Kreuzungszahl (Knotentheorie)

Die Kreuzungszahl oder Überkreuzungszahl eines Knotens oder einer Verschlingung ist eine elementare Invariante aus dem mathematischen Gebiet der Knotentheorie.

Die Kreuzungszahl $c r (K)$ eines Knotens (oder einer Verschlingung) $K$ ist definiert als die minimale Anzahl von Überkreuzungen in einem den Knoten (oder die Verschlingung) $K$ darstellenden Knotendiagramm.

In Knotentabellen werden Knoten üblicherweise nach ihrer Kreuzungszahl angeordnet und jeder Knoten wird durch zwei Zahlen $p_{q}$ bezeichnet, wobei $p$ die Kreuzungszahl des Knotens ist und $q$ die Knoten mit derselben Kreuzungszahl durchnummeriert. Zum Beispiel ist die Kleeblattschlinge $3_{1}$ der einzige Knoten mit Kreuzungszahl 3 und der Achterknoten $4_{1}$ der einzige Knoten mit Kreuzungszahl 4. Es gibt 1.701.936 Primknoten mit Kreuzungszahl $c r (K) \leq 16$ .

Im Allgemeinen ist die Kreuzungszahl eines Knotens schwierig zu berechnen. Wenn man aber für einen Knoten $K$ ein reduziertes alternierendes Diagramm findet, dann berechnet dessen Kreuzungszahl die Kreuzungszahl $c r (K)$ .^[1]

Explizit bekannt sind die Kreuzungszahlen folgender Knotenklassen:

Die Kreuzungszahl des $(p, q)$ -Torusknotens mit $p, q > 0$ ist $\min ((p - 1) q, (q - 1) p) .$
Die Kreuzungszahl des Twist-Knotens $T_{n}$ ist $n + 2$ .
Die Kreuzungszahl des 2-Brücken-Knotens mit Twist-Parametern $a_{1}, \dots, a_{n}$ ist $a_{1} + \dots + a_{n}$ .^[2]

Es ist eine offene Vermutung, dass die Kreuzungszahl additiv unter der zusammenhängenden Summe von Knoten ist. Bewiesen ist die Ungleichung $\frac{1}{152} (c r (K_{1}) + c r (K_{2})) \leq c r (K_{1} ♯ K_{2}) \leq c r (K_{1}) + c r (K_{2})$ .^[3]

Einzelnachweise

↑ Kunio Murasugi: Jones polynomials and classical conjectures in knot theory. Topology 26 (1987), no. 2, 187–194.
↑ Dies ist die Anzahl der Überkreuzungen im Standard-Diagramm des 2-Brücken-Knotens, welches reduziert und alternierend ist und deshalb die Kreuzungszahl berechnet.
↑ Marc Lackenby: The crossing number of composite knots. J. Topol. 2 (2009), no. 4, 747–768.

[1] Kunio Murasugi: Jones polynomials and classical conjectures in knot theory. Topology 26 (1987), no. 2, 187–194.

[2] Dies ist die Anzahl der Überkreuzungen im Standard-Diagramm des 2-Brücken-Knotens, welches reduziert und alternierend ist und deshalb die Kreuzungszahl berechnet.

[3] Marc Lackenby: The crossing number of composite knots. J. Topol. 2 (2009), no. 4, 747–768.

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Kreuzungszahl (Knotentheorie)

Einzelnachweise

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