Absolute Galoisgruppe

Die absolute Galoisgruppe $G_K$ eines Körpers $K$ ist die Galoisgruppe, welche zum separablen Abschluss $K^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{p}}/K$ gehört. Sie ist eindeutig bis auf Isomorphie. Im Allgemeinen ist die Körpererweiterung $K^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{p}}/K$ von unendlichem Grad, weshalb der Hauptsatz der Galoistheorie als solcher nicht mehr anwendbar ist. Das Studium von $G_K$ verspricht Information über sämtliche endlichen galoisschen Körpererweiterungen $L/K$, insbesondere Hinweise zur Lösung des Umkehrproblems der Galoistheorie.

Beispiele

• Für einen perfekten Körper $K$ ist der separable Abschluss gleich dem algebraischen Abschluss, also $K^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{p}}=\bar{K}$.
  • Wegen $\overline{ℝ}=ℂ$ ist $G_{ℝ}=\{\mathrm{i}\mathrm{d},c\}$, wobei $c$ die komplexe Konjugation bezeichnet.
  • Für $K=\mathbb{Q}$ wurde bisher keine explizite Charakterisierung von $G_K$ gefunden. Man erhofft sich Aussagen aus dem Satz von Belyi, nach dem $G_K$ treu auf bestimmten Graphen, den sogenannten dessins d' enfants, operiert. Die Absolute Galoisgruppe über den rationalen Zahlen ist wichtig in der Zahlentheorie und Gegenstand der inzwischen bewiesenen Serre-Vermutung.
  • Wenn ${𝔽}_q$ der Körper mit $q$ Elementen ist, gilt $G_{{𝔽}_q}=\underset{⟵}{\lim }\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=:\hat{\mathbb{Z}}$, wobei auf der rechten Seite der projektive Limes von $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}(n\in \mathbb{N})$, die Gruppe der proendlichen Zahlen, steht.

Literatur

• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer-Verlag.