Artin-Schreier-Theorie

Die Artin-Schreier-Theorie gehört in der Mathematik zur Körpertheorie. Für Körper positiver Charakteristik $p$ beschreibt sie abelsche Galois-Erweiterungen vom Exponenten $p$ und ergänzt damit die Kummer-Theorie. Sie ist benannt nach Emil Artin und Otto Schreier.

Motivation: zyklische Erweiterungen vom Grad p

Sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p.$ Der Ausgangspunkt der Artin-Schreier-Theorie ist das Artin-Schreier-Polynom

$f_a(X)=X^p-X-a$

für ein $a\in K.$ Aus dem kleinen Satz von Fermat oder abstrakter aus den Eigenschaften des Frobeniushomomorphismus folgt: Für $c\in {𝔽}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ist $f_a(X+c)=f_a(X).$ Daraus ergibt sich: Ist $\omega$ eine Nullstelle von $f_a(X)$ in einem Erweiterungskörper von $K,$ dann sind die weiteren Nullstellen $\omega +1,\omega +2,\dots ,\omega +(p-1).$ Hat $f_a(X)$ keine Nullstelle in $K,$ ist es folglich irreduzibel, und der Erweiterungskörper $K(\omega )/K$ ist galoissch mit Galois-Gruppe $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},$ erzeugt von $\omega \mapsto \omega +1.$

Sei umgekehrt $L/K$ eine Galois-Erweiterung vom Grad $p$ und $\sigma$ ein Erzeuger der Galois-Gruppe. Nach dem Normalbasissatz existiert ein $x\in L,$ sodass $x,\sigma x,\dots ,{\sigma }^{p-1}x$ eine Basis von $L$ als $K$-Vektorraum ist. Nach Konstruktion ist die Spur

${\text{Spur}}_{L/K}(x)=x+\sigma x+\dots +{\sigma }^{p-1}x$

nicht 0. Setze

$\omega =-\frac{1}{{\text{Spur}}_{L/K}(x)}\sum _{k=1}^{p-1}k\cdot {\sigma }^{k}x.$

Dann ist

$\begin{array}{cc}\sigma (\omega )& =-\frac{1}{{\text{Spur}}_{L/K}(x)}\sum _{k=1}^{p-1}k\cdot {\sigma }^{k+1}x\\ & =-\frac{1}{{\text{Spur}}_{L/K}(x)}(\sum _{k=0}^{p-1}(k+1)\cdot {\sigma }^{k+1}x-\sum _{k=0}^{p-1}{\sigma }^{k+1}x)\\ & =-\frac{1}{{\text{Spur}}_{L/K}(x)}\sum _{k=1}^{p}k\cdot {\sigma }^{k}x+1\\ & =\omega +1\end{array}$

und folglich

$\sigma ({\omega }^p-\omega )=(\sigma \omega {)}^p-\sigma \omega =(\omega +1{)}^p-(\omega +1)={\omega }^p-\omega .$

Daher ist $a={\omega }^p-\omega$ invariant unter der Galois-Gruppe, liegt also in $K.$

Das so konstruierte Element $a\in K$ hängt von der Wahl von $x$ ab, aber in kontrollierter Weise: Ist ${\omega }_1\in L$ ein anderes Element mit $\sigma {\omega }_1={\omega }_1+1,$ dann ist $\sigma (\omega -{\omega }_1)=(\omega +1)-({\omega }_1+1)=\omega -{\omega }_1,$ also ist ${\omega }_1=\omega +d$ mit einem Element $d\in K,$ und

${\omega }_1^p-{\omega }_1=(\omega +d{)}^p-(\omega +d)={\omega }^p+d^p-\omega -d=a+(d^p-d).$

Folglich ist die Restklasse von $a$ modulo $\{d^p-d:d\in K\}$ eindeutig bestimmt.

Resultate

Sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p>0.$

• Sei $\mathrm{\wp }K=\{d^p-d:d\in K\}.$ Die Abbildung, die einem Element $a\in K$ den Zerfällungskörper des Polynoms $X^p-X-a$ zuordnet, induziert eine Bijektion von $(K/\mathrm{\wp }K)\setminus \{0\}$ auf die Menge der Isomorphieklassen von Galois-Erweiterungen von $K$ vom Grad $p.$

Die allgemeinere Fassung von Ernst Witt lautet:

