Residuum (Funktionentheorie)

In der Funktionentheorie ist das Residuum einer komplexwertigen Funktion ein Hilfsmittel zur Berechnung von komplexen Kurvenintegralen mit Hilfe des Residuensatzes.

Definition

Komplexe Gebiete

Sei $D\subseteq ℂ$ ein Gebiet, $D_f$ isoliert in $D$ und $f:D\setminus D_f\to ℂ$ holomorph. Dann existiert zu jedem Punkt $a\in D_f$ eine punktierte Umgebung $U:=U_r(a)\setminus \{a\}\subset D$, die relativ kompakt in $D$ liegt, mit $f{|}_U$ holomorph.

In diesem Fall besitzt $f$ auf $U$ eine Laurententwicklung $f{|}_U(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a{)}^n$. Dann erhält man das Residuum von $f$ in $a$ als Koeffizienten der Laurent-Reihe

${\mathrm{Res}}_a(f):=c_{-1}.$

Wenn $a$ ein Pol erster Ordnung ist, dann ist

${\mathrm{Res}}_a(f)=\underset{z\to a}{\lim }(z-a)f(z).$

Wenn $a$ ein Pol n-ter Ordnung ist, dann ist

${\mathrm{Res}}_a(f)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{z\to a}{\lim }\frac{d^{n-1}}{d{z}^{n-1}}((z-a{)}^{n}f(z)).$

Aus dem Residuensatz folgt, dass man das Residuum als

${\mathrm{Res}}_a(f)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\underset{\partial U}{\oint }f(z)dz$

berechnen kann.

Riemannsche Zahlenkugel

Die obige Definition kann man auch auf die Riemannsche Zahlenkugel ${\mathbb{P}}_1=ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}$ erweitern. Sei $D_f$ wieder eine diskrete Menge in ${\mathbb{P}}_1$ und $f:{\mathbb{P}}_1\setminus D_f\to ℂ$ eine holomorphe Funktion.

Dann ist für alle $a\in D_f$ mit $a\ne \mathrm{\infty }$ das Residuum ebenfalls durch die obige Definition erklärt.

Für $a=\mathrm{\infty }\in D_f$ setzt man

${\mathrm{Res}}_{\mathrm{\infty }}(f)=-{\mathrm{Res}}_0\left(\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right)\right).$

Wenn

$\underset{|z|\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(z)=0,$

ist, dann kann man das Residuum im Unendlichen durch

${\mathrm{Res}}_{\mathrm{\infty }}(f)=-\underset{|z|\to \mathrm{\infty }}{\lim }z\cdot f(z)$

berechnen. Wenn hingegen

$\underset{|z|\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(z)=c\ne 0,$

ist, dann errechnet sich das Residuum in Unendlich zu

${\mathrm{Res}}_{\mathrm{\infty }}(f)=\underset{|z|\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}^2\cdot f^{\prime }(z).$

Eigenschaften und Anmerkungen

• Sei $D\subset ℂ$ ein Gebiet und $f:D\to ℂ$ eine holomorphe Funktion in $a$. Dann kann der Cauchysche Integralsatz angewendet werden, woraus folgt, dass das Residuum von $f$ in $a$ null ist.
• An der Integraldarstellung erkennt man, dass man auch vom Residuum der Differentialform $f(z)\mathrm{d}z$ sprechen kann.
• Es gilt der Residuensatz.
• Für rationale Funktionen $f:\widehat{ℂ}\to \widehat{ℂ}$ gilt die sogenannte Geschlossenheitsrelation: $\sum _{p(f)}{\mathrm{Res}}_p(f)=0$. Dabei ist $p(f)$ die Menge aller Pole von $f$ und $\widehat{ℂ}=ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}$ die Riemannsche Zahlenkugel.

Praktische Berechnung

Folgende Regeln können zur Berechnung von Residuen von komplexwertigen Funktionen $f,g$ im Punkt $a\in ℂ$ in der Praxis verwendet werden:

