Typ-III-Von-Neumann-Algebra

Typ-III-Von-Neumann-Algebren sind spezielle in der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren betrachtete Algebren. Es handelt sich um den dritten von drei Typen der Typklassifikation von Von-Neumann-Algebren. Diese lassen sich nach einem Satz von M. Takesaki aus Typ-II-Von-Neumann-Algebren konstruieren.

Definitionen

Eine Projektion in einer Von-Neumann-Algebra $A$ ist ein selbstadjungiertes idempotentes Element $e$, das heißt, es gilt $e=e^{*}=e^2$. Eine solche Projektion heißt endlich, falls aus $e=v^{*}v$ und $v{v}^{*}\le e$ stets $v{v}^{*}=e$ folgt. Eine Von-Neumann-Algebra heißt vom Typ III, falls sie keine von 0 verschiedenen endlichen Projektionen besitzt.

Beispiele

Im Artikel zu den W*-dynamischen Systemen ist eine Konstruktion beschrieben, die zu Typ III Von-Neumann-Algebren führt. Die unten beschriebene Connes-Klassifikation der Typ III Faktoren liefert weitere Beispiele.

Satz von Takesaki

Der Satz von Takesaki führt die Typ-III-Von-Neumann-Algebren auf Typ-II_∞-Algebren zurück:

Zu jeder Typ-III-Von-Neumann-Algebra $A$ gibt es W*-dynamisches System $(A_1,ℝ,\alpha )$, wobei $A_1$ eine Typ-II_∞-Algebra ist, so dass $A\cong A_1{⋉}_{\alpha }ℝ$.

Dazu verwendet man das W*-dynamische System $(A,ℝ,\sigma )$, das sich aus der Tomita-Takesaki-Theorie ergibt, und bildet die Typ-II_∞-Algebra $A_1:=A{⋉}_{\sigma }ℝ$. Mit dem dualen W*-dynamischen System $(A_1,ℝ,\hat{\sigma })$ folgt dann

$A_1{⋉}_{\hat{\sigma }}ℝ=(A{⋉}_{\sigma }ℝ){⋉}_{\hat{\sigma }}ℝ\cong A\otimes L(L^2(ℝ))$     wegen Dualität

$\cong A$,     da $A$ eine Typ-III-Von-Neumann-Algebra ist.

Connes-Klassifikation von Typ-III-Faktoren

Zu einem Typ-III-Faktor, das heißt zu einer Typ-III-Von-Neumann-Algebra mit Zentrum $ℂ\cdot 1$, konstruieren wir eine isomorphieinvariante Zahl $\lambda \in [0,1]$, die dann zum Begriff des Typ-III_λ-Faktors führt.

Sei $\phi$ ein normaler Zustand auf der Von-Neumann-Algebra $A$. Dann gibt es eine kleinste Projektion $p\in A$ mit $\phi (p)=1$. Dann ist $pAp$ eine Von-Neumann-Algebra und die Einschränkung von $\phi$ ist ein treuer, normaler Zustand, auf den die Tomita-Takesaki-Theorie angewendet werden kann, das heißt, es gibt einen modularen Operator ${\mathrm{\Delta }}_{\phi }$. Da dieser ein positiver Operator ist, liegt dessen Spektrum $\sigma ({\mathrm{\Delta }}_{\phi })$ in ${ℝ}_0^{+}$. Man definiert

$S(A):=\bigcap \{\sigma ({\mathrm{\Delta }}_{\phi });\phi \text{ normaler Zustand auf }A\}\subset {ℝ}_0^{+}$.

Man kann zeigen, dass 0 genau dann in $S(A)$ liegt, wenn $A$ vom Typ III ist, anderenfalls gilt $S(A)=\{1\}$. Für σ-endliche Faktoren liegt genau einer der folgenden drei Fälle vor:

• $S(A)\setminus \{0\}=\{1\}$
• $S(A)\setminus \{0\}=\{{\lambda }^n;n\in \mathbb{Z}\}$ für ein $0<\lambda <1$
• $S(A)\setminus \{0\}={ℝ}^{+}$

Im ersten Fall nennt man $A$ einen Typ-III₀-Faktor, im zweiten Fall einen Typ-III_λ-Faktor und im dritten Fall einen Typ-III₁-Faktor. Dies ist die Connes-Klassifikation der Typ-III-Faktoren.

Sind $\lambda ,\mu \in [0,1]$ verschieden, so ist ein Typ-III_λ-Faktor nicht isomorph zu einem Typ-III_µ-Faktor, denn die Menge $S(A)$ ist eine Isomorphie-Invariante. Es gibt also ein Kontinuum von paarweise nicht isomorphen Typ-III-Faktoren.

Wir wollen kurz die Existenz der Typ-III_λ-Faktoren besprechen. Dazu konstruieren wir einen Zustand ${\phi }_{\mu }$ auf der CAR-Algebra. Zu einem $\mu \in [0,1]$ kann man rekursiv Zustände ${\phi }_{\mu }^{(n)}:M_{2^n}\to ℂ$ definieren, wobei

• ${\phi }_{\mu }^{(0)}:M_{2^0}\cong ℂ\to ℂ$ die identische Abbildung sei und
• ${\phi }_{\mu }^{(n)}(x)=\mu {\phi }_{\mu }^{(n-1)}(x_{1,1})+(1-\mu ){\phi }_{\mu }^{(n-1)}(x_{2,2})$ für jedes $n>0$, wobei $x=(x_{i,j})$ als $2\times 2$-Matrix mit Elementen aus $M_{2^{n-1}}$ geschrieben ist.

Dann ist die Einschränkung von ${\phi }_{\mu }^{(n)}$ auf $M_{2^{n-1}}$ gleich ${\phi }_{\mu }^{(n-1)}$, denn gemäß der Einbettung

$M_{2^{n-1}}\ni x\mapsto \left(\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& x\end{array}\right)\in M_{2^n}$

ist

$({\phi }_{\mu }^{(n)}{|}_{M_{2^{n-1}}})(x)={\phi }_{\mu }^{(n)}(\left(\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& x\end{array}\right))=\mu {\phi }_{\mu }^{(n-1)}(x)+(1-\mu ){\phi }_{\mu }^{(n-1)}(x)={\phi }_{\mu }^{(n-1)}(x)$.

Daher gibt es auf der CAR-Algebra einen eindeutigen Zustand ${\phi }_{\mu }$, der auf allen $M_{2^n}$ mit ${\phi }_{\mu }^{(n)}$ übereinstimmt. Zum Zustand ${\phi }_{\mu }$ gehört mittels GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung ${\pi }_{\mu }:A\to L(H_{\mu })$ auf einem Hilbertraum $H_{\mu }$. Für $0<\mu <\frac{1}{2}$ ist das Bild ${\pi }_{\mu }(A)\subset L(H_{\mu })$ eine C*-Algebra, deren Abschluss in der schwachen Operatortopologie ein Faktor vom Typ III_λ ist, wobei $\lambda =\frac{\mu }{1-\mu }$.

Siehe auch

• Typ-I-Von-Neumann-Algebra
• Typ-II-Von-Neumann-Algebra