• Sei $K^{\text{sep}}$ ein separabler Abschluss von $K$ und $\mathrm{\wp }:K^{\text{sep}}\to K^{\text{sep}}$ der additive Gruppenhomomorphismus $x\mapsto x^p-x.$ Dann gibt es die folgende explizite Bijektion zwischen der Menge der Untergruppen von $K/\mathrm{\wp }K$ und der Menge der (nicht notwendigerweise endlichen) abelschen Erweiterungen von $K$ vom Exponenten $p$ (d. h. für jedes Element $\sigma$ der Galoisgruppe gilt ${\sigma }^p=\text{id}$): Eine Untergruppe von $\mathrm{\Delta }\subseteq K/\mathrm{\wp }K$ werde mit ihrem Urbild in $K$ identifiziert. Dann ist $K({\mathrm{\wp }}^{-1}(\mathrm{\Delta }))/K$ die zugehörige abelsche Erweiterung vom Exponenten $p.$ Für endliche Untergruppen $\mathrm{\Delta }\subseteq K/\mathrm{\wp }K$ ist $[K({\mathrm{\wp }}^{-1}(\mathrm{\Delta })):K]=|\mathrm{\Delta }|.$ Die Umkehrabbildung ordnet einer Erweiterung $L/K$ die Gruppe $(K\cap \mathrm{\wp }L)/\mathrm{\wp }K$ zu.

Galoiskohomologische Interpretation

Sei weiterhin $K$ ein Körper der Charakteristik $p,$ $K^{\text{sep}}$ ein separabler Abschluss von $K$ und $\mathrm{\wp }:K^{\text{sep}}\to K^{\text{sep}},x\mapsto x^p-x.$ Sei außerdem $G_K=\text{Gal}(K^{\text{sep}}/K)$ die absolute Galoisgruppe von $K.$ Das Polynom $X^p-X-a$ ist für jedes $a\in K^{\text{sep}}$ separabel, weil seine Ableitung $p{X}^{p-1}-1=-1$ ist. Deshalb ist der Homomorphismus $\mathrm{\wp }:K^{\text{sep}}\to K^{\text{sep}}$ surjektiv. Sein Kern ist ${𝔽}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.$ Man erhält also eine kurze exakte Sequenz von $G_K$-Moduln:

$0\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\to K^{\text{sep}}\stackrel{\mathrm{\wp }}{⟶}{K}^{\text{sep}}\to 0.$

Sie induziert in der Galoiskohomologie eine lange exakte Sequenz

$0\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\to K\stackrel{\mathrm{\wp }}{⟶}K\to \text{Hom}(G_K,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\to H^1(G_K,K^{\text{sep}})=0.$

Dabei wurde verwendet:

• $H^0(G_K,K^{\text{sep}})=K.$
• $H^1(G_K,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})=\text{Hom}(G_K,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ (stetige Homomorphismen), weil $G_K$ trivial auf $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ operiert.
• $H^1(G_K,K^{\text{sep}})=0,$ weil $H^1(G_K,K^{\text{sep}})=\underrightarrow{\lim }{H}^1(\text{Gal}(L/K),L)$ über alle endlichen Galois-Erweiterungen von $K$ ist. Mit einer Verallgemeinerung des oben angegebenen Arguments mit dem Normalbasissatz kann man $H^1(\text{Gal}(L/K),L)=0$ zeigen.

Für die Betrachtung von Erweiterungen vom Grad $p$ ist die allgemeine Aussage aber nicht erforderlich: Sei $L/K$ eine Galois-Erweiterung vom Grad $p.$ Dann ist $\text{Gal}(L/K)\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z},$ und durch Verkettung mit der Projektion $G_K\to \text{Gal}(L/K)$ erhält man einen Homomorphismus $h:G_K\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.$ Mit der Einbettung $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\to K^{\text{sep}}$ erhält man einen 1-Kozykel $c\in H^1(G_K,K^{\text{sep}}),$ der aber schon in der Untergruppe $H^1(\text{Gal}(L/K),L)$ liegt. Das oben konstruierte Element $\omega \in L$ hat die Eigenschaft $c(\sigma )=\sigma \omega -\omega$ für alle $\sigma \in \text{Gal}(L/K),$ also ist $c$ ein 1-Korand. Die allgemeine gruppenkohomologische Konstruktion zeigt, dass $\mathrm{\wp }(\omega )$ ein Urbild von $h$ unter dem Verbindungshomomorphismus ist.

Ist umgekehrt $a\in K$ gegeben, kann man ein Urbild $\omega \in {\mathrm{\wp }}^{-1}(a)$ wählen, und der Homomorphismus $h:G_K\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ist $h(\sigma )=\sigma \omega -\omega .$ Der Kern von $h$ und $L=K(\omega )$ entsprechen einander unter der Galois-Korrespondenz.

Also ist der sich aus der langen exakten Sequenz ergebende Isomorphismus $K/\mathrm{\wp }K\to \text{Hom}(G_K,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ mit der weiter oben erläuterten expliziten Konstruktion identisch.

