CAR-Algebra

Die CAR-Algebra ist eine im mathematischen Gebiet der Funktionalanalysis betrachtete Algebra. Es handelt sich um eine C*-Algebra, die eng mit den in der Quantenmechanik untersuchten kanonischen Antivertauschungsrelationen (engl. canonical anticommutation relation, daher der Name CAR) verbunden ist und daher auch Fermionenalgebra genannt wird.

Konstruktion

Bezeichnet $M_n$ die C*-Algebra der komplexen $n\times n$-Matrizen, so kann man $M_{2^n}$ vermöge des isometrischen *-Homomorphismus

als Unteralgebra von $M_{2^{n+1}}$ auffassen. Auf der Vereinigung aller so ineinander liegenden Matrizenalgebren hat man dann eine Norm, die jede der C*-Normen auf $M_{2^n}$ fortsetzt und daher bis auf die Vollständigkeit alle Eigenschaften einer C*-Norm hat. Die Vervollständigung ist dann eine C*-Algebra, die man die CAR-Algebra nennt.

Kanonische Antivertauschungsrelationen

Es seien $H$ ein separabler Hilbertraum und $\alpha :H\to L(H)$ eine lineare Abbildung in die C*-Algebra $L(H)$ der stetigen, linearen Operatoren auf $H$ mit folgenden Eigenschaften:

für alle Vektoren $x,y\in H$.

Man sagt, $\alpha$ erfülle die kanonischen Antivertauschungsrelationen; diese werden von den in der Quantenmechanik betrachteten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Fermionen erfüllt. Solche Abbildungen $\alpha$ lassen sich beispielsweise auf dem Fockraum realisieren. Die Isomorphieklasse der von den Operatoren $\alpha (x)$ erzeugten C*-Algebra erweist sich als unabhängig von der speziellen Auswahl der Abbildung $\alpha$, denn es gilt:

• Die von allen Operatoren $\alpha (x),x\in H$ erzeugte C*-Algebra ist isomorph zur CAR-Algebra.

Ist $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Orthonormalbasis von $H$, so kann die Einbettung $C^{*}(\alpha (x_1),\dots ,\alpha (x_n))\subset C^{*}(\alpha (x_1),\dots ,\alpha (x_{n+1}))$ mit obiger Einbettung $M_{2^n}\to M_{2^{n+1}}$ identifiziert werden ($C^{*}(\dots )$ steht hier für die von in den Klammern aufgelisteten Operatoren erzeugte C*-Algebra).

Als UHF-Algebra und AF-Algebra

Ihrer Konstruktion nach ist die CAR-Algebra eine UHF-Algebra, und zwar diejenige zur übernatürlichen Zahl $2^{\mathrm{\infty }}$ (siehe dazu den Artikel UHF-Algebra). Als UHF-Algebra ist sie auch eine AF-C*-Algebra und daher unter allen AF-C*-Algebren durch ihre geordnete skalierte $K_0$-Gruppe ausgezeichnet. Diese ist $\mathbb{Z}\left[\frac{1}{2}\right]$ mit der durch [0,1] gegebenen Skala. $\mathbb{Z}\left[\frac{1}{2}\right]$ steht dabei für die Menge aller rationalen Zahlen, deren Nenner eine Zweierpotenz ist.

Produktzustände und Typ III-Faktoren

Zu jedem $\lambda \in [0,1]$ kann man rekursiv Zustände ${\phi }_{\lambda }^{(n)}:M_{2^n}\to ℂ$ definieren, wobei

• ${\phi }_{\lambda }^{(0)}:M_{2^0}\cong ℂ\to ℂ$ die identische Abbildung sei und
• ${\phi }_{\lambda }^{(n)}(x)=\lambda {\phi }_{\lambda }^{(n-1)}(x_{1,1})+(1-\lambda ){\phi }_{\lambda }^{(n-1)}(x_{2,2})$ für jedes $n>0$, wobei $x=(x_{i,j})$ als $2\times 2$-Matrix mit Elementen aus $M_{2^{n-1}}$ geschrieben ist.

Dann ist die Einschränkung von ${\phi }_{\lambda }^{(n)}$ auf $M_{2^{n-1}}$ gleich ${\phi }_{\lambda }^{(n-1)}$, denn gemäß der hier betrachteten Einbettung von $M_{2^{n-1}}$ nach $M_{2^n}$ ist

$({\phi }_{\lambda }^{(n)}{|}_{M_{2^{n-1}}})(x)={\phi }_{\lambda }^{(n)}\left(\left(\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& x\end{array}\right)\right)=\lambda {\phi }_{\lambda }^{(n-1)}(x)+(1-\lambda ){\phi }_{\lambda }^{(n-1)}(x)={\phi }_{\lambda }^{(n-1)}(x)$.

Daher gibt es auf der CAR-Algebra einen eindeutigen Zustand ${\phi }_{\lambda }$, der auf allen $M_{2^n}$ mit ${\phi }_{\lambda }^{(n)}$ übereinstimmt. Dieser heißt der zu $\lambda$ gehörige Produktzustand. Die Bezeichnung Produktzustand rührt daher, dass man ihn auch über Tensorprodukt-Konstruktionen gewinnen kann, was hier aber nicht ausgeführt wird. Nach J. Glimm lassen sich mittels dieser Zustände wie folgt Faktoren vom Typ III konstruieren.

Zum Zustand ${\phi }_{\lambda }$ gehört mittels GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung ${\pi }_{\lambda }:A\to L(H_{\lambda })$ auf einem Hilbertraum $H_{\lambda }$. Für $0<\lambda <\frac{1}{2}$ ist das Bild ${\pi }_{\lambda }(A)\subset L(H_{\lambda })$ eine C*-Algebra, deren Abschluss in der schwachen Operatortopologie ein Faktor vom Typ III ist. Je zwei solche Faktoren zu verschiedenen Zahlen aus dem offenen Intervall $(0,\frac{1}{2})$ sind nicht isomorph.

GICAR-Algebra

Sei $\alpha :H\to L(H)$ eine Abbildung, die den oben definierten kanonischen Antivertauschungsrelationen genügt. Ist $\mu \in ℂ$ mit $|\mu |=1$, so erfüllt auch $\beta :H\to L(H),x\mapsto \alpha (\mu x)$ die kanonischen Antivertauschungsrelationen, wie man leicht nachrechnen kann. Da die von den $\alpha (x)$ bzw. von den $\beta (x)$ erzeugte C*-Algebra, wobei $x$ den Hilbertraum durchläuft, in beiden Fällen die CAR-Algebra $A$ ist, kann man zeigen, dass man einen Automorphismus ${\sigma }_{\mu }:A\to A$ erhält, den man Eichautomorphismus nennt.

Die C*-Unteralgebra derjenigen Elemente von $A$, die unter allen Eichautomorphismen ${\sigma }_{\mu },|\mu |=1$ invariant sind, heißt GICAR-Algebra. Dabei steht GI für gauge-invariant (deutsch: eich-invariant). Man kann zeigen, dass die GICAR-Algebra eine AF-C*-Algebra ist. Während die CAR-Algebra einfach ist, das heißt, sie hat keine nicht-trivialen zweiseitigen Ideale, hat die GICAR-Algebra eine reiche Idealstruktur, die man an ihrem Bratteli-Diagramm ablesen kann. Dieses hat die Form des Pascalschen Dreiecks: