Wittvektor

Wittvektoren sind eine von dem Mathematiker Ernst Witt eingeführte Verallgemeinerung der Konstruktion der (ganzen) p-adischen Zahlen auf beliebige perfekte Restklassenkörper. Neben diesen $p$-typischen Wittvektoren gibt es die großen Wittvektoren, aus denen sich die $p$-typischen Wittvektoren für beliebiges $p$ rekonstruieren lassen.

p-typische Wittvektoren

Sei $p$ eine feste Primzahl. Für einen Ring $A$ (kommutativ, mit Einselement) bilden die Wittvektoren einen von $p$ abhängenden Ring $W_p(A)$. Er ist vor allem für Ringe $A$ der Charakteristik $p$ interessant, die Konstruktion macht es aber erforderlich, auch andere Ringe zuzulassen.

Motivation

Sei $n>1$ eine ganze Zahl. Als Approximation an eine alternative Konstruktion der $p$-adischen Zahlen ${\mathbb{Z}}_p$ soll zunächst nur unter Verwendung der Addition und Multiplikation im Körper ${𝔽}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ein zum Restklassenring $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ isomorpher Ring, bezeichnet mit $W_{p,n}({𝔽}_p)$, konstruiert werden.

Der erste, naive Ansatz dazu wäre die Verwendung der Abbildung $\sigma :{𝔽}_p\to \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$, die für ganze Zahlen $0\le k<p$ die Restklasse von $k$ in ${𝔽}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ auf die Restklasse von $k$ in $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ abbildet. Die Bijektion

${𝔽}_p^n\to \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z},(x_0,x_1,\dots ,x_{n-1})\mapsto \sigma (x_0)+p\sigma (x_1)+\dots +p^{n-1}\sigma (x_{n-1})$

entspricht der Darstellung von ganzen Zahlen in $\{0,1,\dots ,p^n-1\}$ im Stellenwertsystem zur Basis $p$. Die von $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ übertragene Addition ist dann im Fall $n=2$:

$(x_0,x_1)+(y_0,y_1)=(x_0+y_0,x_1+y_1+c(x_0,y_0)),$

wobei $c(x_0,y_0)$ der Übertrag ist. Diese Konstruktion lässt sich nicht gut auf andere Körper als ${𝔽}_p$ verallgemeinern, auch weil die Definition von $\sigma$ von dem aus algebraischer Sicht ungünstigen Vertretersystem $\{0,1,\dots ,p-1\}\subset \mathbb{Z}$ Gebrauch macht.

Der korrekte Ansatz basiert auf der folgenden Aussage aus der elementaren Zahlentheorie: Für ganze Zahlen $u,v$ gilt:

$u\equiv vmodp⟹u^{p^{n-1}}\equiv v^{p^{n-1}}mod{p}^n$

(siehe Kongruenz (Zahlentheorie)). Das bedeutet: Ist $x\in {𝔽}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ und $u\in \mathbb{Z}$ ein Vertreter von $x$, dann hängt die Restklasse von $u^{p^{n-1}}$ in $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ nur von $x$, nicht jedoch von der Wahl von $u$ ab. Wir schreiben suggestiv $x^{p^{n-1}}$ für dieses Element von $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$. (Diese Abbildung ${𝔽}_p\to \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ ist im Wesentlichen das Teichmüller-Vertretersystem für die $p$-adischen Zahlen ${\mathbb{Z}}_p$.) Allgemeiner hängt auch die Restklasse von $p^k{u}^{p^{n-1-k}}$ nicht von $u$ selbst ab, wir scheiben $p^k{x}^{p^{n-1-k}}$.

Weil jeweils ${𝔽}_p\to p^k\mathbb{Z}/p^{k+1}\mathbb{Z}$, $x\mapsto p^k{x}^{p^{n-1-k}}$ bijektiv ist, erhalten wir durch Aufaddieren eine bijektive Abbildung:

$\begin{array}{cc}{w}_{n-1}:& {𝔽}_p^n\to \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z},\\ & (x_0,x_1,\dots ,x_{n-1})\mapsto x_0^{p^{n-1}}+p{x}_1^{p^{n-2}}+\dots +p^k{x}_k^{p^{n-1-k}}+\dots +p^{n-1}{x}_{n-1}\end{array}$

Sei $W_{p,n}({𝔽}_p)$ die Menge ${𝔽}_p^n$ zusammen mit derjenigen Addition und Multiplikation, die $w_{n-1}$ zu einem Isomorphismus machen.

Sei nun speziell $n=2$ und damit $w_1(x_0,x_1)=x_0^p+p{x}_1$. Sollen zwei Vektoren $(x_0,x_1)$ und $(y_0,y_1)$ addiert werden, also $(x_0,x_1)+(y_0,y_1)=(z_0,z_1)$, dann erhält man modulo $p$ die Gleichung $z_0^p=x_0^p+y_0^p$, also $z_0=x_0+y_0$. Damit ist

$p{z}_1=p{x}_1+p{y}_1+x_0^p+y_0^p-(x_0+y_0{)}^p$

Das Polynom

$X^p+Y^p-(X+Y{)}^p\in \mathbb{Z}[X,Y]$

hat durch $p$ teilbare Koeffizienten, ist also gleich $p\cdot {S_1}^{\prime }(X,Y)$ mit einem Polynom ${S_1}^{\prime }(X,Y)\in \mathbb{Z}[X,Y]$. Damit ist

$p{z}_1=p(x_1+y_1+{S_1}^{\prime }(x_0,y_0))$

also insgesamt

$(x_0,x_1)+(y_0,y_1)=(x_0+y_0,x_1+y_1+{S_1}^{\prime }(x_0,y_0))$

Die Assoziativität der Addition übersetzt sich in eine Gleichung

${S_1}^{\prime }(x_0,y_0)+{S_1}^{\prime }(x_0+y_0,z_0)={S_1}^{\prime }(x_0,y_0+z_0)+{S_1}^{\prime }(y_0,z_0)$

Man überzeugt sich leicht davon, dass diese Gleichung bereits entsprechend in $\mathbb{Z}[X,Y,Z]$ gilt. Das bedeutet, dass man für einen beliebigen kommutativen Ring $A$ durch die Festlegung

$(x_0,x_1)+(y_0,y_1)=(x_0+y_0,x_1+y_1+{S_1}^{\prime }(x_0,y_0))$

die Struktur einer abelschen Gruppe auf $W_{p,2}(A)=A^2$ definieren kann. Entsprechendes gilt für

$(x_0,x_1)\cdot (y_0,y_1)=(x_0{y}_0,P_1(x_0,x_1,y_0,y_1))$

mit $P_1(X_0,X_1,Y_0,Y_1)=X_0^p{Y}_1+X_1{Y}_0^p+p{X}_1{Y}_1$, so dass $W_{p,2}(A)$ zu einem kommutativen Ring mit Einselement $(1,0)$ wird.

Definition

Bezeichne ${\mathbb{N}}_0$ die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen. Weiterhin ist $p$ eine fest gewählte Primzahl.

