Jones-Polynom

Das Jones-Polynom ist eine der wichtigsten Invarianten von Knoten und Verschlingungen, die in der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Topologie, untersucht wird. Es ist ein Laurent-Polynom in $\sqrt{t}$.

Es wurde 1984 von Vaughan F. R. Jones entdeckt, der unter anderem dafür 1990 die Fields-Medaille erhielt.

Definition durch Kauffman-Klammer

Sei $L$ eine Verschlingung. Das Kauffman-Klammerpolynom $⟨L⟩$ ist ein zu einem Diagramm von $L$ assoziiertes Laurent-Polynom in $A$. Das normierte Kauffman-Polynom wird dann definiert durch die Formel $X(L)=(-A^3{)}^{-w(L)}⟨L⟩$, wobei $w(L)$ die Verwringung von $L$ bezeichnet. $X(L)$ ist invariant unter Reidemeister-Bewegungen und definiert deshalb eine Invariante von Verschlingungen. Das Jones-Polynom $V(L)$ erhält man, indem man $A=t^{-1/4}$ in $X(L)$ substituiert.

Definition durch Zopfgruppendarstellungen

Sei $L$ eine Verschlingung. Nach einem Satz von Alexander ist $L$ der Abschluss eines Zopfes mit $n$ Komponenten. Eine Darstellung $\rho$ der Zopfgruppe $B_n$ in die Temperley–Lieb-Algebra $T{L}_n$ mit Koeffizienten in $\mathbb{Z}[A,A^{-1}]$ und $\delta =-A^2-A^{-2}$ wird definiert, indem man den Erzeuger ${\sigma }_i$ auf $A\cdot e_i+A^{-1}\cdot 1$ abbildet, wobei $1,e_1,\dots ,e_{n-1}$ die Erzeuger der Temperley–Lieb-Algebra sind.

Sei $\sigma$ der zu $L$ assoziierte Zopf. Berechne ${\delta }^{n-1}\mathrm{tr}\rho (\sigma )$, wobei $\mathrm{tr}$ die Markov-Spur ist. Das gibt das Klammerpolynom $⟨L⟩$, aus dem dann wie im vorhergehenden Abschnitt das Jones-Polynom berechnet werden kann.

Definition durch Skein-Relationen

Man kann das Jones-Polynom (eindeutig) dadurch charakterisieren, dass es dem trivialen Knoten den Wert 1 zuordnet und die folgende Skein-Relation erfüllt:

$(t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_0)=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-}),$

wobei $L_{+}$, $L_{-}$ und $L_0$ orientierte Linkdiagramme sind, die sich innerhalb eines kleinen Gebietes wie im Bild unten unterscheiden und außerhalb dieses Gebietes identisch sind.

Skein-Relationen

Definition durch Chern-Simons-Theorie

Das Jones-Polynom kann nach Edward Witten mit einer topologischen Quantenfeldtheorie, der Chern-Simons-Theorie, definiert werden.

Anwendungen

Kauffman, Murasugi und Thistlethwaite benutzten das Jones-Polynom, um eine der aus dem 19. Jahrhundert stammenden Tait-Vermutungen zu beweisen: Für einen alternierenden Knoten hat jedes reduzierte Diagramm die kleinstmögliche Kreuzungszahl.

Unterscheidbarkeit von Knoten mittels Jones-Polynom

Es ist eine offene Frage, ob der Unknoten der einzige Knoten mit trivialem Jones-Polynom ist. Es gibt jedenfalls unterschiedliche Knoten mit demselben Jones-Polynom, zum Beispiel haben Mutationen eines Knotens dasselbe Jones-Polynom.

Spezielle Werte

• Für einen Knoten ist $V(1)=1$, für eine Verschlingung mit $l\ge 2$ Komponenten ist $V(1)=\frac{1}{2^{l-1}}$.
• Falls die Arf-Invariante definiert ist, ist $V(i)=(-\sqrt{2}{)}^{l-1}(-1{)}^{Arf(L)}$.
• $V(e^{\frac{2\pi i}{3}})=1$.
• Die Werte in Einheitswurzeln sind in der Chern-Simons-Theorie von Bedeutung.

Siehe auch

• Alexander-Polynom
• HOMFLY-Polynom

Literatur

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• Pierre de la Harpe, Michel Kervaire, Claude Weber: On the Jones polynomial. In: Enseign. Math. (2) 32 (1986), no. 3–4, S. 271–335.
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Weblinks

• Edward Witten: Two Lectures on the Jones Polynomial and Khovanov Homology. (PDF; 619 kB)
• Alan Chang: On the Jones polynomial and its applications.