Studentsche t-Verteilung

Dichten von $t$-verteilten Zufallsgrößen

Die studentsche t-Verteilung (auch Student-t-Verteilung oder kurz t-Verteilung) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die 1908 von William Sealy Gosset entwickelt und nach seinem Pseudonym Student benannt wurde.

Gosset hatte festgestellt, dass die standardisierte Schätzfunktion des Stichproben-Mittelwerts normalverteilter Daten nicht mehr normalverteilt, sondern $t$-verteilt ist, wenn die zur Standardisierung des Mittelwerts benötigte Varianz des Merkmals unbekannt ist und mit der Stichprobenvarianz geschätzt werden muss. Seine $t$-Verteilung erlaubt – insbesondere für kleine Stichprobenumfänge – die Berechnung der Verteilung der Differenz vom Mittelwert der Stichprobe zum wahren Mittelwert der Grundgesamtheit.

Die $t$-Werte hängen vom Signifikanzniveau sowie von der Stichprobengröße $n$ ab und bestimmen das Vertrauensintervall und damit die Aussagekraft der Schätzung des Mittelwertes. Die $t$-Verteilung wird mit wachsendem $n$ schmaler und geht für $n\to \mathrm{\infty }$ in die Standardnormalverteilung über (siehe Grafik rechts). Hypothesentests, bei denen die $t$-Verteilung Verwendung findet, bezeichnet man als t-Tests.

Die Herleitung wurde erstmals 1908 veröffentlicht, als Gosset in der Dubliner Guinness-Brauerei arbeitete. Da sein Arbeitgeber die Veröffentlichung nicht gestattete, veröffentlichte Gosset sie unter dem Pseudonym Student. Der t-Faktor und die zugehörige Theorie wurden erst durch die Arbeiten von R. A. Fisher belegt, der die Verteilung Student’s distribution (Student'sche Verteilung) nannte.

Die $t$-Verteilung kommt allerdings auch schon in früheren Publikationen anderer Autoren vor. Zuerst wurde sie 1876 von Jacob Lüroth als A-posteriori-Verteilung bei der Behandlung eines Problems der Ausgleichsrechnung hergeleitet, 1883 in einem ähnlichen Zusammenhang von Edgeworth.

Definition

Eine stetige Zufallsvariable $X$ genügt der studentschen $t$-Verteilung mit $n>0$ Freiheitsgraden, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f_n(x)=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{(1+\frac{x^2}{n})}^{-\frac{n+1}{2}}\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$

besitzt. Dabei ist

$\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}\mathrm{d}t$

die Gammafunktion. Für natürliche Zahlen $n$ gilt insbesondere (hierbei bezeichnet $n!$ die Fakultät von $n$)

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!,\mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{2})=\frac{(2n)!}{n!4^n}\sqrt{\pi }.$

Alternativ lässt sich die $t$-Verteilung mit $n$ Freiheitsgraden auch definieren als die Verteilung der Größe

$t_n\equiv \frac{Z}{\sqrt{{\chi }_n^2/n}}$,

wobei $Z$ eine standardnormalverteilte Zufallsvariable und ${\chi }_n^2$ eine von $Z$ unabhängige Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariable mit $n$ Freiheitsgraden ist.

Verteilung

Die Verteilungsfunktion lässt sich geschlossen ausdrücken als

$F_n(t)=I(\frac{t+\sqrt{t^2+n}}{2\sqrt{t^2+n}},\frac{n}{2},\frac{n}{2})$

oder als

$F_n(t)=\frac{1}{2}(1+\frac{t}{|t|}I(\frac{t^2}{t^2+n},\frac{1}{2},\frac{n}{2}))$

mit

$I(z,a,b)=\frac{1}{B(a,b)}\underset{0}{\overset{z}{\int }}{t}^{a-1}(1-t{)}^{b-1}\mathrm{d}t,$

wobei $B$ die Betafunktion darstellt.

$F_n(t)$ berechnet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine gemäß $f_n(x)$ verteilte Zufallsvariable $X$ einen Wert kleiner oder gleich $t$ erhält.

Eigenschaften

Es sei $X$ eine $t$-verteilte Zufallsvariable mit $n$ Freiheitsgraden und Dichte $f_n(x)$.