Es gibt eindeutig bestimmte Polynome $S_i,P_i\in \mathbb{Z}[X_0,\dots ,X_i,Y_0,\dots ,Y_i]$ für jedes $i\in {\mathbb{N}}_0$ derart, dass für jeden kommutativen Ring mit Einselement $A$ gilt: $W_p(A)=A^{{\mathbb{N}}_0}$ ist ein Ring mit Addition:

$x+y=(S_0(x_0,y_0),S_1(x_0,x_1,y_0,y_1),S_2(x_0,x_1,x_2,y_0,y_1,y_2),\dots )$

und Multiplikation

$x\cdot y=(P_0(x_0,y_0),P_1(x_0,x_1,y_0,y_1),\dots )$

und für jedes $n\in {\mathbb{N}}_0$ ist die Abbildung

$W_p(A)\to A,x\mapsto x_0^{p^n}+p{x}_1^{p^{n-1}}+\dots +p^k{x}_k^{p^{n-k}}+\dots +p^n{x}_n$

ein Ringhomomorphismus. $W_p(A)$ heißt Ring der $p$-typischen Wittvektoren mit Einträgen aus $A$. Ist nur die Rede von $p$-typischen Wittvektoren, wird nur $W(A)$ geschrieben.

Für $n\in {\mathbb{N}}_1$ ist $W_{p,n}(A)=A^n$ mit der entsprechend abgeschnittenen Addition und Multiplikation ebenfalls ein kommutativer Ring mit Einselement, der Ring der $p$-typischen Wittvektoren der Länge $n$.

Das Ringelement

$x^{(n)}=x_0^{p^n}+p{x}_1^{p^{n-1}}+\dots +p^k{x}_k^{p^{n-k}}+\dots +p^n{x}_n\in A$

wird als $n$-te Geisterkomponente oder Nebenkomponente von $x\in W_p(A)$ bezeichnet. Mit den Witt-Polynomen

$w_{p,n}(X)=X_0^{p^n}+p{X}_1^{p^{n-1}}+\dots +p^n{X}_n$

kann man $S_n$ und $P_n$ rekursiv berechnen:

$\begin{array}{cc}{S}_n(X,Y)& =\frac{1}{p^n}(w_{p,n}(X)+w_{p,n}(Y)-\sum _{k=0}^{n-1}{p}^k{S}_k^{p^{n-k}}(X,Y))\\ P_n(X,Y)& =\frac{1}{p^n}(w_{p,n}(X)\cdot w_{p,n}(Y)-\sum _{k=0}^{n-1}{p}^k{P}_k^{p^{n-k}}(X,Y))\end{array}$

Beispiele:

$\begin{array}{cc}{S}_0(X,Y)& =X_0+Y_0\\ S_1(X,Y)& =X_1+Y_1-\sum _{k=1}^{p-1}\frac{1}{p}(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k})X_0^k{Y}_0^{p-k}\\ P_0(X,Y)& =X_0{Y}_0\\ P_1(X,Y)& =X_0^p{Y}_1+X_1{Y}_0^p+p{X}_1{Y}_1\end{array}$

Auch die Negation $x\mapsto -x$ im Ring $W_p(A)$ ist durch universelle Polynome gegeben. Für $p\ne 2$ ist:

$-(x_0,x_1,x_2,\dots )=(-x_0,-x_1,-x_2,\dots )$

Für $p=2$ ist dagegen $-(x_0,x_1,x_2,\dots )=(I_0(X),I_1(X),I_2(X),\dots )$ mit

$\begin{array}{cc}{I}_0(X)& =-X_0\\ I_1(X)& =-X_0^2-X_1\\ I_2(X)& =-X_0^4-X_0^2{X}_1-X_1^2-X_2\end{array}$

Die Abbildung $\tau :A\to W_p(A),a\mapsto (a,0,0,\dots )$ ist multiplikativ und heißt Teichmüller-Vertretersystem (nach Oswald Teichmüller).

Beweisskizze

Die rekursive Beschreibung liefert $S_n,P_n\in \mathbb{Q}[X,Y]$. Um einerseits die Ganzzahligkeit, andererseits die Ringeigenschaften nachzuweisen, zeigt der klassische Beweisansatz allgemeiner:

Lemma. Ist $\varphi \in \mathbb{Z}[X,Y]$ ein Polynom (z. B. $\varphi (X,Y)=X+Y$), dann gibt es eindeutig bestimmte ganzzahlige Polynome ${\varphi }_n\in \mathbb{Z}[X_0,\dots ,X_n,Y_0,\dots ,Y_n]$ mit

$w_{p,n}({\varphi }_0,\dots ,{\varphi }_n)=\varphi (w_{p,n}(X_0,\dots ,X_n),w_{p,n}(Y_0,\dots ,Y_n))$

für alle $n$. Entsprechende Versionen dieser Aussage gelten auch für $X,Y,Z$ statt $X,Y$ oder auch nur $X$.

Rationale Eindeutigkeit ist klar, der Ganzzahligkeitsbeweis beruht auf den Eigenschaften $w_{p,n}(X)\equiv w_{p,n-1}(X^p)modp$ und $f(X^p)\equiv f(X{)}^{p}modp$ sowie der oben erwähnten Implikation

$u\equiv vmodp⟹u^{p^{n-1}}\equiv v^{p^{n-1}}mod{p}^n$

Die Ringeigenschaften von $W_p(A)$ folgen aus der Eindeutigkeitsaussage des Lemmas: Sowohl $x+(y+z)$ als auch $(x+y)+z$ sind durch Polynome gegeben, die Lösungen der folgenden Gleichung sind:

$w_{p,n}({\varphi }_0,\dots ,{\varphi }_n)=w_{p,n}(X_0,\dots ,X_n)+w_{p,n}(Y_0,\dots ,Y_n)+w_{p,n}(Z_0,\dots ,Z_n)$

Also sind diese Polynome gleich.

Ein anderer Beweisansatz verwendet die Identifikation des Rings der großen Wittvektoren mit dem Ring $\mathrm{\Lambda }(A)$, siehe unten.

Einfache Eigenschaften

• $W_{p,1}(A)$ kann mit $A$ identifiziert werden, und $w_{p,0}:W_p(A)\to A$ mit der Projektion $x\mapsto x_0$. Alle Projektionen $W_p(A)\to W_{p,n}(A)$ sind surjektive Ringhomomorphismen, und

$W_p(A)=\underset{n}{\underleftarrow{\lim }}{W}_{p,n}(A)$

(siehe Projektiver Limes)

• $W_p({𝔽}_p)={\mathbb{Z}}_p$ und $W_{p,n}({𝔽}_p)=\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$
• Wenn $p$ in $A$ invertierbar ist, dann ist die Abbildung auf die Geisterkomponenten $w_p:W_p(A)\to A^{{\mathbb{N}}_0}$ ein Ringisomorphismus.
• Weitere Beispiele (unter beiden Isomorphismen entspricht $X$ dem Vektor $(0,1)$):

$\begin{array}{cc}& W_{p,2}(\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}[X]/(X^2-pX)\\ & W_{p,2}(\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/p^3\mathbb{Z}[X]/(X^2-pX,pX-p^2)\end{array}$

W(k) für perfekte Körper k

Sei $k$ ein perfekter Körper der Charakteristik $p$. Dann ist $W_p(k)$ ein vollständiger diskreter Bewertungsring gemischter Charakteristik (d. h. $\text{char}(W_p(k))=0$), dessen maximales Ideal von $p$ erzeugt wird. Diese Eigenschaft charakterisiert $W_p(k)$ bis auf Isomorphie.

