Wedge-Produkt (Topologie)

Wedge-Produkt zweier Kreise

Mit dem Wedge-Produkt (nach wedge engl. Keil; auch Einpunktvereinigung oder Bouquet genannt) $X\vee Y$ zweier punktierter topologischer Räume $X$ und $Y$ bezeichnet man ihre disjunkte Vereinigung, die an einem Punkt (dem Basispunkt) verklebt ist. Formal ist die Definition wie folgt:

$X\vee Y=(X⨿Y)/(pt⨿pt)$

Hierbei bezeichnet $pt$ den jeweiligen Basispunkt.

Die Konstruktion kann man auch auf eine beliebige Menge von Räumen verallgemeinern:

$\underset{i\in I}{\bigvee }{X}_i=\left(\coprod _{i\in I}{X}_i\right)/\left(\coprod _{i\in I}p{t}_i\right)$

Abstrakter kann man das Wedge-Produkt als das Koprodukt in der Kategorie der punktierten topologischen Räume auffassen.

Rolle in der algebraischen Topologie

Das Wedge-Produkt verhält sich gut bezüglich einiger Funktoren in der algebraischen Topologie. Zum Beispiel gilt für die Fundamentalgruppe für lokal kontrahierbare Räume $X_i$

${\pi }_1\left(\underset{i\in I}{\bigvee }{X}_i\right)={*}_{i\in I}{\pi }_1(X_i),$

wobei $*$ das freie Produkt der Gruppen bezeichnet.

In der singulären Homologie gilt:

$H_n(\underset{i\in I}{\bigvee }{X}_i,pt)=\underset{i\in I}{⨁}{H}_n(X_i,pt)$

Man kann das Wedge-Produkt $X\vee Y$ auf naheliegende Weise in das Produkt $X\times Y$ einbetten, der Quotient

$X\wedge Y:=X\times Y/X\vee Y$

ist das Smash-Produkt.

Insbesondere ist $\mathrm{\Sigma }X:=S^1\wedge X$ die reduzierte Einhängung, von Bedeutung in der stabilen Homotopietheorie.

Das Wedge-Produkt wird auch in der Definition der Verknüpfung in den Homotopiegruppen verwendet.

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press 2002