Twist-Knoten (Mathematik)

Im mathematischen Gebiet der Knotentheorie ist ein Twist-Knoten ein durch wiederholtes Twisten eines Unknotens entstandener Knoten. Für jede Anzahl $n$ von Halb-Twists gibt es einen Twist-Knoten $T_n$. Die Twist-Knoten bilden also eine unendliche Familie von Knoten, neben den Torusknoten werden die Twist-Knoten als die einfachste Familie von Knoten angesehen.

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  Ein Halb-Twist
  (Kleeblattschlinge)
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  Zwei Halb-Twists
  (Achterknoten)
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  Drei Halb-Twists
  (5₂-Knoten)
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  Vier Halb-Twists
  (Stevedore-Knoten)
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  Fünf Halb-Twists
  (7₂-Knoten)
• 
  Sechs Halb-Twists
  (8₁-Knoten)

Twist-Knoten sind also die Whitehead-Doppel des Unknotens.

Eigenschaften

Der Stevedore-Knoten entsteht aus einem Unknoten mit vier Half-Twists durch Verschlingen der beiden Enden.

Alle Twist-Knoten haben Entknotungszahl $u(K)=1$, weil der Knoten (wie im Bild rechts) durch Entschlingen der beiden Enden entknotet werden kann.

Twist-Knoten sind spezielle 2-Brücken-Knoten.

Mit Ausnahme der Kleeblattschlinge sind alle Twist-Knoten hyperbolisch.

Nur der Unknoten und der Stevedore-Knoten sind Scheibenknoten.

Die Kreuzungszahl des Twist-Knotens $T_n$ ist $n+2$.

Alle Twist-Knoten sind invertierbar.

Nur der Unknoten und der Achterknoten sind amphichiral.

Die Knotengruppe von $T_n$ hat die Präsentierung $⟨a,b\mid a{w}^n=w^{n}b⟩$ mit $w=(b{a}^{-1}{b}^{-1}a{)}^{-1}$.

Invarianten

Das Alexander-Polynom des Twist-Knotens $T_n$ ist

$\mathrm{\Delta }(t)=\{\begin{array}{cc}\frac{n+1}{2}t-n+\frac{n+1}{2}{t}^{-1}& \text{wenn }n\text{ ungerade ist}\\ -\frac{n}{2}t+(n+1)-\frac{n}{2}{t}^{-1}& \text{wenn }n\text{ gerade ist,}\end{array}$

und das Conway-Polynom ist

$\mathrm{\nabla }(z)=\{\begin{array}{cc}\frac{n+1}{2}{z}^2+1& \text{wenn }n\text{ ungerade ist}\\ 1-\frac{n}{2}{z}^2& \text{wenn }n\text{ gerade ist.}\end{array}$

Für ungerade $n$ ist das Jones-Polynom

$V(q)=\frac{1+q^{-2}+q^{-n}-q^{-n-3}}{q+1},$

und für gerade $n$ ist es

$V(q)=\frac{q^3+q-q^{3-n}+q^{-n}}{q+1}.$

Literatur

Dale Rolfsen: Knots and links. Corrected reprint of the 1976 original. Mathematics Lecture Series, 7. Publish or Perish, Inc., Houston, TX, 1990, ISBN 0-914098-16-0

Weblinks

• Twist Knot (MathWorld)