Wittvektoren spielen eine wichtige Rolle in der Strukturtheorie vollständiger lokaler Ringe (nach I. S. Cohen):

• Satz von Teichmüller-Witt: Ist $(A,𝔪)$ ein vollständiger noetherscher lokaler Ring mit Restklassenkörper $k$, dann gibt es genau einen Homomorphismus $W_p(k)\to A$, so dass die Verkettung mit der Projektion $A\to k$ gleich der Projektion $W_p(k)\to k$ ist. Es gibt genau einen multiplikativen Schnitt ${\tau }_A:k\to A$ der Projektion $A\to k$, genannt Teichmüller-Vertretersystem, und die Abbildung $W_p(k)\to A$ ist:

$x\mapsto \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}^n\cdot {\tau }_A(x_n^{1/p^n})$

• $A$ ist als $W_p(k)$-Algebra isomorph zu einem Quotienten von $W_p(k)[[T_1,\dots ,T_m]]$ mit $m={\dim }_k(𝔪/({𝔪}^2+pA))$.
• Ist $p$ kein Nullteiler in $A$, dann gibt es Elemente $t_1,\dots ,t_{d-1}$ mit $d=\dim (A)$, so dass der induzierte Homomorphismus $W_p(k)[[T_1,\dots ,T_{d-1}]]\to A$ injektiv ist und $A$ als $W_p(k)[[T_1,\dots ,T_{d-1}]]$-Modul endlich erzeugt ist.
• Im Spezialfall $d=1$ bedeutet das genauer: Ist $(A,𝔪)$ ein vollständiger diskreter Bewertungsring der Charakteristik 0 mit Restklassenkörper $k$, dann ist $A$ eine endliche Erweiterung von $W_p(k)$ vom Grad $e$, wenn $e$ die normalisierte Bewertung von $p$ ist, also $pA={𝔪}^e$ gilt.

Für nicht perfekte Körper übernehmen Cohen-Ringe die Rolle von $W_p(k)$.

Frobenius und Verschiebung

In Charakteristik p

Sei $A$ ein Ring der Charakteristik $p$. Die Verschiebung ist die Abbildung

$\begin{array}{cc}V:& W_p(A)\to W_p(A),\\ & (x_0,x_1,x_2,\dots )\mapsto (0,x_0,x_1,x_2,\dots )\end{array}$

Sie ist ein Homomorphismus der additiven Gruppen. Durch Abschneiden erhält man induzierte Homomorphismen

$\begin{array}{cc}& W_{p,n}(A)\to W_{p,n+1}(A),\\ & (x_0,x_1,\dots ,x_{n-1})\mapsto (0,x_0,x_1,\dots ,x_{n-1})\end{array}$

Der Frobeniushomomorphismus (in Anlehnung an den Frobeniushomomorphismus von Körpern der Charakteristik $p$) ist die Abbildung

$\begin{array}{cc}F:& W_p(A)\to W_p(A),\\ & (x_0,x_1,x_2,\dots )\mapsto (x_0^p,x_1^p,x_2^p,\dots )\end{array}$

Sie ist ein Ringhomomorphismus, der sich zu Ringhomomorphismen $W_{p,n}(A)\to W_{p,n}(A)$ einschränkt. Sei $[p]$ die Multiplikation mit $p$ auf $W_p(A)$. Dann ist

$F\circ V=V\circ F=[p]$

somit

$[p](x_0,x_1,x_2,\dots )=(0,x_0^p,x_1^p,\dots )$

insbesondere

$p\cdot 1_{W_p(A)}=(0,1,0,0,0,\dots )$

Außerdem ist

$V(a\cdot F(b))=V(a)\cdot b$

Frobenius und Verschiebung sind Spezialfälle einer allgemeineren Konstruktion, siehe Frobeniushomomorphismus#Verschiebung.

Sei $K$ der Quotientenkörper von $W_p({𝔽}_q)$. Dann ist $F$ der (arithmetische) Frobeniusautomorphismus für die Körpererweiterung $K/{\mathbb{Q}}_p$.

Dieudonné-Ring

Sei $k$ ein perfekter Körper der Charakteristik $p$. Schreibt man $W=W_p(k)$ und $W^{\sigma }$ für den $W$-Modul $W$, bei dem die Modulstruktur durch $F$ gegeben ist, dann erhält man Modulhomomorphismen

$F:W\to W^{\sigma },V:W^{\sigma }\to W$

in Analogie zu Frobenius und Verschiebung für algebraische Gruppen in Charakteristik $p$. Ist allgemeiner $M$ ein $W$-Modul zusammen mit zwei Modulhomomorphismen $F:M\to M^{\sigma }$ und $V:M^{\sigma }\to M$, kann man diese Struktur zusammenfassen als Modul für den Dieudonné-Ring $D_k$ (nach Jean Dieudonné), den nichtkommutativen Ring, der von $W_p(k)$ und zwei Symbolen $𝐅,𝐕$ erzeugt wird, mit den Relationen

$\begin{array}{cc}& 𝐕\cdot 𝐅=𝐅\cdot 𝐕=p\\ & 𝐕\cdot F(a)=a\cdot 𝐕\\ & 𝐅\cdot a=F(a)\cdot 𝐅\end{array}$

Die klassische Dieudonné-Theorie ist eine Äquivalenz von Kategorien zwischen kommutativen unipotenten algebraischen Gruppen und bestimmten $D_k$-Moduln. Siehe auch unten.

Allgemein

Für beliebige Ringe $A$ muss die Definition des Frobeniushomomorphismus modifiziert werden: er ist durch die Gleichung $w_{p,n+1}=w_{p,n}\circ F$ charakterisiert. Insbesondere ist die 0-te Komponente $F_0(x)=x_0^p+p{x}_1$. Der Frobeniushomomorphismus ist auch im allgemeinen Fall ein Ringhomomorphismus. Es gilt

$Fx\equiv x^{p}modpW(A)$

Durch Abschneiden erhält man Ringhomomorphismen

$W_{p,n}(A)\to W_{p,n-1}(A)$

(also nicht mehr mit Ziel $W_{p,n}(A)$ wie im Fall der Charakteristik $p$). Allgemein gilt immer noch

$FV=[p]$

und

$V(a\cdot F(b))=V(a)\cdot b$

Frobeniuslifts und Komonadenstruktur Vorlage:Anker

Sei $A$ ein $p$-torsionsfreier Ring. Ein Frobeniuslift ist ein Ringhomomorphismus $\sigma :A\to A$ mit $\sigma (a)\equiv a^{p}modpA$. Für einen Frobeniuslift existiert nach Dieudonné-Cartier eine eindeutig bestimmte Fortsetzung $s:A\to W_p(A)$, für die $w_{p,n}\circ s={\sigma }^n$ für alle $n$ gilt. Sie erfüllt $F\circ s=s\circ \sigma$. Da $W_p(A)$ selbst über den Frobeniuslift $F$ verfügt, erhält man zunächst für $p$-torsionsfreie Ringe und durch universelle Formeln für beliebige Ringe eine natürliche Transformation $\mu :W_p\to W_p\circ W_p$, die durch $w_{p,n}\circ \mu =F^n$ charakterisiert ist. Sie wird auch Artin-Hasse-Exponentialfunktion genannt, siehe auch unten, und definiert eine Komonade $(W_p,\mu ,w_0)$.

