Galoiskohomologie

Unter Galoiskohomologie versteht man im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie das Studium der Gruppenkohomologie von Galoisgruppen.

Ist L|K eine Körpererweiterung und A ein Galoismodul, also ein Modul unter der Galoisgruppe Gal(L|K), so schreibt man

$H^{\ast }(L|K,A)=H^{\ast }(\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(L|K),A)$ (zur Notation siehe den Artikel Gruppenkohomologie)

Ist speziell L = K^sep ein separabler Abschluss von K, so schreibt man auch

$H^{\ast }(K,A)=H^{\ast }(G_K,A)=H^{\ast }(\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(K^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{p}}|K),A).$

Eines der ersten Resultate der Galoiskohomologie ist Hilberts Satz 90, der besagt:

$H^1(K,(K^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{p}}{)}^{\times })=0$.

Vor allem in der Klassenkörpertheorie ist die Beziehung zwischen Galoiskohomologie und Brauergruppe wichtig:

$H^2(K,(K^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{p}}{)}^{\times })=\mathrm{B}\mathrm{r}(K)$.

Literatur

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