Invariantes Polynom

In der Mathematik ist ein invariantes Polynom ein Polynom $P$ auf einem Vektorraum (siehe Symmetrische Algebra), welches unter der Wirkung einer Gruppe $G$ auf dem Vektorraum $V$ invariant ist, also

$P(gx)=P(x)$

für alle $g\in G,x\in V$ erfüllt.

Invariante Polynome in der Linearen Algebra

Sei $𝕂$ ein Körper und $V=\mathrm{Mat}(n,𝕂)$ der Vektorraum aller $n\times n$-Matrizen über $𝕂$. Die allgemeine lineare Gruppe $\mathrm{GL}(n,𝕂)$ wirkt auf $V$ durch Konjugation:

$gx:=gx{g}^{-1}$ für $g\in \mathrm{GL}(n,𝕂),x\in \mathrm{Mat}(n,𝕂)$.

Invariante Polynome sind in diesem Fall Funktionen $P:\mathrm{Mat}(n,𝕂)\to 𝕂$ mit $P(gx{g}^{-1})=P(x)$ für alle $g\in \mathrm{GL}(n,𝕂),x\in \mathrm{Mat}(n,𝕂)$.

Beispiele sind die Spur und die Determinante von Matrizen. Allgemeiner kann man (mit einer formalen Variable $t$) die Entwicklung

$\det (tA+I)=\sum _{k=0}^n{c}_k(A)t^k$

betrachten und erhält invariante Polynome $c_0,\dots ,c_n$. ($c_1$ ist die Spur und $c_n$ die Determinante. Falls $𝕂$ algebraisch abgeschlossen ist, dann ist allgemein $c_k$ das k-te elementarsymmetrische Polynom in den Eigenwerten von $A$.)

Invariante Polynome in der Theorie der Lie-Gruppen

Sei $G$ eine Lie-Gruppe und $𝔤$ ihre Lie-Algebra. Ein Polynom auf $𝔤$ ist ein Polynom (mit reellen Koeffizienten) in den Basisvektoren von $𝔤$, siehe Symmetrische Algebra.

Die Gruppe $G$ wirkt auf sich selbst durch Konjugation: $c_g(h):=gh{g}^{-1}$ für alle $h\in G$. Das Differential von $c_g$ ist eine lineare Abbildung

$\mathrm{Ad}(g):=D(c_g{)}_e:𝔤\to 𝔤$,

dies definiert die sogenannte adjungierte Darstellung der Gruppe $G$ auf dem Vektorraum $𝔤$.

Ein invariantes Polynom ist ein Polynom auf $𝔤$, welches invariant unter der adjungierten Wirkung ist, also

$P(\mathrm{Ad}(g)X_1,\dots ,\mathrm{Ad}(g)X_k)=P(X_1,\dots ,X_k)$ für alle $g\in G,X_1,\dots ,X_k\in 𝔤$

erfüllt. Die Algebra der invarianten Polynome wird mit $I^{*}(𝔤)$ bezeichnet.

Beispiel G=GL(n,ℝ)

In diesem Fall ist $𝔤=\mathrm{Mat}(n,ℝ)$ und $Ad(g)(A)=gA{g}^{-1}$ für $g\in \mathrm{GL}(n,ℝ),A\in \mathrm{Mat}(n,ℝ)$. Für $k\in \mathbb{N}$ sei $P_{\frac{k}{2}}$ das homogene Polynom vom Grad $k$, dessen Wert auf $(A,\dots ,A)$ man als Koeffizienten vom Grad $n-k$ im Polynom

$\det (\lambda 𝕀-\frac{1}{2\pi }A)=\sum _k{P}_{\frac{k}{2}}(A,\dots ,A){\lambda }^{n-k}$

erhält, für alle $A\in \mathrm{Mat}(n,ℝ)$. (Die Werte für die $(A,\dots ,A)$ legen ein Polynom bereits eindeutig fest.) Das Polynom $P_{\frac{k}{2}}$ heißt das $\frac{k}{2}$-te Pontrjagin-Polynom.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den $P_{\frac{k}{2}}\in I^k(𝔤𝔩(n,ℝ))$ erzeugt.

Beispiel G=O(n)

Für $A\in 𝔬(n)$ gilt $A=-A^T$, woraus zunächst $\det (\lambda 𝕀-\frac{1}{2\pi }A)=\det (\lambda 𝕀+\frac{1}{2\pi }A)$ und damit dann $P_{\frac{k}{2}}=0$ für alle ungeraden $k$ folgt.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den $P_k\in I^{2k}(𝔬(n))$ erzeugt.

Beispiel G=SO(n)

Falls $n=2m$ gerade ist, hat man zusätzlich noch die Pfaffsche Determinante, die für $A=(a_{ij})$ mit $a_{ij}=-a_{ji}$ definiert ist durch

$Pf(A,\dots ,A)=\frac{1}{2^{2m}{\pi }^{m}m!}\sum _{\sigma \in S_{2m}}sign(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}\dots a_{\sigma (2m-1)\sigma (2m)}$.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den Pontrjagin-Polynomen $P_k\in I^{2k}(𝔰𝔬(n))$ und – falls $n$ gerade ist – der (auch als Euler-Polynom bezeichneten) Pfaffschen Determinante $Pf\in I^{\frac{n}{2}}(𝔰𝔬(n))$ erzeugt.

Beispiel G=GL(n,ℂ)

Für $k\in \mathbb{N}$ sei $C_{\frac{k}{2}}$ das komplex-wertige homogene Polynom vom Grad $k$, dessen Wert auf $(A,\dots ,A)$ man als Koeffizienten vom Grad $n-k$ im Polynom

$\det (\lambda 𝕀-\frac{1}{2\pi i}A)=\sum _k{C}_k(A,\dots ,A){\lambda }^{n-k}$

erhält, für alle $A\in \mathrm{Mat}(n,ℂ)$. Das Polynom $C_k$ heißt das $k$-te Chern-Polynom. Die Chern- und Pontrjagin-Polynome hängen über die Gleichung $i^k{C}_k(A,\dots ,A)=P_{\frac{k}{2}}(A,\dots ,A)$ zusammen.

Die Algebra der komplex-wertigen invarianten Polynome wird von den $C_k\in I^k(𝔤𝔩(n,ℂ))$ erzeugt.

Beispiel G=U(n)

Für $A\in 𝔲(n)$ ist $A=-A^H$ und damit $\det (\lambda 𝕀-\frac{1}{2\pi i}A)=\overline{\det (\lambda 𝕀-\frac{1}{2\pi i}A)},$ deshalb sind die Chern-Polynome auf $𝔲(n)$ reell-wertig.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den $C_k\in I^k(𝔲(n))$ erzeugt.

Literatur

• Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu: Foundations of differential geometry. Vol. I, II. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 15 Vol. II Interscience Publishers John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney 1969.
• Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1978. ISBN 3-540-08663-3