Teilersumme

Unter der Teilersumme einer natürlichen Zahl versteht man die Summe aller positiven Teiler dieser Zahl einschließlich der Zahl selbst.

Beispiel:

Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Teilersumme von 6 lautet also $1+2+3+6=12$.

Bei vielen Problemstellungen der Zahlentheorie spielen Teilersummen eine Rolle, z. B. bei den vollkommenen Zahlen und den befreundeten Zahlen.

Definitionen

Definition 1: Summe aller Teiler

Sind $t_1,t_2,...,t_k$ alle Teiler der natürlichen Zahl $n$, so nennt man $\sigma (n)=t_1+t_2+\cdots +t_k$ die Teilersumme von $n$. Dabei sind 1 und $n$ selbst Teiler, also in der Menge der Teiler enthalten. Die Funktion $n\mapsto \sigma (n)$ heißt Teilersummenfunktion und ist eine zahlentheoretische Funktion.

Das Beispiel oben kann man nun so schreiben:

$\sigma (6)=1+2+3+6=12$.

Definition 2: Summe der echten Teiler

Die Summe ${\sigma }^{*}(n)$ der echten Teiler der natürlichen Zahl $n$ ist die Summe der Teiler von $n$ ohne die Zahl $n$ selbst.

Beispiel:

${\sigma }^{*}(6)=1+2+3=6$.

Es gilt die Beziehung

$\sigma (n)-n={\sigma }^{*}(n)$.

Definition 3: defizient, abundant, vollkommen

Eine natürliche Zahl $n>1$ heißt

defizient oder teilerarm, wenn ${\sigma }^{*}(n)<n$,

abundant oder teilerreich, wenn ${\sigma }^{*}(n)>n$,

vollkommen, wenn ${\sigma }^{*}(n)=n$.

Beispiele:

${\sigma }^{*}(6)=1+2+3=6$, d. h. 6 ist eine vollkommene Zahl.

${\sigma }^{*}(12)=1+2+3+4+6=16>12$, d. h. 12 ist abundant.

${\sigma }^{*}(10)=1+2+5=8<10$, d. h. 10 ist defizient.

Eigenschaften der Teilersumme

Satz 1: Teilersumme einer Primzahl

Für jede Primzahl $p$ gilt

$\sigma (p)=p+1$.

Beweis: Per Definition hat $p$ nur die Teiler $1$ und $p$. Daraus folgt die Behauptung.

Satz 2: Teilersumme der Potenz einer Primzahl

Sei $p$ eine Primzahl und $k\in {\mathbb{N}}_0$. Dann gilt für die Potenz $p^k$:

$\sigma (p^k)=\frac{p^{k+1}-1}{p-1}$.

Beweis: Da $p$ eine Primzahl ist, hat $p^k$ nur die Teiler $p^0,p^1,\dots ,p^k$. Diese Zahlen bilden eine geometrische Folge. Aus der Formel für die Partialsummen der geometrischen Reihe folgt sofort die Behauptung.

Beispiel:

$\sigma (2^3)=\frac{2^4-1}{2-1}=\frac{16-1}{1}=15$

$\sigma (8)=1+2+4+8=15$

Satz 3: Teilersumme des Produktes von zwei Primzahlen

Seien $a$ und $b$ verschiedene Primzahlen. Dann gilt

$\sigma (a\cdot b)=\sigma (a)\cdot \sigma (b)$.

Beweis: Die Zahl $ab$ besitzt genau die Teiler $1,a,b$ und $ab$. Daraus folgt

$\sigma (a\cdot b)=1+a+b+ab=(a+1)(b+1)=\sigma (a)\cdot \sigma (b)$.

Beispiel:

$\sigma (3\cdot 5)=\sigma (15)=1+3+5+15=24$

$\sigma (3)\cdot \sigma (5)=(1+3)\cdot (1+5)=4\cdot 6=24$

Satz 4: Teilersumme des Produkts von zwei teilerfremden Zahlen

Sind $a$ und $b$ teilerfremde Zahlen, so gilt

$\sigma (a\cdot b)=\sigma (a)\cdot \sigma (b)$.

Die Teilersummenfunktion ist also multiplikativ.

Beispiel:

$\sigma (4\cdot 9)=\sigma (36)=1+2+3+4+6+9+12+18+36=91$

$\sigma (4)\cdot \sigma (9)=(1+2+4)\cdot (1+3+9)=7\cdot 13=91$

Satz 5: Teilersumme einer in Primfaktoren zerlegten Zahl

Sei $n\in \mathbb{N}$ mit der Primfaktorzerlegung $n=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot \dots \cdot p_r^{k_r}$. Dann gilt

$\sigma (n)=\frac{p_1^{k_1+1}-1}{p_1-1}\cdot \dots \cdot \frac{p_r^{k_r+1}-1}{p_r-1}$.

