Bockstein-Folge

In der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Bockstein-Folge ein Hilfsmittel zum Vergleich von Kohomologiegruppen mit unterschiedlichen Koeffizienten, sie ist nach Meir Bockstein benannt.

Konstruktion

Homologie

Sei

$0\to N\to G\to H\to 0$

eine kurze exakte Sequenz abelscher Gruppen und $X$ ein topologischer Raum. Aus der kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen

$0\to C_{*}(X;N)\to C_{*}(X;G)\to C_{*}(X;H)\to 0$

erhält man mittels des Schlangenlemmas eine lange exakte Sequenz von Homologiegruppen

$\dots \to H_{*+1}(X;H)\to H_{*}(X;N)\to H_{*}(X;G)\to H_{*}(X;H)\to H_{*-1}(X;N)\to \dots$,

die sogenannte Bockstein-Folge oder Bockstein-Sequenz. Der verbindende Homomorphismus $H_{*}(X;H)\to H_{*-1}(X;N)$ heißt Bockstein-Homomorphismus.

Kohomologie

$0\to N\to G\to H\to 0$ liefert auch eine kurze exakte Sequenz von Kokettenkomplexen

$0\to C^{*}(X;N)\to C^{*}(X;G)\to C^{*}(X;H)\to 0$

und wieder mit dem Schlangenlemma eine lange exakte Sequenz von Kohomologiegruppen

$\dots \to H^{*-1}(X;H)\to H^{*}(X;N)\to H^{*}(X;G)\to H^{*}(X;H)\to H^{*+1}(X;N)\to \dots$,

die ebenfalls als Bockstein-Folge oder Bockstein-Sequenz bezeichnet wird und der verbindende Homomorphismus $H^{*}(X;H)\to H^{*+1}(X;N)$ als Bockstein-Homomorphismus.

Beispiele

• Die kurze exakte Sequenz $0\to \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to 0$ gibt die Bockstein-Homomorphismen

$H_i(X;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\to H_{i-1}(X;\mathbb{Z})$ und $H^i(X;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\to H^{i+1}(X;\mathbb{Z})$.

• Der zur kurzen exakten Sequenz $0\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n^2\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to 0$ assoziierte Bockstein-Homomorphismus

$H^i(X;\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\to H^{i+1}(X;\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$

ist von Bedeutung für die Konstruktion der Steenrod-Algebra.

• Die zu den kurzen exakten Sequenzen $0\to \mathbb{Z}\to ℝ\to ℝ/\mathbb{Z}\to 0$ und $0\to \mathbb{Z}\to ℂ\to ℂ/\mathbb{Z}\to 0$ assoziierten Bockstein-Homomorphismen

$H^i(X;ℝ/\mathbb{Z})\to H^{i+1}(X;\mathbb{Z})$ und $H^i(X;ℂ/\mathbb{Z})\to H^{i+1}(X;\mathbb{Z})$

sind von Bedeutung in der Konstruktion sekundärer charakteristischer Klassen und in der Deligne-Kohomologie.

Literatur

• Bockstein, M. (1942). Universal systems of ∇-homology rings. 《C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N.S.)》 37: 243–245. MR0008701.
• Bockstein, M. (1943). A complete system of fields of coefficients for the ∇-homological dimension. 《C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N.S.)》 38: 187–189. MR0009115.
• Bockstein, M. (1958). Sur la formule des coefficients universels pour les groupes d'homologie. 《Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique》 247: 396–398. MR0103918.