Die Restriktion auf $p$-torsionsfreie Ringe lässt sich dadurch beseitigen, dass man zu $p$-Derivationen übergeht: Für einen Ring $A$ ist eine $p$-Derivation eine Abbildung $\delta :A\to A$, für die die Abbildung

$s_{2,\delta }:A\to W_{p,2}(A),a\mapsto (a,\delta (a))$

ein Ringhomomorphismus ist. Konkret bedeutet das, dass $\delta$ die folgenden Gleichungen erfüllt:

$\begin{array}{cc}& \delta (1)=0\\ & \delta (a+b)=S_1(a,\delta (a),b,\delta (b))=\delta (a)+\delta (b)+\sum _{k=1}^{p-1}\frac{1}{p}(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k})a^k{b}^{p-k}\\ & \delta (ab)=P_1(a,\delta (a),b,\delta (b))=a^p\delta (b)+\delta (a)b^p+p\cdot \delta (a)\delta (b)\end{array}$

Eine $p$-Derivation $\delta$ definiert durch $w_{p,1}\circ s_{2,\delta }:a\mapsto a^p+p\cdot \delta (a)$ einen Frobeniuslift auf $A$. Ist $A$ torsionsfrei, erhält man umgekehrt aus einem Frobeniuslift $\sigma$ eine $p$-Derivation

$\delta :A\to A,\delta (a)=\frac{\sigma (a)-a^p}{p}$

Ein Ring zusammen mit einer $p$-Derivation wird als δ-Ring bezeichnet.

Die Situation ist insofern analog zu gewöhnlichen Derivationen $d:A\to A$, als diese sich dadurch charakterisieren lassen, dass $A\to A[T]/T^2,a\mapsto (a,d(a))$ ein Ringhomomorphismus ist.

Die Koalgebren für die oben definierte Komonade können mit den δ-Ringen identifiziert werden. Insbesondere ist $W_p$ rechtsadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der δ-Ringe in die Kategorie der Ringe. Es existiert auch eine duale Beschreibung basierend auf der „Plethorie“ ${\mathrm{\Lambda }}_p$, die $W_p$ als Endofunktor der Kategorie der Ringe darstellt.

Weitere Eigenschaften in Charakteristik p

Sei $A$ ein Ring mit $pA=0$.

• Wenn $A$ ein Integritätsbereich ist, dann auch $W_p(A)$, und es gilt $\text{char}(W_p(A))=0$.
• Die Einheiten von $W_p(A)$ sind genau die Elemente $x$ mit $x_0\in A^{*}$.
• Wenn $A$ ein Körper ist, dann ist $W_p(A)$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal $V(W_p(A))$. Außerdem ist $W_p(A)$ genau dann noethersch, wenn $A$ perfekt ist.
• Wenn $A\to A,a\mapsto a^p$ surjektiv ist, dann ist $V(W_p(A))=p{W}_p(A)$ und somit $W_p(A)/p{W}_p(A)\cong A$.
• Ist $A$ perfekt, d. h. $a\mapsto a^p$ bijektiv, dann lässt sich ein Wittvektor $x=(x_0,x_1,x_2,\dots )$ mit der Teichmüller-Abbildung $\tau :A\to W_p(A)$ als $p$-adisch konvergente Reihe schreiben:

$x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{V}^n\tau (x_n)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}^n\cdot \tau (x_n^{1/p^n})$

• Ist $A$ ein Integritätsbereich, und sind alle Primzahlen $\ne p$ in $A$ invertierbar (z. B. wenn $A$ ein Körper ist), dann kann man die Einheitengruppen $A[[T]{]}^{*}$ und $A((T){)}^{*}$ (formale Potenzreihen bzw. Laurentreihen) sowie $(A[T]/T^{n}A[T]{)}^{*}$ durch $W_p(A)$ beschreiben, siehe unten.

Weitere Anwendungen

• Artin-Schreier-Witt-Theorie: Ist $K$ ein Körper der Charakteristik $p$, können abelsche Erweiterungen vom Exponenten $p^n$ von $K$ mit Hilfe der Wittvektoren $W_{p,n}$ klassifiziert werden.
• Ist $X$ ein Schema über einem Körper $k$ der Charakteristik $p$, dann gibt es nicht immer ein flaches Schema $\tilde{X}$ über $W_p(k)$ mit $\tilde{X}{\times }_{\text{Spec }{W}_p(k)}\text{Spec }k\cong X$. Die Existenz eines Lifts nach $W_{p,2}(k)$ spielt eine Rolle im Beweis der Degeneration der Hodge-de-Rham-Spektralsequenz von Pierre Deligne und Luc Illusie.
• Ist $X/k$ glatt, existieren Lifts lokal. Stattet man die lokalen Lifts noch mit einer PD-Struktur aus, die bewirkt, dass ein Analogon des Poincaré-Lemmas gilt, erhält man die kristalline Kohomologie. Die kristallinen Kohomologiegruppen sind $W(k)$-Moduln. Tensoriert man mit dem Quotientenkörper, erhält man eine Weil-Kohomologie, welche die l-adische Kohomologie für $l\ne p$ ergänzt.
• Ist $X$ ein Schema über ${𝔽}_p$, so ist der topologische Raum $X$ mit der Garbe $W_n{𝒪}_X$ wieder ein Schema $W_n(X)$. Der De-Rham-Witt-Komplex $W_n{\mathrm{\Omega }}_X^{\cdot }$ ist ein geeigneter Quotient von ${\mathrm{\Omega }}_{W_n{𝒪}_X}^{\cdot }$. Für $X$ glatt ist die kristalline Kohomologie $H^{*}(X/W_n)$ isomorph zur Hyperkohomologie von $W_n{\mathrm{\Omega }}_X^{\cdot }$.
• Es gibt Ansätze, Wittvektoren auf die Analyse des Verschlüsselungsverfahrens NTRUEncrypt anzuwenden.

Wittvektoren als algebraische Gruppe Vorlage:Anker

Sei $k$ ein perfekter Körper der Charakteristik $p$. Die Wittvektoren der Länge $n$ bilden eine kommutative algebraische Gruppe $W_n$ über $k$, die als Varietät isomorph zum affinen Raum ${𝔸}_k^n$ ist. $W_n$ ist eine unipotente Gruppe: Das folgt aus der Filtrierung $V^k{W}_n$ mit Subquotienten $\cong {𝔾}_a$ oder der Artin-Hasse-Einbettung $W_n(A)\to (A[T]/(T^{p^n+1}){)}^{*}$.

In Charakteristik 0 ist jede kommutative unipotente Gruppe isomorph zu ${𝔾}_a^d$. In positiver Charakteristik ist die Theorie wesentlich komplexer: Es gibt nichttriviale Erweiterungen, und außer ${𝔾}_a$ gibt es noch die möglichen Kompositionsfaktoren $\underset{\_}{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}$ und ${\alpha }_p$ (der Kern des Frobeniusmorphismus auf ${𝔾}_a$, explizit ${\alpha }_p(A)=\{a\in A:a^p=0\}$).

Jede kommutative unipotente Gruppe über $k$ ist isogen zu einem Produkt von Wittvektorgruppen. Der Hauptsatz der klassischen Dieudonné-Theorie besagt: Der Funktor

$M(G)=\underset{n}{\underrightarrow{\lim }}\text{Hom}(G,W_n)$

definiert eine Äquivalenz zwischen der Kategorie der kommutativen unipotenten algebraischen Gruppen über $k$ und der Kategorie der endlich erzeugten $D_k$-Moduln, auf denen $V$ nilpotent wirkt. Mit Hilfe der Cartier-Dualität oder mit Witt-Kovektoren kann man eine analoge Äquivalenz für endliche $p$-Gruppen sowie für p-divisible Gruppen konstruieren.

