Kummer-Theorie

Im mathematischen Teilgebiet der Körpertheorie beschreibt die Kummer-Theorie bestimmte Körpererweiterungen, die man durch Adjunktion $n$-ter Wurzeln von Elementen des Grundkörpers erhält. Ursprünglich wurde die Theorie von Ernst Eduard Kummer bei seiner Beschäftigung mit der fermatschen Vermutung in den 1840er-Jahren entwickelt.

Die Hauptaussagen der Theorie hängen nicht vom speziellen Grundkörper ab, nur darf dessen Charakteristik kein Teiler von $n$ sein. Eine grundlegende Rolle spielt die Kummer-Theorie in der Klassenkörpertheorie, allgemein ist sie zum Verständnis abelscher Erweiterungen wichtig; sie besagt, dass zyklische Erweiterungen durch Wurzelziehen gewonnen werden können, sofern der Grundkörper genügend Einheitswurzeln enthält.

Kummererweiterungen

Definition

Sei $n>1$ eine natürliche Zahl. Eine Kummer-Erweiterung ist eine Körpererweiterung $L/K$, für die gilt:

• $K$ enthält $n$ verschiedene $n$-te Einheitswurzeln, also die Nullstellen des Polynoms $X^n-1$.
• $L/K$ hat eine abelsche Galoisgruppe vom Exponenten $n$. Letzteres bedeutet, dass für alle Elemente $\sigma$ der Galoisgruppe ${\sigma }^n=\mathrm{Id}$ gilt und $n$ minimal mit dieser Eigenschaft ist.

Beispiele

• Ist $n=2$, so ist die erste Bedingung immer erfüllt, falls $K$ nicht die Charakteristik 2 hat, die beiden Einheitswurzeln sind 1 und −1. Kummer-Erweiterungen sind in diesem Fall zunächst quadratische Erweiterungen $L=K(\sqrt{a})$, wobei $a$ ein nichtquadratisches Element von $K$ ist. Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen zeigt, dass jede Erweiterung vom Grad 2 diese Gestalt besitzt. Ebenfalls Kummer-Erweiterungen für $n=2$ sind biquadratische (durch Adjunktion zweier Quadratwurzeln) und allgemeiner multiquatratische (durch Adjunktion mehrerer Quadratwurzeln) Erweiterungen. Hat $K$ die Charakteristik 2, gibt es keine Kummer-Erweiterungen, da in Charakteristik 2 die Gleichung $-1=1$ gilt, es also keine zwei verschiedenen Einheitswurzeln gibt.

• Für $n=3$ gibt es keine Kummer-Erweiterungen der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$, da nicht alle drei dritten Einheitswurzeln rational sind. Sei $a$ eine beliebige rationale Zahl, die keine dritte Potenz ist, und $L$ der Zerfällungskörper von $X^3-a$ über $\mathbb{Q}$. Sind $\alpha$ und $\beta$ Nullstellen dieses kubischen Polynoms, so gilt $(\alpha /\beta {)}^3={\alpha }^3/{\beta }^3=a/a=1$. Da das kubische Polynom ferner separabel ist, hat es drei verschiedene Nullstellen. Damit liegen auch die beiden nichttrivialen dritten Einheitswurzeln, nämlich $\alpha /\beta$ und $\beta /\alpha$, in $L$, sodass $L$ einen Unterkörper $K$ besitzt, der die drei Einheitswurzeln enthält. Dann ist $L/K$ eine Kummer-Erweiterung.

• Enthält $K$ allgemeiner $n$ verschiedene $n$-te Einheitswurzeln, woraus bereits folgt, dass die Charakteristik von $K$ kein Teiler von $n$ ist, so erhält man durch Adjunktion einer $n$-ten Wurzel eines Elements $a$ von $K$ zum Körper $K$ eine Kummer-Erweiterung. Ihr Grad $m$ ist dabei ein Teiler von $n$. Als Zerfällungskörper des Polynoms $X^n-a$ ist die Kummer-Erweiterung automatisch galoissch mit zyklischer Galoisgruppe der Ordnung $m$.

Kummer-Theorie

Die Kummer-Theorie macht Aussagen der umgekehrten Richtung. Ist $K$ ein Körper, der $n$ verschiedene $n$-te Einheitswurzeln enthält, so besagt sie, dass jede zyklische Erweiterung von $K$ vom Grad $n$ durch das Ziehen einer $n$-ten Wurzel gewonnen werden kann. Bezeichnet man mit $K^{\times }$ die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen Elemente des Körpers $K$, so stehen die zyklischen Erweiterungen von $K$ vom Grad $n$, die in einem fest gewählten algebraischen Abschluss liegen, in Bijektion mit den zyklischen Untergruppen von $K^{\times }/(K^{\times }{)}^n$, also der Faktorgruppe von $K^{\times }$ nach den $n$-ten Potenzen.

Die Bijektion kann explizit angegeben werden: Einer zyklischen Untergruppe $\mathrm{\Delta }\subseteq K^{\times }/(K^{\times }{)}^n$ wird die Erweiterung $K({\mathrm{\Delta }}^{1/n})$ zugeordnet, die durch Adjunktion aller $n$-ten Wurzeln von Elementen aus $\mathrm{\Delta }$ zu $K$ entsteht.

Umgekehrt ordnet man der Kummererweiterung $L/K$ die Untergruppe $\mathrm{\Delta }=K^{\times }\cap (L^{\times }{)}^n$ zu.

Ordnet diese Bijektion die Gruppe $\mathrm{\Delta }$ und die Körpererweiterung $L/K$ einander zu, so gibt es einen Isomorphismus $\mathrm{\Delta }\cong \mathrm{Hom}(\mathrm{Gal}(L/K),{\mu }_n)$, der gegeben ist durch $a\mapsto (\sigma \mapsto \frac{\sigma (\alpha )}{\alpha })$. Dabei steht ${\mu }_n$ für die Gruppe der $n$-ten Einheitswurzeln und $\alpha$ für eine beliebige $n$-te Wurzel von $a\in \mathrm{\Delta }$.

Verallgemeinerungen

Die oben angegebene Korrespondenz setzt sich fort zu einer Bijektion zwischen Untergruppen $\mathrm{\Delta }\subseteq K^{\times }/(K^{\times }{)}^n$ und abelschen Erweiterungen vom Exponenten $n$. Diese allgemeine Fassung wurde erstmals von Ernst Witt angegeben.

In Charakteristik $p>0$ gibt es eine analoge Theorie für zyklische Erweiterungen vom Grad $p$, die Artin-Schreier-Theorie. Eine Verallgemeinerung für abelsche Erweiterungen vom Exponenten $p^n$ stammt ebenfalls von Witt. Sie verwendet die in derselben Arbeit eingeführten Wittvektoren.

Quellen

• Jürgen Neukirch: Klassenkörpertheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1986.
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