Virtuelle Eigenschaft

In der Mathematik sagt man, dass eine Gruppe eine Eigenschaft virtuell hat, wenn diese Eigenschaft auf eine Untergruppe von endlichem Index zutrifft. Man spricht beispielsweise von virtuell abelschen, virtuell nilpotenten oder virtuell zyklischen Gruppen.

Ein prominentes Beispiel einer virtuellen Eigenschaft ist die 2012 von Ian Agol bewiesene Virtuell-Haken-Vermutung, wofür er 2016 den mit 3 Millionen Dollar dotierten Breakthrough Prize in Mathematics erhielt.

Definition

Es sei P eine Eigenschaft von Gruppen. Dann sagt man, dass eine Gruppe virtuell P ist, wenn sie eine Untergruppe von endlichem Index besitzt, die die Eigenschaft P hat.

Über die Korrespondenz zwischen Überlagerungen und Untergruppen der Fundamentalgruppe lässt sich diese Sprechweise auch auf Mannigfaltigkeiten übertragen: Man sagt, eine Mannigfaltigkeit ist virtuell P, wenn es eine endliche Überlagerung mit Eigenschaft P gibt.

Beispiele

• Eine Gruppe ist genau dann virtuell zyklisch, wenn sie einen zyklischen Normalteiler von endlichem Index hat.
• Jede virtuell zyklische Gruppe hat endlichen Normalteiler $N$ mit $G/N$ isomorph zu entweder $1,\mathbb{Z}$ oder $D_{\mathrm{\infty }}$.
• Semidirekte Produkte aus einer endlichen und einer abelschen Gruppe (oder umgekehrt) sind virtuell abelsch. Beispielsweise verallgemeinerte dihedrale Gruppen sind virtuell abelsch.
• Semidirekte Produkte aus einer endlichen und einer nilpotenten Gruppe (oder umgekehrt) sind virtuell nilpotent.
• Satz von Gromow: Eine Gruppe ist genau dann virtuell nilpotent, wenn sie polynomielles Wachstum hat.
• Freie Produkte endlicher Gruppen sind virtuell frei. Beispielsweise die Modulgruppe $PSL(2,\mathbb{Z})$ ist virtuell frei.
• Satz von Agol: Jede kompakte, orientierbare, irreduzible 3-Mannigfaltigkeit ist virtuell Haken, virtuell gefasert und hat virtuell positive erste Betti-Zahl.

Literatur

• John Stallings: Groups of dimension 1 are locally free. Bull. Amer. Math. Soc. 74 1968 361–364.
• Michael Gromow: Groups of polynomial growth and expanding maps. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 53 (1981), 53–73.
• Thomas Farrell, Lowell Jones: The lower algebraic K-theory of virtually infinite cyclic groups. K-Theory 9 (1995), no. 1, 13–30.
• Daniel Juan-Pineda, Ian Leary: On classifying spaces for the family of virtually cyclic subgroups. Recent developments in algebraic topology, 135–145, Contemp. Math., 407, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006.
• Wolfgang Lück: Survey on classifying spaces for families of subgroups. Infinite groups: geometric, combinatorial and dynamical aspects, 269–322, Progr. Math., 248, Birkhäuser, Basel, 2005.
• Ian Agol: The virtual Haken conjecture. With an appendix by Agol, Daniel Groves, and Jason Manning. Doc. Math. 18 (2013), 1045–1087.

Weblinks

• Ian Agol: Virtual Properties of 3-Manifolds
• planetmath: virtually cyclic group