons-3-Form wird definiert durch

$\mathrm{Tr}[𝐅\wedge 𝐀-\frac{1}{3}𝐀\wedge 𝐀\wedge 𝐀].$

Die Chern-Simons-5-Form wird definiert durch

$\mathrm{Tr}[𝐅\wedge 𝐅\wedge 𝐀-\frac{1}{2}𝐅\wedge 𝐀\wedge 𝐀\wedge 𝐀+\frac{1}{10}𝐀\wedge 𝐀\wedge 𝐀\wedge 𝐀\wedge 𝐀]$

wobei die Krümmung $𝐅$ definiert ist durch

$𝐅=d𝐀+𝐀\wedge 𝐀.$

Die allgemeine Chern-Simons-Form ${\omega }_{2k-1}$ ist definiert, so dass

$d{\omega }_{2k-1}=\mathrm{Tr}\left({𝐅}^k\right),$

wobei ${𝐅}^k$ durch das äußere Produkt von Differentialformen definiert wird.

Falls $M$ eine parallelisierbare 2k-1-dimensionale Mannigfaltigkeit ist (zum Beispiele eine orientierbare 3-Mannigfaltigkeit), dann gibt es einen Schnitt $s:M\to P(M)$ und das Integral von $s^{*}{\omega }_{2k-1}$ über die Mannigfaltigkeit $M$ ist eine globale Invariante, die modulo der Addition ganzer Zahlen wohldefiniert ist. (Für verschiedene Schnitte unterscheiden sich die Integrale nur um ganze Zahlen.) Die so definierte Invariante ist die Chern-Simons-Invariante

$\mathrm{cs}(M)\in ℝ/\mathbb{Z}$.

Allgemeine Definition für Prinzipalbündel und invariante Polynome

Sei $G$ eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra $𝔤$ und $f\in I^k(𝔤)$ ein invariantes Polynom.

Jedem invarianten Polynom $f$ entspricht eine Chern-Simons-Form von $G$-Prinzipalbündeln wie folgt.

Sei $\pi :P\to M$ ein Prinzipalbündel mit Strukturgruppe $G$. Man wähle eine Zusammenhangsform $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^1(P,𝔤)$ und bezeichne mit $\mathrm{\Omega }\in {\mathrm{\Omega }}^2(P,𝔤)$ ihre Krümmungsform. Dann ist die Chern-Simons-Form $Tf\in {\mathrm{\Omega }}^{2k-1}(P,ℝ)$ definiert durch

$Tf=\sum _{i=0}^{k-1}{A}_{i}f(\omega \wedge [\omega ,\omega {]}^i\wedge {\mathrm{\Omega }}^{k-i-1})$

mit $A_i:=(-1{)}^i\frac{k!(k-1)!}{2^i(k+i)!(k-1-i)!}$.

Im Fall flacher Bündel vereinfacht sich diese Formel zu $(-1{)}^{k-1}\frac{k!(k-1)!}{2^{k-1}(2k-1)!}f(\omega \wedge [\omega ,\omega {]}^{k-1})$.

Es gilt die Gleichung

$dTf=f(\mathrm{\Omega },\dots ,\mathrm{\Omega })$,

im Fall flacher Bündel also $dTf=0$.

Bekanntlich entspricht jede charakteristische Klasse $u\in H^{*}(BG,\mathbb{Z})$ einem invarianten Polynom, siehe Chern-Weil-Theorie. Falls $f(\mathrm{\Omega },\dots ,\mathrm{\Omega })=0$, dann verschwindet nach Chern-Weil-Theorie die entsprechende charakteristische Klasse $u_f$ in reeller Kohomologie. Die Form $Tf$ ist in diesem Fall geschlossen und definiert zunächst eine Klasse in der Kohomologie von $P$. Zurückziehen mittels eines Schnittes definiert eine Kohomologieklasse von $M$, welche modulo ganzer Zahlen wohldefiniert ist. Die so definierte Kohomologieklasse in $H^{*}(M,ℝ/\mathbb{Z})$ passt in die Bockstein-Folge

$H^{2k-1}(M,ℝ/\mathbb{Z})\to H^{2k}(M,\mathbb{Z})\to H^{2k}(M,ℝ)$,

wo sie auf die charakteristische Klasse $u_f$ abgebildet wird, deren Bild in reeller Kohomologie verschwindet.

Siehe auch

• Vierdimensionale Chern-Simons-Theorie
• Sechsdimensionale holomorphe Chern-Simons-Theorie
• Chirale Anomalie
• Jones-Polynom

Quellen

• Chern, S.-S.; Simons, J.: Characteristic forms and geometric invariants. The Annals of Mathematics, Second Series 99, 1974, S. 48–69.