Beispiel:

$\sigma (84)=\sigma (2^2\cdot 3\cdot 7)=\frac{2^3-1}{2-1}\cdot \frac{3^2-1}{3-1}\cdot \frac{7^2-1}{7-1}=7\cdot 4\cdot 8=224.$

Satz von Thabit

Mit Hilfe von Satz 4 kann man den Satz von Thabit (benannt nach Thabit ibn Qurra) aus dem Gebiet der befreundeten Zahlen beweisen. Der Satz lautet:

Für eine natürliche Zahl $n$ seien $x=3\cdot 2^n-1,y=3\cdot 2^{n-1}-1$ und $z=9\cdot 2^{2n-1}-1$.

Wenn $x$, $y$ und $z$ Primzahlen größer als 2 sind, dann sind die beiden Zahlen $a=2^{n}xy$ und $b=2^{n}z$ befreundet, d. h. ${\sigma }^{*}(a)=b$ und ${\sigma }^{*}(b)=a$.

Beweis

$\begin{array}{cc}{\sigma }^{*}(a)& =\sigma (a)-a\\ & =\sigma (2^n\cdot x\cdot y)-a\\ & =(2^{n+1}-1)(x+1)(y+1)-a& & \text{(Satz 4)}\\ & =(2^{n+1}-1)(3\cdot 2^n)(3\cdot 2^{n-1})-2^n(3\cdot 2^n-1)(3\cdot 2^{n-1}-1)\\ & =(2^{n+1}-1)\cdot 9\cdot 2^{2n-1}-2^n(9\cdot 2^{2n-1}-6\cdot 2^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+1)\\ & =2\cdot 2^n\cdot 9\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^n\cdot 2^{n-1}-2^n(9\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^{n-1}+1)\\ & =2^n(18\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^{n-1}-9\cdot 2^{2n-1}+9\cdot 2^{n-1}-1)\\ & =2^n(9\cdot 2^{2n-1}-1)\\ & =2^n\cdot z\\ & =b\end{array}$

Analog zeigt man ${\sigma }^{*}(b)=a$.

Teilersumme als endliche Reihe

Für jede natürliche Zahl $n$ kann die Teilerfunktion als Reihe dargestellt werden, ohne dass auf die Teilbarkeitseigenschaften von $n$ explizit Bezug genommen wird:

$\sigma (n)=\sum _{\mu =1}^n\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos 2\pi \frac{\nu n}{\mu }$

Beweis: Die Funktion

$T(n,\mu )=\frac{1}{\mu }\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos 2\pi \frac{\nu n}{\mu },n=1,2,\dots ,\mu =1,2,\dots$

wird 1, wenn $\mu$ ein Teiler von $n$ ist, ansonsten bleibt sie Null.

Sei nämlich $\mu$ ein Teiler von $n$. Dann ist der Quotient $\frac{\nu n}{\mu }$ ganzzahlig, somit ist $\cos 2\pi \frac{\nu n}{\mu }$ gleich 1. Die Summation über $\nu$ ergibt $\mu$, woraus $T(n,\mu )=1$ folgt.

Sei nun $\mu$ kein Teiler von $n$. Es gilt dann

$T(n,\mu )=\frac{1}{\mu }\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos 2\pi \frac{\nu n}{\mu }=\frac{1}{\mu }\frac{\sin \pi n\cos \frac{\pi (\mu +1)n}{\mu }}{\sin \frac{\pi n}{\mu }}=0.$

Damit ist gezeigt, dass $T(n,\mu )$ genau dann gleich 1 ist, wenn $\mu$ ein Teiler von $n$ ist, und ansonsten verschwindet.

Multipliziert man jetzt $T(n,\mu )$ mit ${\mu }^k$ und summiert das Produkt über alle Werte $\mu =1$ bis $\mu =n$, so entsteht nur dann ein Beitrag ${\mu }^k$ zur Summe, wenn $\mu$ ein Teiler von $n$ ist. Das ist aber genau die Definition der allgemeinen Teilerfunktion

${\sigma }_k(n)=\sum _{\mu =1}^n{\mu }^{k-1}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos 2\pi \frac{\nu n}{\mu },k=0,\pm 1,\dots$

deren Spezialfall $k=1$ die einfache Teilersumme $\sigma (n)$ ist.

Siehe auch

• Inhaltskette
• Teilermenge

Literatur

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