Für eine abelsche Varietät $X/k$ gibt es einen kanonischen Isomorphismus von $D_k$-Moduln $M({}_{p}X)\cong H_{\text{DR}}^1(X)$. Dabei ist ${}_{p}X$ der Kern der Multiplikation mit $p$ auf $X$ und $H_{\text{DR}}^1(X)$ die algebraische De-Rham-Kohomologie von $X$. Der Dieudonné-Modul der $p$-divisiblen Gruppe von $X$ ist isomorph zur kristallinen Kohomologie $H_{\text{cris}}^1(X/W)$.

Witt-Kovektoren

Wie Wittvektoren eine Verallgemeinerung der $p$-adischen Zahlen $W_p({𝔽}_p)={\mathbb{Z}}_p=\underset{n}{\underleftarrow{\lim }}\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ sind, so sind Witt-Kovektoren eine Verallgemeinerung der Prüfergruppe $CW({𝔽}_p)={\mathbb{Q}}_p/{\mathbb{Z}}_p=\underset{n}{\underrightarrow{\lim }}\frac{1}{p^n}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$. Der Funktor $M(G)=\text{Hom}(G,CW)$ erlaubt eine einheitliche Darstellung der Dieudonné-Theorie für endliche kommutative $p$-Gruppen und $p$-divisible Gruppen über einem perfekten Körper.

Für einen Ring $A$ sei $C{W}^u(A)$ der direkte Limes von

$W_{p,1}(A)\stackrel{V}{⟶}{W}_{p,2}(A)\stackrel{V}{⟶}{W}_{p,3}(A)\stackrel{V}{⟶}\dots$

Damit wird $C{W}^u$ zu einem Ind-Gruppenschema. In älterer Literatur wird auch das Symbol $W_{\to }$ verwendet. $C{W}^u(A)$ heißt Gruppe der unipotenten Witt-Kovektoren.

Die Konstruktion der topologischen Gruppe $CW(A)$ aller Witt-Kovektoren ist komplizierter: Elemente in $C{W}^u(A)$ können mit Folgen $(x_0,x_{-1},x_{-2},\dots )$ identifiziert werden, die ab einem Index null sind. Mit denselben universellen Formeln kann man für Folgen, die ab einem festen Index $r$ Werte in einem festen nilpotenten Ideal $𝔫$ haben, eine Addition erklären. Statte diese Gruppen $CW(A,𝔫,r)$ mit der Produkttopologie von $A^r\times {𝔫}^{\mathbb{N}}$ mit diskreten Faktoren aus und setze $CW(A)=\underset{𝔫,r}{\underrightarrow{\lim }}CW(A,𝔫,r)$. Die unipotenten Kovektoren $C{W}^u(A)$ bilden eine dichte Untergruppe von $CW(A)$.

Sei $A$ ein perfekter Ring der Charakteristik $p$ und $f:A\to B$ eine $A$-Algebra. Die Abbildung

$W_p(A)\times W_{p,n}(B)\to W_{p,n}(B),(a,b)\mapsto W(f)(F^{1-n}a)\cdot b$

macht $W_{p,n}(B)$ zu einem $W_p(A)$-Modul (abweichend von der weiter oben definierten Modulstruktur), und mit dem Frobenius und der Verschiebung wird $W_{p,n}(B)$ zu einem $D_A$-Modul. Die Verschiebung $W_{p,n}(B)\to W_{p,n+1}(B)$ ist $D_A$-linear, und man erhält eine $D_A$-Modulstruktur auf $C{W}^u(B)$ und $CW(B)$.

Verzweigte Wittvektoren

Sei $A$ ein vollständiger diskreter Bewertungsring der Charakteristik 0 mit Uniformisierender $\pi$, dessen Restklassenkörper ein endlicher Körper mit $q$ Elementen ist. Dann gibt es genau eine funktorielle $A$-Algebra-Struktur auf $W_{\pi }^A(B)=B^{{\mathbb{N}}_0}$ für $A$-Algebren $B$, so dass

$w_{\pi ,n}:W_{\pi }^A(B)\to B,(x_0,x_1,\dots )\mapsto \sum _{k=0}^n{\pi }^k{x}_k^{q^{n-k}}$

für jedes $n\in {\mathbb{N}}_0$ ein Homomorphismus von $A$-Algebren ist. Es gibt Frobenius- und Verschiebungsoperatoren $F_{\pi },V_{\pi }$, die durch

$w_{\pi ,n}\circ V_{\pi }=\pi \cdot w_{\pi ,n-1},w_{\pi ,n}\circ F_{\pi }=w_{\pi ,n+1}$

charakterisiert sind. Für eine endliche Erweiterung $\lambda /{𝔽}_q$ des Restklassenkörpers von $A$ ist $W_{\pi }^A(\lambda )$ eine unverzweigte Erweiterung von $A$ vom Grad $[\lambda :{𝔽}_q]$. Verzweigte Wittvektoren übernehmen die Rolle der gewöhnlichen Wittvektoren bei der Übertragung der Cartier-Theorie auf formale $A$-Moduln.

Große Wittvektoren

Definition

Bezeichne ${\mathbb{N}}_1$ die Menge der positiven ganzen Zahlen.

Es gibt eindeutig bestimmte Polynome $S_i,P_i\in \mathbb{Z}[X_1,\dots ,X_i,Y_1,\dots ,Y_i]$ derart, dass für jeden kommutativen Ring mit Einselement $A$ gilt: $W(A)=A^{{\mathbb{N}}_1}$ ist ein Ring mit Addition

$x+y=(S_1(x_1,y_1),S_2(x_1,x_2,y_1,y_2),S_3(x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3),\dots )$

und Multiplikation

$x\cdot y=(P_1(x_1,y_1),P_2(x_1,x_2,y_1,y_2),\dots )$

und für jedes $n\in {\mathbb{N}}_1$ ist die Abbildung

$W(A)\to A,x\mapsto \sum _{d|n}d{x}_d^{n/d}$

ein Ringhomomorphismus. Auch das additiv Inverse $-x$ ist durch universelle Polynome gegeben. $W(A)$ heißt der Ring der großen oder universellen Wittvektoren mit Einträgen aus $A$.

Ist $S\subseteq {\mathbb{N}}_1$ eine Teilmenge, so dass für $n\in S$ auch jeder Teiler von $n$ in $S$ liegt, dann ist $W_S(A)=A^S$ mit der entsprechend abgeschnittenen Addition und Multiplikation von $W(A)$ ebenfalls ein kommutativer Ring mit Einselement. Für $S=\{1,\dots ,n\}$ erhält man den Ring $W_{[n]}(A)$ der großen Wittvektoren der Länge $n$, für $S=\{1,p,p^2,\dots \}$ mit einer Primzahl $p$ erhält man bis auf Umindizierung den Ring der $p$-typischen Wittvektoren, siehe unten.

Das Ringelement

$x^{(n)}=\sum _{d|n}d{x}_d^{n/d}$

wird als $n$-te Geisterkomponente oder Nebenkomponente von $x\in W(A)$ bezeichnet. Mit den Witt-Polynomen

$w_n(X)=\sum _{d|n}d{X}_d^{n/d}$

kann man $S_n$ und $P_n$ rekursiv berechnen:

$\begin{array}{cc}{S}_n(X,Y)& =\frac{1}{n}(w_n(X)+w_n(Y)-\sum _{d|n,d<n}d{S}_d^{n/d}(X,Y))\\ P_n(X,Y)& =\frac{1}{n}(w_n(X)\cdot w_n(Y)-\sum _{d|n,d<n}d{P}_d^{n/d}(X,Y))\end{array}$

Die Abbildung $\tau :A\to W(A),a\mapsto (a,0,0,\dots )$ ist multiplikativ und heißt Teichmüller-Vertretersystem.

$W$ ist als mengenwertiger Funktor darstellbar durch einen Polynomring in abzählbar unendlich vielen Unbestimmten. In der Praxis verwendet man konkret den Ring der symmetrischen Polynome, und Strukturen von $W$ zu übertragen.

Vorlage:Anker Alternative Definition mit Potenzreihen

Sei $\mathrm{\Lambda }(A)=1+T\cdot A[[T]]\subseteq A[[T]{]}^{*}$ die multiplikative Gruppe der formalen Potenzreihen mit konstantem Term 1. Die Abbildung

$\begin{array}{cc}& W(A)\to \mathrm{\Lambda }(A)\\ & x\mapsto \prod _{n\ge 1}(1-x_n(-T{)}^n)\end{array}$

ist ein Isomorphismus von Gruppen $(W(A),+)\cong (\mathrm{\Lambda }(A),\cdot )$. Für $x\in W(A)$ hat

$-T\cdot \frac{\partial }{\partial T}\log \prod _{n\ge 1}(1-x_n(-T{)}^n)=\sum _{n\ge 1}{x}^{(n)}(-T{)}^n$

als Koeffizienten die Geisterkomponenten von $x$.

Unter dem Isomorphismus wird das Produkt zweier Wittvektoren $x,y\in W(A)$ abgebildet auf:

$\prod _{d,e\ge 1}(1-x_d^{m/d}{y}_e^{m/e}(-T{)}^m{)}^{de/m}$

wobei jeweils $m=\text{kgV}(d,e)$. Schreibe $*$ für die der Multiplikation in $W(A)$ entsprechende Verknüpfung auf $\mathrm{\Lambda }(A)$, so dass $(W(A),+,\cdot ,0,1)\cong (\mathrm{\Lambda }(A),\cdot ,*,1,1+T)$ ein Isomorphismus von Ringen ist. Als Spezialfall der Multiplikationsformel ergibt sich

$(1+x_{1}T)*(1+y_{1}T)=1+x_1{y}_{1}T$

Frobenius und Verschiebung

Zu jeder natürlichen Zahl $n\in {\mathbb{N}}_1$ gibt es Operatoren $F_n$ und $V_n$. Ihre Wirkung auf den Geisterkomponenten ist:

$\begin{array}{cc}& w_m(V_n(x))=\{\begin{array}{cc}n\cdot w_{m/n}(x)& \text{falls }n|m\\ 0& \text{sonst}\end{array}\\ & w_m(F_n(x))=w_{mn}(x)\end{array}$

In $\mathrm{\Lambda }(A)$ ist

$\begin{array}{cc}& V_n(f(T))=f((-1{)}^{n+1}{T}^n)\\ & F_n(f)((-1{)}^{n+1}{T}^n)=\prod _{k=1}^{n}f({\zeta }^{k}T)=N_{A[[T]]/A[[T^n]]}(f(T))\end{array}$

Dabei ist $\zeta$ eine formale primitive $n$-te Einheitswurzel und $N$ die Norm. Insbesondere gilt

$F_n(1+aT)=1+a^{n}T$

Für $n\in \mathbb{Z}$ sei $[n]$ die Multiplikation mit $n$ auf $W(A)$, also

$\begin{array}{cc}& w_m([n](x))=n\cdot w_m(x)\\ & [n](f(T))=f(T{)}^n\end{array}$

Ist $A$ eine $R$-Algebra (insbesondere $R=\mathbb{Z}$), dann gibt es für jedes $r\in R$ einen Operator $⟨r⟩:W(A)\to W(A)$:

$\begin{array}{cc}& w_m(⟨r⟩(x))=r^m\cdot w_m(x)\\ & ⟨r⟩(f(T))=f(rT)\end{array}$

Vorlage:Anker Es gilt für $m,n\in {\mathbb{N}}_1$, $r,q\in R$:

$\begin{array}{cc}{V}_m{V}_n& =V_{mn}\\ F_m{F}_n& =F_{mn}\\ V_m{F}_n& =F_n{V}_m\text{ falls ggT}(m,n)=1\\ F_n{V}_n& =[n]\\ ⟨r⟩⟨s⟩& =⟨rs⟩\\ ⟨r⟩V_n& =V_n⟨r^n⟩\\ F_n⟨r⟩& =⟨r^n⟩F_n\\ ⟨r⟩+⟨q⟩& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{V}_n⟨s_n(r,q)⟩F_n\end{array}$

In der letzten Formel steht $s_n(r,q)$ für die $n$-te Komponente von $\tau (r)+\tau (q)\in W(R)$.

Vorlage:Anker Vorlage:Anker Beziehung zu den p-typischen Wittvektoren, Artin-Hasse-Exponentialfunktion

Sei $p$ eine Primzahl. Die Abbildung $W(A)\to W_p(A)$, $(x_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_1}\mapsto (x_{p^n}{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$, ist ein surjektiver Ringhomomorphismus. Die $p$-typischen Wittpolynome $w_{p,n}$ sind unter dieser Umindizierung gleich den großen Wittpolynomen $w_{p^n}$, dasselbe gilt damit auch für die Geisterkomponenten.

Die Teilmenge $\{x\in W(A):x_k\ne 0\Rightarrow k=p^n\}$ ist kein Unterring von $W(A)$. In bestimmten Fällen kann man jedoch $W_p(A)$ in $W(A)$ einbetten.

Die Artin-Hasse-Exponentialfunktion

$E_0(X)=\exp \left(\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{X^{p^m}}{p^m}\right)=\prod _{p\nmid m}(1-X^m{)}^{-\mu (m)/m}$

kann als Element von ${\mathbb{Z}}_{(p)}[[X]]$ aufgefasst werden (d. h. die Koeffizienten haben nicht durch $p$ teilbare Nenner, siehe Lokalisierung; $\mu$ ist die Möbius-Funktion).

Ist $A$ eine ${\mathbb{Z}}_{(p)}$-Algebra, d. h. sind alle Primzahlen $\ne p$ in $A$ invertierbar, dann ist für einen Wittvektor $x\in W_p(A)$ das Element

$E(x)=\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{E}_0(x_n{T}^{p^n})=\exp (\sum _n{w}_{p,n}(x)\frac{T^{p^n}}{p^n})\in \mathrm{\Lambda }(A)$

wohldefiniert. $e=E(1)=E_0(T)$ ist ein Idempotent in $\mathrm{\Lambda }(A)$, und $E:W_p(A)\to \mathrm{\Lambda }(A)\cong W(A)$ induziert einen Ringisomorphismus $W_p(A)\to e*\mathrm{\Lambda }(A)$. Bezeichne die $e*\mathrm{\Lambda }(A)$ entsprechende Untergruppe von $W(A)$ mit $W_{(p)}(A)$. Dann gilt:

$W_{(p)}(A)=\{x\in W(A):p\nmid n⟹F_{n}x=0\}$

Der Ring $W(A)$ zerfällt als direktes Produkt der $\frac{1}{m}{V}_m{W}_{(p)}(A)$ für $p\nmid m$. Für beliebige Ringe $A$ ist $W(A)\cong W^p(W_p(A))$, wenn $W^p(R)$ den Quotienten von $W(A)$ bezeichnet, den man durch Projektion auf die Komponenten mit nicht durch $p$ teilbarem Index erhält.

