Typ-I-Von-Neumann-Algebra

Typ-I-Von-Neumann-Algebren sind spezielle in der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren betrachtete Algebren. Es handelt sich um den ersten von drei Typen der Typklassifikation von Von-Neumann-Algebren. Typ-I-Von-Neumann-Algebren nennt man auch diskret.

Definitionen

Eine Projektion in einer Von-Neumann-Algebra $A$ ist selbstadjungiertes idempotentes Element $e$ , das heißt, es gilt $e = e^{*} = e^{2}$ . Eine solche Projektion heißt abelsch, falls die Algebra $e A e \subset A$ kommutativ ist. Eine Von-Neumann-Algebra heißt vom Typ I (lies: Typ eins), falls sie eine abelsche Projektion $e$ besitzt, so dass das Einselement die kleinste Projektion aus dem Zentrum der Algebra ist, deren Produkt mit $e$ gleich $e$ ist. Sie heißt genauer vom Typ I_n, wenn das Einselement Summe von $n$ paarweise orthogonalen, äquivalenten abelschen Projektionen ist. Dabei heißen zwei Projektionen $e_{1}, e_{2}$ orthogonal, falls $e_{1} e_{2} = 0$ , und sie heißen äquivalent, falls es ein Element $v \in A$ gibt mit $e_{1} = v^{*} v, e_{2} = v v^{*}$ . Die Summe ist bei unendlichem $n$ im Sinne der starken Operatortopologie zu verstehen.^[1]

Beispiele

Abelsche Von-Neumann-Algebren sind vom Typ I, denn in diesem Fall ist das Einselement selbst eine abelsche Projektion.
Die Algebra $A = L (H)$ der stetigen linearen Operatoren über einem Hilbertraum $H$ ist vom Typ I_n, wobei $n$ die Dimension des Hilbertraums ist. Ist nämlich $(ξ_{i})_{i \in I}$ eine Orthogonalbasis und ist $e_{i}$ die Projektion auf den eindimensionalen Unterraum $ℂ ξ_{i}$ , so sind die $e_{i}$ abelsch, untereinander äquivalent und es ist $\sum_{i = I} e_{i} = 1$ .

Eigenschaften

Wir betrachten hier nur Von-Neumann-Algebren auf einem separablen Hilbertraum. Dann hat man für Typ-I_n-Algebren nur die Fälle $n = 1, 2, 3, \dots, \infty$ zu betrachten; anderenfalls müsste man für den unendlichen Fall noch nach Mächtigkeiten unterscheiden.

Jede Von-Neumann-Algebra $A$ vom Typ I zerfällt in eine direkte Summe

A = A p_{1} \oplus A p_{2} \oplus A p_{3} \oplus \dots \oplus A p_{\infty}

,

wobei

jedes $p_{n}$ ist eine Projektion aus dem Zentrum von $A$ (möglicherweise 0)
die $p_{n}$ sind paarweise orthogonal
$1 = p_{\infty} + p_{1} + p_{2} + p_{3} + \dots$ im Sinne der starken Operatortopologie.
$A p_{n} = p_{n} A p_{n}$ ist eine Von-Neumann-Algebra vom Typ I_n auf dem Hilbertraum $p_{n} (H)$ , falls $p_{n} = 0$ .

Jede Von-Neumann-Algebra $A$ vom Typ I_n ist isomorph zum Tensorprodukt $L (H) \overline{\otimes} c e n (A)$ , wobei $H$ ein n-dimensionaler Hilbertraum und $c e n (A)$ das Zentrum von $A$ ist.^[2]

Da die Zentren abelsche Von-Neumann-Algebren sind und diese bekannt sind, ist damit die Struktur der Typ-I-Von-Neumann-Algebren aufgedeckt; es handelt sich um direkte Summen von Tensorprodukten von Algebren $L (H)$ mit abelschen Von-Neumann-Algebren. Daraus ergibt sich leicht, dass jede endlich-dimensionale Von-Neumann-Algebra vom Typ I ist und isomorph zu einer endlichen direkten Summe von Matrixalgebren $L (ℂ^{n})$ ist.^[3]

Eine Von-Neumann-Algebra ist genau dann vom Typ I, wenn sie isomorph zu einer Von-Neumann-Algebra mit abelscher Kommutante ist.^[4]

Siehe auch

Einzelnachweise

↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Kapitel 5.5: Von Neumann Algebras of Type I
↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 6.6.5
↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 6.6.6
↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Theorem 5.5.11

[1] Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Kapitel 5.5: Von Neumann Algebras of Type I

[2] R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 6.6.5

[3] R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 6.6.6

[4] Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Theorem 5.5.11

[1]

[2]

[3]

[4]

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