Takai-Dualität

Takai-Dualität, benannt nach Hiroshi Takai, ist ein Konzept aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Ist $(A,G,\alpha )$ ein C*-dynamisches System mit einer abelschen, lokalkompakten Gruppe, so operiert die Dualgruppe auf $A{⋉}_{\alpha }G$ derart, dass man die C*-Algebra $A$ bis auf Tensorierung mit den kompakten Operatoren aus $A{⋉}_{\alpha }G$ zurückgewinnen kann.

Die duale Operation

Es sei $(A,G,\alpha )$ ein C*-dynamisches System mit einer abelschen, lokalkompakten Gruppe $G$. Dann gibt es dazu die Dualgruppe $\hat{G}$ der stetigen Gruppenhomomorphismen $G\to \{z\in ℂ;|z|=1\}$, die mit der Topologie der kompakten Konvergenz wieder eine abelsche, lokalkompakte Gruppe ist. Weiter sei $K(A,G,\alpha )$ die in $A{⋉}_{\alpha }G$ dicht liegende Faltungsalgebra der stetigen Funktionen $G\to A$ mit kompaktem Träger. Für $\chi \in \hat{G}$ sei

${\hat{\alpha }}_{\chi }:K(A,G,\alpha )\to K(A,G,\alpha ),({\hat{\alpha }}_{\chi }(x))(t):=\chi (t)x(t)$, wobei $x\in K(A,G,\alpha ),t\in G$.

Dann lässt sich ${\hat{\alpha }}_{\chi }$ zu einem ebenso bezeichneten Automorphismus auf $A{⋉}_{\alpha }G$ ausdehnen und $\chi \mapsto {\hat{\alpha }}_{\chi }$ ist ein Gruppenhomomorphismus von der Dualgruppe $\hat{G}$ in die Automorphismengruppe von $A{⋉}_{\alpha }G$, der $(A{⋉}_{\alpha }G,\hat{G},\hat{\alpha })$ zu einem C*-dynamischen System macht, das man das duale C*-dynamische System nennt.

Dualitätssatz von Takai

Es sei $(A,G,\alpha )$ ein C*-dynamisches System mit einer abelschen, lokalkompakten Gruppe $G$ und $(A{⋉}_{\alpha }G,\hat{G},\hat{\alpha })$ sei das duale C*-dynamische System. Ist $K(L^2(G))$ die C*-Algebra der kompakten Operatoren über dem Hilbertraum $L^2(G)$ der bzgl. des Haarmaßes quadratintegrierbaren Funktionen, so ist $(A{⋉}_{\alpha }G){⋉}_{\hat{\alpha }}\hat{G}\cong A\otimes K(L^2(G))$.

Bemerkungen

Dies ist eine Analogie zur auf Takesaki zurückgehenden Dualität für W*-dynamischen Systeme. Die Tensorierung mit der vollen Operatorenalgebra für Von-Neumann-Algebren ist bei der hier vorgestellten Takai-Dualität durch das Tensorieren mit der C*-Algebra der kompakten Operatoren ersetzt.

Ist $L^2(G)$ separabel, zum Beispiel wenn $G$ abzählbar unendlich und diskret ist, so ist $K(L^2(G))$ isomorph zur C*-Algebra der kompakten Operatoren über dem Folgenraum ${\ell }^2$. Man nennt zwei C*-Algebren $A$ und $B$ stabil-isomorph, wenn $A\otimes K({\ell }^2)\cong B\otimes K({\ell }^2)$. Der Satz über die Takei-Dualität sagt somit, dass das Kreuzprodukt des zu $(A,G,\alpha )$ dualen C*-dynamischen Systems stabil-isomorph zu $A$ ist.

Ist $G$ eine endliche Gruppe der Ordnung $n$, so ist $K(L^2(G))\cong K({ℂ}^n)\cong M_n(ℂ)$ und daher $(A{⋉}_{\alpha }G){⋉}_{\hat{\alpha }}\hat{G}\cong M_n(A)$. Insbesondere folgt bis auf Isomorphie $A{⋉}_{\alpha }G\subset M_n(A)$ und man erhält eine handliche Realisierung des Kreuzproduktes als Unteralgebra einer Matrizenalgebra.

Ist als konkretes Beispiel $G={\mathbb{Z}}_2=\{0,1\}$ die zweielementige Gruppe, so ist ${\alpha }_0={\mathrm{i}\mathrm{d}}_A$ und ${\alpha }_1\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(A)$ ein Automorphismus mit ${\alpha }_1\circ {\alpha }_1={\mathrm{i}\mathrm{d}}_A$. Man erhält mit obiger Isomorphie

$A{⋉}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2\cong \{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ {\alpha }_1(b)& {\alpha }_1(a)\end{array}\right)|a,b\in A\}\subset M_2(A)$.

Um dann daraus $M_2(A)$ zu erhalten, muss man nach obigem Satz die duale Operation $\hat{\alpha }$ von $\widehat{{\mathbb{Z}}_2}={\mathbb{Z}}_2=\{0,1\}$ auf $A{⋉}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2$ betrachten. ${\hat{\alpha }}_0$ ist natürlich die Identität auf dem Kreuzprodukt und

${\hat{\alpha }}_1(\left(\begin{array}{cc}a& b\\ {\alpha }_1(b)& {\alpha }_1(a)\end{array}\right))=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ -{\alpha }_1(b)& {\alpha }_1(a)\end{array}\right)$.

Wendet man darauf dieselbe Einbettung in die Matrizenalgebra $M_2(A{⋉}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2)$ an, erhält man insgesamt eine Unteralgebra von $M_4(A)$, von der man zeigen kann, dass sie zu $M_2(A)$ isomorph ist.