Frobenius $F_p$ und Verschiebung $V_p$ schränken sich zu Operatoren auf $W_{(p)}$ ein und stimmen dort mit den auf $W_p$ erklärten Operatoren $F$ bzw. $V$ überein.

Für einen Körper $k$ der Charakteristik $p$ ist $\mathrm{\Lambda }(k)$ die Einseinheitengruppe von $k((T))$, und so erhält man den Isomorphismus

$k((T){)}^{*}\cong k^{*}\times \mathbb{Z}\times W_p(k{)}^{I(p)}$ mit $I(p)=\{n\in \mathbb{N}:p\nmid n\}$

Für jede $k$-Algebra $A$ ist

$W_{[n]}(A)\cong {\mathrm{\Lambda }}_{[n]}(A)=\{1+a_{1}T+\dots +a_n{T}^n\in (A[T]/T^{n+1}A[T]{)}^{*}\}$

Das Abschneiden bei $n$ reduziert den Faktor $\frac{1}{m}{V}_m{W}_{(p)}(A)$ auf $\frac{1}{m}{V}_m{W}_{p,r_m}(A)$, wobei $r_m$ die kleinste ganze Zahl mit $m\cdot p^{r_m}\ge n+1$ ist. Man erhält also einen Isomorphismus von algebraischen Gruppen (über $k$)

${\mathrm{\Lambda }}_{[n]}\cong \prod _{m\le n,p\nmid m}{W}_{p,r_m}$

Die Artin-Hasse-Exponentialabbildung hängt auch mit der Komonadenstruktur $\mu :W_p\to W_p\circ W_p$ zusammen: Für einen perfekten Körper $k$ der Charakteristik $p$ ist die Verkettung von

$W_p(k)\to \mathrm{\Lambda }(W_p(k)),x\mapsto \prod _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{E}_0(\tau (x_i^{p^{-i}})\cdot T{)}^{p^i}$

mit der Projektion $\mathrm{\Lambda }(W_p(k))\cong W(W_p(k))\to W_p(W_p(k))$ gleich $\mu$.

λ-Ringe

Es gibt einen kanonischen Ringhomomorphismus ${\mu }_A:W(A)\to W(W(A))$, der $w_n\circ \mu =F_n$ erfüllt. Wenn $A$ als abelsche Gruppe torsionsfrei ist, ist $\mu$ durch diese Bedingung eindeutig bestimmt, und für andere Ringe ist $\mu$ dadurch charakterisiert, dass für eine Surjektion $f:A^{\prime }\to A$ mit einem torsionsfreien Ring $A^{\prime }$ die Gleichung ${\mu }_A\circ W(f)=W(W(f))\circ {\mu }_{A^{\prime }}$ gilt. Zusammen mit $w_1:W(A)\to A$ wird $W$ zu einer Komonade. Überträgt man die Koalgebren zu dieser Komonade auf $\mathrm{\Lambda }(A)$, erhält man die so genannten λ-Ringe.

Die erste Geisterkomponente $w_1:W(A)\to A$ entspricht in $\mathrm{\Lambda }(A)$ dem ersten Koeffizienten:

$w_1:\mathrm{\Lambda }(A)\to A,1+a_{1}T+a_2{T}^2+\dots \mapsto a_1$

Ein Prä-λ-Ring ist ein Ring $A$ zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus $\lambda :A\to \mathrm{\Lambda }(A)$ mit $w_1\circ \lambda ={\text{id}}_A$. Diese Bedingung ist die Kompatibilität mit der Koeins der Komonade. Bezeichnet man die Koeffizienten von $\lambda (a)$ mit ${\lambda }^n(a)$, also

$\lambda (a)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^n(a)T^n$

dann ist eine Prä-λ-Struktur äquivalent zur Angabe von Abbildungen ${\lambda }^n:A\to A$ für $n\in {\mathbb{N}}_0$, die die folgenden Gleichungen erfüllen:

$\begin{array}{cc}& {\lambda }^0(a)=1\\ & {\lambda }^1(a)=a\\ & {\lambda }^n(a+b)=\sum _{k=0}^n{\lambda }^k(a){\lambda }^{n-k}(b)\end{array}$

Ein λ-Homomorphismus $(A,{\lambda }_A)\to (B,{\lambda }_B)$ ist ein Ringhomomorphismus $f:A\to B$ mit $\mathrm{\Lambda }(f)\circ {\lambda }_A={\lambda }_B\circ f$, d. h. das folgende Diagramm kommutiert:

$\begin{array}{ccc}A& \to & B\\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathrm{\Lambda }(A)& \to & \mathrm{\Lambda }(B)\end{array}$

Der Ring $\mathrm{\Lambda }(A)$ besitzt wie oben ausgeführt für jeden Ring $A$ eine kanonische Prä-λ-Struktur. Ein λ-Ring ist ein Prä-λ-Ring, für den $\lambda :A\to \mathrm{\Lambda }(A)$ ein λ-Homomorphismus ist. Das obige Diagramm ist für $B=\mathrm{\Lambda }(A)$ gerade die Kompatibilität mit der Komultiplikation der Komonade. Übersetzt in die ${\lambda }^n$ sind das zusätzliche Bedingungen der folgenden Form:

$\begin{array}{cc}& {\lambda }^n(1)=0\text{ falls }n>1\\ & {\lambda }^n(ab)=P_n({\lambda }^1(a),\dots ,{\lambda }^n(a),{\lambda }^1(b),\dots ,{\lambda }^n(b))\\ & {\lambda }^m({\lambda }^n(a))=Q_{n,m}({\lambda }^1(a),\dots ,{\lambda }^{mn}(a))\end{array}$

Die (universellen) Polynome $P_n$ beschreiben die $*$-Multiplikation auf $\mathrm{\Lambda }(A)$ und besitzen wie die Polynome $Q_{n,m}$ eine Beschreibung mit Hilfe von elementarsymmetrischen Polynomen.

Die Koassoziativität der Komonade $\mathrm{\Lambda }$ besagt, dass $\mathrm{\Lambda }(A)$ selbst ein λ-Ring ist. Der Funktor $\mathrm{\Lambda }$ ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der λ-Ringe in die Kategorie der Ringe.

Ist $(A,\lambda )$ ein λ-Ring, dann ist der Ringhomomorphismus

$A\stackrel{\lambda }{⟶}\mathrm{\Lambda }(A)\cong W(A)\stackrel{w_n}{⟶}A$

die $n$-te Adams-Operation ${\psi }_n$ auf $A$. Es gilt ${\psi }_n\circ {\psi }_m={\psi }_{mn}$. Für eine Primzahl $p$ ist $w_p=X_1^p+p{X}_p$, also ${\psi }_p(a)\equiv a^{p}modpA$, d. h. ${\psi }_p$ ist ein Frobeniuslift. Ist $A$ ein beliebiger Ring, dann ist die Adams-Operation ${\psi }_n$ auf dem λ-Ring $\mathrm{\Lambda }(A)$ der Frobenius $F_n$.

Cartier-Theorie

Die Cartier-Theorie (nach Pierre Cartier) ist eine Äquivalenz von Kategorien zwischen einer geeigneten Kategorie kommutativer formaler Gruppen über einem Ring $k$ und einer Unterkategorie der Moduln über dem Cartier-Ring $\text{Cart}(k)$.

