Teileranzahlfunktion

Teileranzahlfunktion d(n) für natürliche Zahlen 0<n<24

Die Teileranzahlfunktion gibt an, wie viele positive Teiler eine natürliche Zahl hat; dabei werden die Eins und die Zahl selbst mitgezählt. Die Teileranzahlfunktion gehört zum mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Sie wird meist mit $d$ oder $\tau$ bezeichnet – da sie einen Spezialfall der Teilerfunktion darstellt, auch als ${\sigma }_0(n)$.

$d(n)$ … Anzahl der Teiler von $n$.
$n_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}$ … kleinstes $n$ mit $d(n)$ Teilern.

$d(n)$	$n_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}$ Pink: hoch- zusammengesetzte Zahl	Faktorisierung von $n_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}$
1	1	1
2	2	2
3	4	22
4	6	2 · 3
5	16	24
6	12	22 · 3
7	64	26
8	24	23 · 3
9	36	22 · 32
10	48	24 · 3
11	1.024	210
12	60	22 · 3 · 5
13	4.096	212
14	192	26 · 3
15	144	24 · 32
16	120	23 · 3 · 5
17	65.536	216
18	180	22 · 32 · 5
19	262.144	218
20	240	24 · 3 · 5
21	576	26 · 32
22	3.072	210 · 3
23	4.194.304	222
24	360	23 · 32 · 5
25	1.296	24 · 34
26	12.288	212 · 3
27	900	22 · 32 · 52
28	960	26 · 3 · 5
29	268.435.456	228
30	720	24 · 32 · 5
31	1.073.741.824	230
32	840	23 · 3 · 5 · 7
33	9.216	210 · 32
34	196.608	216 · 3
35	5.184	26 · 34
36	1.260	22 · 32 · 5 · 7

Definition

Für jede natürliche Zahl $n\in \mathbb{N}$ wird die Teileranzahlfunktion definiert als

$d(n):=|\{d\in \mathbb{N}:d\mid n\}|$,

wobei $|\cdot |$ die Mächtigkeit der Menge ist.

Die ersten Werte sind:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Teiler von $n$	1	1, 2	1, 3	1, 2, 4	1, 5	1, 2, 3, 6	1, 7	1, 2, 4, 8	1, 3, 9	1, 2, 5, 10	1, 11	1, 2, 3, 4, 6, 12
$d(n)$	1	2	2	3	2	4	2	4	3	4	2	6

Eigenschaften

• Hat die Zahl $n$ die Primfaktorzerlegung

$n=p_1^{e_1}\cdot p_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r},$

so gilt:

$d(n)=(e_1+1)(e_2+1)\cdots (e_r+1)$

• Für teilerfremde Zahlen $m$ und $n$ gilt:

$d(mn)=d(m)\cdot d(n)$

Die Teileranzahlfunktion ist also eine multiplikative zahlentheoretische Funktion.

• Eine Zahl $n$ ist genau dann eine Primzahl, wenn $d(n)=2$ gilt.
• Eine Zahl $n$ ist genau dann eine Quadratzahl, wenn $d(n)$ ungerade ist.
• Die zur Teileranzahlfunktion gehörige Dirichlet-Reihe ist das Quadrat der riemannschen Zetafunktion:

$\zeta (s{)}^2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{d(n)}{n^s}$ (für $\mathrm{Re}s>1$).

• Wenn der Wert $d(n)$ eine Primzahl ist, dann ist $n_{min}=2^{d(n)-1}$
• Wenn der Wert $d(n)$ eine zusammengesetzte Zahl $\ne 1$ ist, dann ist $n_{min}$ stets durch 6 teilbar
• Wenn der Wert $d(n)$ eine Zweierpotenz ist, dann ist $n_{min}$ eine hochzusammengesetzte Zahl

Asymptotik

Im Mittel ist $d(n)\approx \log n$, präziser gilt:

$\sum _{n\le x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O(\sqrt{x})$

Dabei sind „$O$“ ein Landau-Symbol und $\gamma$ die Euler-Mascheroni-Konstante.

Als Heuristik kann die Erkenntnis dienen, dass eine Zahl $d\le x$ ein Teiler von etwa $\frac{x}{d}$ Zahlen $n\le x$ ist, damit wird die Summe auf der linken Seite in etwa zu

$x\cdot \sum _{d=1}^{\lfloor x\rfloor }\frac{1}{d}\approx x\log x.$

(Zum letzten Schritt siehe harmonische Reihe.)

Der Wert $\beta =\frac{1}{2}$ für den Fehlerterm $O(x^{\beta })$ wurde bereits von P. G. L. Dirichlet bewiesen; die Suche nach besseren Werten ist deshalb auch als dirichletsches Teilerproblem bekannt.

Bessere Werte wurden von G. F. Woronoi (1903, $x^{\frac{1}{3}}\log x$), J. van der Corput (1922, $\beta =\frac{33}{100}$) sowie M. N. Huxley ($\beta =\frac{131}{416}$) angegeben. Auf der anderen Seite zeigten G. H. Hardy und E. Landau, dass $\beta \ge \frac{1}{4}$ gelten muss. Die möglichen Werte für $\beta$ sind immer noch Forschungsgegenstand.

Verallgemeinerungen

Die Teilerfunktion ${\sigma }_k(n)$ ordnet jeder Zahl $n$ die Summe der $k$-ten Potenzen ihrer Teiler zu:

${\sigma }_k(n)=\sum _{d\mid n}{d}^k$

Die Teilersumme ist der Spezialfall der Teilerfunktion für $k=1$, und die Teileranzahlfunktion ist der Spezialfall der Teilerfunktion für $k=0$:

$\sigma (n)={\sigma }_1(n)=\sum _{d\mid n}{d}^1=\sum _{d\mid n}d$

$d(n)={\sigma }_0(n)=\sum _{d\mid n}{d}^0=\sum _{d\mid n}1$

Siehe auch

• Hochzusammengesetzte Zahl
• Zahlentheoretische Funktion

Literatur

• G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1.

Weblinks

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