• Das Residuum ist $ℂ$-linear, d. h. für $\lambda ,\mu \in ℂ$ gilt: ${\mathrm{Res}}_a(\lambda f+\mu g)=\lambda {\mathrm{Res}}_{a}f+\mu {\mathrm{Res}}_{a}g$
• Hat $f$ in $a$ eine Polstelle 1. Ordnung, gilt: ${\mathrm{Res}}_{a}f=\underset{z\to a}{\lim }(z-a)f(z)$
• Hat $f$ in $a$ eine Polstelle 1. Ordnung und ist $g$ in $a$ holomorph, gilt: ${\mathrm{Res}}_{a}gf=g(a){\mathrm{Res}}_{a}f$
• Hat $f$ in $a$ eine Nullstelle 1. Ordnung, gilt: ${\mathrm{Res}}_a\frac{1}{f}=\frac{1}{f^{\prime }(a)}$
• Hat $f$ in $a$ eine Nullstelle 1. Ordnung und ist $g$ in $a$ holomorph, gilt: ${\mathrm{Res}}_a\frac{g}{f}=\frac{g(a)}{f^{\prime }(a)}$
• Hat $f$ in $a$ eine Polstelle $n$-ter Ordnung, gilt: ${\mathrm{Res}}_{a}f=\frac{1}{(n-1)!}\underset{z\to a}{\lim }\frac{{\partial }^{n-1}}{\partial z^{n-1}}[(z-a{)}^{n}f(z)]$
• Hat $f$ in $a$ eine Nullstelle $n$-ter Ordnung, gilt: ${\mathrm{Res}}_a\frac{f^{\prime }}{f}=n$.
• Hat $f$ in $a$ eine Nullstelle $n$-ter Ordnung und ist g in $a$ holomorph, gilt: ${\mathrm{Res}}_{a}g\frac{f^{\prime }}{f}=g(a)n$.
• Hat $f$ in $a$ eine Polstelle $n$-ter Ordnung, gilt: ${\mathrm{Res}}_a\frac{f^{\prime }}{f}=-n$.
• Hat $f$ in $a$ eine Polstelle $n$-ter Ordnung und ist g in $a$ holomorph, gilt: ${\mathrm{Res}}_{a}g\frac{f^{\prime }}{f}=-g(a)n$.
• Sei $f$ in einem zur reellen Achse symmetrischen Gebiet $G$, d. h. $z\in G\Rightarrow \bar{z}\in G$, holomorph bis auf isolierte Singularitäten. Weiterhin gelte $f(G\cap ℝ)\subset ℝ$. Dies ist nach dem schwarzschen Spiegelungsprinzip und dem Identitätssatz äquivalent zu $f(\bar{z})=\overline{f(z)}$. Es gilt sodann ${\mathrm{Res}}_{\bar{a}}f=\overline{{\mathrm{Res}}_{a}f}$.
• Ist das Residuum am Punkt $\mathrm{\infty }$ zu berechnen, so gilt ${\mathrm{Res}}_{\mathrm{\infty }}f={\mathrm{Res}}_0(-\frac{1}{z^2}f(\frac{1}{z}))$. Denn mit $w=\frac{1}{z}$ gilt $f(w)\mathrm{d}w=f(\frac{1}{z})\mathrm{d}\frac{1}{z}=-\frac{1}{z^2}f(\frac{1}{z})\mathrm{d}z$

Die Regeln über die logarithmische Ableitung $\frac{f^{\prime }}{f}$ sind in Verbindung mit dem Residuensatz auch von theoretischem Interesse.

Beispiele

• Wie bereits erwähnt, ist ${\mathrm{Res}}_{a}f=0$, wenn $f$ auf einer offenen Umgebung von $a$ holomorph ist.
• Ist $f(z)=\frac{1}{z}$, so hat $f$ in $0$ einen Pol 1. Ordnung, und es ist ${\mathrm{Res}}_{0}f=1$.
• ${\mathrm{Res}}_1\frac{z}{z^2-1}=\frac{1}{2}$, wie man sofort mit der Linearität und der Regel von der logarithmischen Ableitung sieht, denn $z\mapsto z^2-1$ hat in $1$ eine Nullstelle 1. Ordnung.
• Die fortgesetzte Gammafunktion hat in $-n$ für $n\in {\mathbb{N}}_0$ Pole 1. Ordnung, und das Residuum dort ist ${\mathrm{Res}}_{-n}\mathrm{\Gamma }=\frac{(-1{)}^n}{n!}$.

Algebraische Sichtweise

Es seien $K$ ein Körper und $X$ eine zusammenhängende reguläre eigentliche Kurve über $K$. Dann gibt es zu jedem abgeschlossenen Punkt $x\in X$ eine kanonische Abbildung

${\mathrm{res}}_x:{\mathrm{\Omega }}_{K(X)/K}\to K,$

die jeder meromorphen Differentialform ihr Residuum in $x$ zuordnet.

Ist $x$ ein $K$-rationaler Punkt und $t$ eine lokale Uniformisierende, so kann die Residuenabbildung wie folgt explizit angegeben werden: Ist $\omega$ eine meromorphe Differentialform und $\omega =f\mathrm{d}t$ eine lokale Darstellung, und ist

$f=\sum _{k=-N}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{t}^k$

die Laurentreihe von $f$, so gilt

${\mathrm{res}}_x\omega =a_{-1}.$

Insbesondere stimmt das algebraische Residuum im Fall $K=ℂ$ mit dem funktionentheoretischen überein.

Das Analogon des Residuensatzes ist richtig: Für jede meromorphe Differentialform $\omega$ ist die Summe der Residuen null:

$\sum _{x\in X}{\mathrm{res}}_x\omega =0.$

Quellen

• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000.
• Vorlage:EoM
• John Tate, Residues of differentials on curves. Annales scientifiques de l'É.N.S. 4^e série, tome 1, n^o 1 (1968), S. 149–159. DJVU/PDF

Eine Konstruktion der algebraischen Residuenabbildung.