Sei $\text{Nil}(k)$ die Kategorie der kommutativen $k$-Algebren ohne Einselement, die nur aus nilpotenten Elementen bestehen. Für die Zwecke der Theorie werden kommutative formale Gruppen mit Funktoren $\text{Nil}(k)\to \text{Ab}$ identifiziert. Ist $F\in k[[X,Y]]$ ein formales Gruppengesetz, ordnet der entsprechende Funktor einer Algebra $A$ die Menge $A$ mit der Gruppenstruktur $(a,b)\mapsto F(a,b)$ zu. Die formale Gruppe $A\mapsto (A,+)$ ist die formale affine Gerade ${\widehat{𝔸}}^1$. Die Funktoren können auf natürliche Weise auf die Kategorie der Algebren fortgesetzt werden, die filtrierende projektive Limites von Algebren in $\text{Nil}(k)$ sind.

Die formale Gruppe der Wittvektoren ist der Funktor $\hat{W}$, der einer Algebra $A$ die Untergruppe der Wittvektoren in $W(A)$ zuordnet, die nur endlich viele von 0 verschiedene Komponenten haben. Die entsprechende Untergruppe $\hat{\mathrm{\Lambda }}(A)\subseteq \mathrm{\Lambda }(A)$ besteht aus den Elementen, die bezüglich $T$ ein Polynom sind. Der Ring $\text{End}(\hat{W}{)}^{\text{op}}$ wird mit $\text{Cart}(k)$ bezeichnet und Cartier-Ring genannt. Die Operatoren $F_n,V_n,⟨r⟩$ schränken sich zu Endomorphismen von $\hat{W}$ ein und definieren damit Elemente $V_n,F_n,⟨r⟩\in \text{Cart}(k)$. Dabei werden die Bezeichnungen von $F_n$ und $V_n$ vertauscht, so dass die obigen Relationen wegen der vertauschten Multiplikationsreihenfolge wieder gelten. Die Abbildung $W(k)\to \text{Cart}(k)$, $a\mapsto \sum _{n\ge 1}{V}_n⟨a_n⟩F_n$ ist ein injektiver Ringhomomorphismus.

Sei $G$ eine formale Gruppe. Die folgenden Gruppen sind natürlich isomorph:

• $G(Xk[[X]])=\underset{n}{\underleftarrow{\lim }}G(Xk[X]/X^{n}k[X])$
• die Gruppe der Morphismen ${\widehat{𝔸}}^1\to G$ (nicht Gruppenhomomorphismen, d. h. natürliche Transformationen nur als mengenwertige Funktoren). Die Gruppenstruktur wird von der Gruppenstruktur auf $G$ induziert.
• die Gruppe der Homomorphismen $\hat{W}\to G$

Ihre Elemente werden Kurven in $G$ genannt, die Gruppe mit $C(G)$ bezeichnet. Aus der letzten Beschreibung ergibt sich eine kanonische $\text{Cart}(k)$-Linksmodulstruktur auf $C(G)$.

Die Potenzreihengruppe $\mathrm{\Lambda }(k)$ kann mit $C({\widehat{𝔾}}_m)$ identifiziert werden. Die Witt-Polynome entsprechen dem Gruppenhomomorphismus $C({\widehat{𝔾}}_m)\to C({\widehat{𝔾}}_a)$, der von der logarithmischen Ableitung auf $Xk[[X]]$ induziert wird.

In $C(G)=G(Xk[[X]])$ wird die Operation von $V_n\in \text{Cart}(k)$ von $X\mapsto X^n$ induziert, die Operation von $⟨r⟩$ von $X\mapsto rX$. Für $F_n$ betrachte wieder eine formale $n$-te Einheitswurzel $\zeta$ und bilde in $G$ die Summe der Kurven, die man durch $X\mapsto {\zeta }^i{X}^{1/n}$ für $i=0,1,\dots ,n-1$ erhält. Für $G={\widehat{𝔾}}_m$ ist eine Kurve durch das Bild $f\in Xk[[X]]$ der Koordinate bestimmt. Identifiziert man $1+f$ mit dem entsprechenden Element in $\mathrm{\Lambda }(k)$, stimmen die Wirkungen von $F_n,V_n,⟨r⟩$ mit den oben definierten überein (ohne Vertauschung von $F_n$ und $V_n$).

Sowohl $\text{Cart}(k)$ als auch $C(G)$ tragen natürliche Topologien. Der Hauptsatz der Cartier-Theorie besagt, dass $C$ eine Äquivalenz zwischen einer Kategorie formaler Gruppen über $k$ und einer Kategorie topologischer $\text{Cart}(k)$-Moduln induziert. Der inverse Funktor ordnet einem $\text{Cart}(k)$-Modul $M$ ein geeignet konstruiertes Tensorprodukt $\hat{W}{\otimes }_{\text{Cart}(k)}M$ zu.

Sei $p$ eine Primzahl und $k$ eine ${\mathbb{Z}}_{(p)}$-Algebra, d. h. jede Primzahl $\ne p$ ist in $k$ invertierbar. Dann ist ${ϵ}_p=\sum _{p\nmid n}\frac{\mu (n)}{n}{V}_n{F}_n$ ein Idempotent in $\text{Cart}(k)$, setze ${\text{Cart}}_p(k)={ϵ}_p\text{Cart}(k){ϵ}_p$. Für einen $\text{Cart}(k)$-Modul $M$ ist ${ϵ}_{p}M\subseteq M$ die Untergruppe der Elemente $m\in M$ mit $F_{n}m=0$ für alle $p\nmid n$. Solche Elemente heißen $p$-typisch.

Für eine formale Gruppe $G$ sei $C_p(G)={ϵ}_{p}C(G)\cong \text{Hom}({\hat{W}}_p,G)$ die Gruppe der $p$-typischen Kurven (dabei ${\hat{W}}_p$ die formale Gruppe zu den $p$-typischen Wittvektoren $W_p$, analog zu $\hat{W}$). Dann induziert $C_p$ eine Äquivalenz zwischen der Kategorie formaler Gruppen über $k$ wie oben und einer Kategorie topologischer ${\text{Cart}}_p(k)$-Moduln. Der inverse Funktor ist wie vorher ein Tensorprodukt ${\hat{W}}_p{\otimes }_{{\text{Cart}}_p(k)}M$.

Für einen perfekten Körper $k$ der Charakteristik $p$ kann der Dieudonné-Ring $D_k$ mit einem dichten Unterring in ${\text{Cart}}_p(k)$ identifiziert werden. Unter geeigneten Voraussetzungen ist der Dieudonné-Modul dual zum Modul der $p$-typischen Kurven, ${\text{Hom}}_{W_p(k)}(M(G),W_p(k))\cong C_p(G)$.

Verallgemeinerungen

• Colette Schoeller hat Teile der $p$-typischen Theorie, nämlich die Konstruktion des Cohen-Rings und der Klassifikation der unipotenten Gruppen, auf nicht perfekte Körper ausgedehnt.
• Andreas Dress und Christian Siebeneicher haben die Konstruktion eines Rings $W_G(A)$ aus einer proendlichen Gruppe $G$ und einem Ring $A$ angegeben, so dass $W_G(\mathbb{Z})$ isomorph zum komplettierten Burnside-Ring von $G$ ist. Für $G={\mathbb{Z}}_p$ ergibt sich $W_p(A)$, für $G=\hat{\mathbb{Z}}$ ergibt sich $W(A)$.

Literatur

Lehrbücher und Übersichtsartikel

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Weiterführende Themen

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Weblinks

• Witt vector. In: I.V. Dolgachev (originator): Encyclopedia of Mathematics.