Algebraische Gruppe

Der mathematische Begriff der algebraischen Gruppe stellt die Synthese aus Gruppentheorie und algebraischer Geometrie dar. Ein zentrales Beispiel ist die Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen.

Definition

Eine algebraische Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der algebraischen Varietäten über einem festen Körper $k$, d. h. eine algebraische Varietät $G$ über $k$ zusammen mit

• einem Morphismus $m:G\times G\to G$ (Multiplikation)
• einem Morphismus $i:G\to G$ (inverses Element)
• und einem ausgezeichneten Punkt $e\in G(k)$ (neutrales Element),

so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

• Assoziativgesetz: $m\circ (m\times {\mathrm{i}\mathrm{d}}_G)=m\circ ({\mathrm{i}\mathrm{d}}_G\times m)$;
• neutrales Element: $m\circ ({\mathrm{i}\mathrm{d}}_G\times e)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_G=m\circ (e\times {\mathrm{i}\mathrm{d}}_G)$;
• inverses Element: $m\circ (i\times {\mathrm{i}\mathrm{d}}_G)\circ {\mathrm{\Delta }}_G=e\circ \xi =m\circ ({\mathrm{i}\mathrm{d}}_G\times i)\circ {\mathrm{\Delta }}_G$; dabei ist ${\mathrm{\Delta }}_G:G\to G\times G$ die Inklusion der Diagonale ($g\mapsto (g,g)$) und $\xi :G\to \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(k)$ der Strukturmorphismus.

Diese Bedingungen sind äquivalent zu der Forderung, dass $(m,i,e)$ für jedes $k$-Schema $T$ auf der Menge $G(T)$ der $T$-wertigen Punkte die Struktur einer (gewöhnlichen) Gruppe definieren.

Beispiele

• Die additive Gruppe ${𝔾}_{\mathrm{a}}$: ${𝔾}_{\mathrm{a}}(T)=\mathrm{\Gamma }(T,{𝒪}_T)$ mit der Addition als Gruppenstruktur. Insbesondere für $T=k$ ist ${𝔾}_{\mathrm{a}}(k)=(k,+)$ die affine Gerade ${𝔸}^1(k)$ mit der Addition.
• Die multiplikative Gruppe ${𝔾}_{\mathrm{m}}$: ${𝔾}_{\mathrm{m}}(T)=\mathrm{\Gamma }(T,{𝒪}_T^{\times })$ mit der Multiplikation als Gruppenstruktur. Insbesondere für $T=k$ ist ${𝔾}_{\mathrm{m}}(k)=(k^{\times },\cdot )$ die offene Teilmenge ${𝔸}^1(k)\setminus \left\{0\right\}$ mit der Multiplikation.
• Die allgemeine lineare Gruppe ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n$: ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(T)={\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathrm{\Gamma }(T,{𝒪}_T))$; dabei bezeichnet die rechte Seite die Gruppe der invertierbaren $n\times n$-Matrizen mit Einträgen im Ring $\mathrm{\Gamma }(T,{𝒪}_T)$. ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_1$ kann mit ${𝔾}_{\mathrm{m}}$ identifiziert werden.
• Der Kern eines Morphismus $f:G\to H$ algebraischer Gruppen ist wieder eine algebraische Gruppe. Zum Beispiel ist ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_n(T)=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}:{\mathrm{G}\mathrm{L}}_n\to {𝔾}_{\mathrm{m}})$ eine algebraische Gruppe.
• Elliptische Kurven oder allgemeiner abelsche Varietäten.
• Zariski-abgeschlossene Untergruppen algebraischer Gruppen sind wieder algebraische Gruppen. Zariski-abgeschlossene Untergruppen von ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n$ werden als lineare algebraische Gruppen bezeichnet. Wenn eine algebraische Gruppe eine affine Varietät ist, dann ist sie eine lineare algebraische Gruppe.
• Unipotente algebraische Gruppen.

Satz von Chevalley

Jede algebraische Gruppe über einem perfekten Körper ist auf eindeutige Weise eine Erweiterung einer abelschen Varietät durch eine lineare algebraische Gruppe. Das heißt, zu jeder algebraischen Gruppe $G$ gibt es eine maximale lineare algebraische Untergruppe $G_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}}$, diese ist normal und der Quotient $A(G):=G/G_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}}$ ist eine abelsche Varietät:

$0\to G_{\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}}\to G\to A(G)\to 0$.

Die Abbildung $G\to A(G)$ ist die Albanese-Abbildung.

Literatur

• James E. Humphreys: Linear Algebraic Groups. Springer, New York 1975, ISBN 3-540-90108-6.
• Armand Borel: Linear Algebraic Groups. 2. Auflage, Springer, New York 1991, ISBN 3-540-97370-2.
• Tonny A. Springer: Linear Algebraic Groups. 2. Auflage, Birkhäuser, Boston 1998, ISBN 3-7643-4021-5.
• Ina Kersten: Lineare algebraische Gruppen. Universitätsverlag Göttingen, 2007, (PDF; 1,4 MB).

Weblinks

• Algebraic Groups von James S. Milne