Für die allgemeinere Aussage über Untergruppen muss man noch Untergruppen von $\text{Hom}(G_K,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ mit Erweiterungen vom Exponenten $p$ identifizieren: Einer Untergruppe $\mathrm{\Delta }\subseteq \text{Hom}(G_K,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ entspricht der Fixkörper von $\bigcap _{h\in \mathrm{\Delta }}\ker (h),$ einer abelschen Erweiterung $L/K$ vom Exponenten $p$ entspricht die Untergruppe der Homomorphismen, die über den Quotienten $G_K\to \text{Gal}(L/K)$ faktorisieren.

Artin-Schreier-Symbol und Klassenkörpertheorie

Das Artin-Schreier-Symbol ist eine Ergänzung zum Potenzrestsymbol und dient wie dieses der expliziten Beschreibung der lokalen Reziprozitätsabbildung und führt so zu einer Teilaussage des Existenzsatzes der lokalen Klassenkörpertheorie. Sei $K$ ein lokaler Körper der Charakteristik $p>0,$ d. h. isomorph zu einem formaler Laurentreihenkörper ${𝔽}_q((T))$ für eine Potenz $q=p^e.$ Das Artin-Schreier-Symbol entsteht aus der kohomologischen Paarung

$K/\mathrm{\wp }K\times G_K\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$

durch Verkettung mit der Reziprozitätsabbildung $(-,*/K):K^{*}\to G_K^{\text{ab}}.$ Ist $a\in K$ und $\omega \in K^{\text{sep}}$ mit $\mathrm{\wp }(\omega )=a$ und $b\in K^{*},$ dann gilt:

$[a,b)=(b,*/K)\omega -\omega .$

Das Artin-Schreier-Symbol induziert eine nicht ausgeartete Bilinearform

$K/\mathrm{\wp }K\times K^{*}/(K^{*}{)}^p\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.$

Weitere Eigenschaften sind:

• Es gilt $[a,b)=0$ genau dann, wenn $b$ eine Norm in der Erweiterung $K(\omega )/K$ ist.
• Es gilt $[a,a)=0$ für alle $a\in K^{*}.$

Das Artin-Schreier-Symbol hat die folgende explizite Beschreibung: Sei $dT$ ein Symbol, $\mathrm{\Omega }={𝔽}_q((T))\cdot dT$ der eindimensionale, von $dT$ aufgespannte Vektorraum sowie

$d:{𝔽}_q((T))\to \mathrm{\Omega },\sum a_n{T}^n\mapsto (\sum a_n\cdot n{T}^{n-1})dT$

und die Residuenabbildung

$\text{res}:\mathrm{\Omega }\to {𝔽}_q,(\sum a_n{T}^n)dT\mapsto a_{-1}.$

(Die Konstruktion ist unabhängig vom Isomorphismus $K\cong {𝔽}_q((T)).$) Für $a\in K$ und $b\in K^{*}$ ist dann:

$[a,b)={\text{Spur}}_{{𝔽}_q/{𝔽}_p}\text{res}(a\cdot \frac{db}{b}).$

Aus dieser Formel kann man nachweisen, dass das Artin-Schreier-Symbol wie behauptet nicht ausgeartet ist. Daraus folgt, dass ein Element in $K^{*},$ das für jede Galois-Erweiterung $L/K$ vom Grad $p$ in der Normengruppe $N_{L/K}{L}^{*}$ liegt, eine $p$-te Potenz ist. Daraus folgt, dass der Schnitt aller Normengruppen trivial ist, ein wesentlicher Schritt (je nach Zugang) im Beweis des lokalen Existenzsatzes.

Die lokalen Artin-Schreier-Symbole lassen sich auch zu einer globalen Paarung

${𝔸}_K/\mathrm{\wp }{𝔸}_K\times I_K/I_K^p\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$

(dabei ${𝔸}_K$ der Adelring und $I_K={𝔸}_K^{*}$ die Idelgruppe) zusammensetzen und für den Beweis des globalen Existenzsatzes im Funktionenkörperfall benutzen.

Geometrische Sichtweise

Im Zentrum der geometrischen Betrachtung steht der Artin-Schreier-Morphismus

$\mathrm{\wp }=F-1:{𝔾}_a\to {𝔾}_a,$

der als Lang-Isogenie für die additive Gruppe ${𝔾}_a={𝔸}^1$ aufgefasst werden kann ($F$ ist der relative Frobeniusmorphismus). $\mathrm{\wp }$ ist eine (zusammenhängende und mithin nicht triviale) étale Galois-Überlagerung mit Gruppe $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.$ Die Existenz von $\mathrm{\wp }$ zeigt, dass die geometrische étale Fundamentalgruppe der affinen Geraden nicht trivial ist, im Unterschied zur Situation in Charakteristik 0.

Ein Körperelement $a\in K$ entspricht einem Morphismus $a:\text{Spec }K\to {𝔾}_a,$ und die Faser von $\mathrm{\wp }$ über $a$ ist entweder der triviale $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$-Torsor oder die durch das Polynom $X^p-X-a$ definierte Artin-Schreier-Erweiterung von $K.$

Zum Artin-Schreier-Torsor assoziierte Garben sind relevant für die Fourier-Deligne-Transformation.

Artin-Schreier-Witt-Theorie

Die hier skizzierte Theorie verallgemeinert die Artin-Schreier-Theorie auf Erweiterungen, deren Exponent eine Potenz von $p$ ist. Sie ist der Inhalt der Arbeit von Witt, in der er die Wittvektoren einführt. Der erste Teil ist eine allgemeine Aussage über abelsche Erweiterungen von Körpern der Charakteristik $p,$ der zweite Teil eine explizite Beschreibung eines Teils der lokalen Klassenkörpertheorie im Fall von Funktionenkörpern.

Sei wieder $K$ ein Körper der Charakteristik $p,$ $K^{\text{sep}}$ ein separabler Abschluss von $K$ und $G_K=\text{Gal}(K^{\text{sep}}/K)$ die absolute Galois-Gruppe von $K.$ Sei $W_n$ die Gruppe der $p$-typischen Wittvektoren der Länge $n$ und $F$ der Frobeniushomomorphismus

$(x_0,\dots ,x_{n-1})\mapsto (x_0^p,\dots ,x_{n-1}^p).$

Mit

$\mathrm{\wp }:W_n(K^{\text{sep}})\to W_n(K^{\text{sep}}),x\mapsto F(x)-x$

ist

$0\to \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\to W_n(K^{\text{sep}})\stackrel{\mathrm{\wp }}{⟶}{W}_n(K^{\text{sep}})\to 0$

eine exakte Sequenz von $G_K$-Moduln, wobei $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\cong W_n({𝔽}_p)$ verwendet wurde. Die Galois-Kohomologie $H^1(G_K,W_n)$ verschwindet, weil die Quotienten bezüglich der $V$-Filtrierung isomorph zu $K^{\text{sep}}$ sind und $H^1(G_K,K^{\text{sep}})=0$ gilt (siehe oben). Also ist $H^1(G_K,\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})\cong W_n(K)/\mathrm{\wp }{W}_n(K),$ und wie oben erhält man daraus eine Korrespondenz zwischen abelschen Erweiterungen, deren Exponent ein Teiler von $p^n$ ist, und Untergruppen von $W_n(K)/\mathrm{\wp }{W}_n(K).$

Sei $K\cong {𝔽}_q((T))$ ein lokaler Körper (formale Laurentreihen). Zu einem Wittvektor $a\in W_n(K)$ und einem Körperelement $b\in K^{*}$ definiert Witt eine zentrale einfache Algebra $A_{[a,b)},$ die von $u$ und den kommutierenden Elementen $v_0,\dots ,v_{n-1}$ mit den Relationen

$u^{p^n}=b,\mathrm{\wp }(v)=a,v^u=v+1$

erzeugt wird. Dabei wird mit $v=(v_0,\dots ,v_{n-1})$ als einem Wittvektor gerechnet, und $v^u$ steht für den Wittvektor $(u{v}_0{u}^{-1},\dots ,u{v}_{n-1}{u}^{-1}).$ Sei $\omega \in W_n(K^{\text{sep}})$ mit $\mathrm{\wp }(\omega )=a$ und $L=K(\omega )=K({\omega }_0,\dots ,{\omega }_{n-1}),$ außerdem $(-,L/K)$ die Reziprozitätsabbildung. Das Artin-Schreier-Witt-Symbol ist definiert als

$[a,b)=(b,L/K)(\omega )-\omega \in W_n({𝔽}_p)\cong \frac{1}{p^n}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}/\mathbb{Z};$

es ist eine nichtausgeartete bilineare Paarung

$W_n(K)/\mathrm{\wp }{W}_n(K)\times K^{*}/(K^{*}{)}^{p^n}\to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$

Es ist $[a,b)=0$ genau dann, wenn $b\in N_{L/K}(K^{*})$ gilt. Der Wert des Symbols ist gleich der Invariante der zentralen einfachen Algebra: $[a,b)=\text{inv}(A_{[a,b)}).$ Witt gibt auch eine Beschreibung der Invariante als ein auf Wittvektoren von Laurentreihen fortgesetztes Residuum.

Literatur

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