Wendepunkte

Die Dichte besitzt Wendepunkte bei

$x=\pm \sqrt{\frac{n}{n+2}}.$

Median

Der Median ist

$\tilde{x}=0.$

Modus

Der Modus ergibt sich zu

$x_D=0.$

Symmetrie

Die Studentsche $t$-Verteilung ist symmetrisch um die 0.

Erwartungswert

Für den Erwartungswert erhält man für $n>1$

$\mathrm{E}(X)=0.$

Der Erwartungswert für $n=1$ existiert nicht.

Varianz

Die Varianz ergibt sich für $n>2$ zu

$\mathrm{Var}(X)=\frac{n}{n-2}.$

Schiefe

Die Schiefe ist für $n>3$

$\mathrm{v}(X)=0.$

Wölbungen

Für die Kurtosis-Wölbung ${\beta }_2$ und die Exzess-Wölbung ${\gamma }_2$ erhält man für $n>4$

${\mathrm{\beta }}_{\mathrm{2}}(X)=\frac{{\mu }_4}{{\mu }_2^2}=\frac{3n-6}{n-4},{\mathrm{\gamma }}_{\mathrm{2}}(X)=\frac{{\mu }_4}{{\mu }_2^2}-3=\frac{6}{n-4}.$

Momente

Für die $k$-ten Momente $m_k=\mathrm{E}(X^k)$ und die $k$-ten zentralen Momente ${\mu }_k=\mathrm{E}([X-\mathrm{E}(X){]}^k)$ gilt:

$m_k={\mu }_k=0,\text{ falls }n>k\text{ und }k\text{ ungerade}$

$m_k={\mu }_k=n^{k/2}\cdot \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdots (k-1)}{(n-2)\cdot (n-4)\cdot (n-6)\cdots (n-k)},\text{ falls }n>k\text{ und }k\text{ gerade}$

Beziehung zur Betaverteilung

Das Integral

$\underset{0}{\overset{z}{\int }}{t}^{a-1}(1-t{)}^{b-1}\mathrm{d}t$

ist die unvollständige Betafunktion

$B(z;a,b),$

wobei

$B(a,b)=B(1;a,b)$ den Zusammenhang zur vollständigen Betafunktion herstellt. Dann ist für $t>0$

$F_n(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}I(z,\frac{1}{2},\frac{n}{2})=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\frac{B(z_t;\frac{1}{2},\frac{n}{2})}{B(1;\frac{1}{2},\frac{n}{2})}$

mit

$z_t=\frac{t^2}{t^2+n}.$

Wenn t gegen unendlich geht, strebt $z_t$ gegen 1. Im Grenzfall steht im Zähler und Nenner obigen Bruches also dasselbe, das heißt, man erhält:

$F_n(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}I(z_t,\frac{1}{2},\frac{n}{2})\to \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$

Nichtzentrale t-Verteilung

Die Größe

$\frac{Z+\delta }{\sqrt{{\chi }_n^2/n}}$

mit $Z\sim 𝒩(0,1)$ und $\delta$ als Nichtzentralitätsparameter folgt der sogenannten nichtzentralen $t$-Verteilung. Diese Verteilung wird vor allem zur Bestimmung des β-Fehlers bei Hypothesentests mit $t$-verteilter Prüfgröße verwendet. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte lautet:

$f(x)=\frac{n^{n/2}n!e^{-{\delta }^2/2}}{2^n\mathrm{\Gamma }(n/2)(x^2+n{)}^{(n+1)/2}}(\frac{\sqrt{2}\delta x}{\sqrt{x^2+n}}\frac{{}_1{ℱ}_1(n/2+1,3/2,\frac{(\delta x{)}^2}{2(x^2+n)})}{\mathrm{\Gamma }((n+1)/2)}+\frac{{}_1{ℱ}_1((n+1)/2,1/2,\frac{(\delta x{)}^2}{2(x^2+n)})}{\mathrm{\Gamma }(n/2+1)})$

Einige Dichten von nichtzentralen $t$-Verteilungen

Die Klammer mit der Summe hypergeometrischer Funktionen lässt sich noch etwas einfacher schreiben, sodass ein kürzerer alternativer Ausdruck für die Dichte entsteht:

$f(x)=\frac{2^n{n}^{n/2+1}\mathrm{\Gamma }((n+1)/2)}{\pi (x^2+n{)}^{(n+1)/2}}{e}^{-{\delta }^2/2}{H}_{-n-1}(-\frac{\delta x}{\sqrt{2}\sqrt{x^2+n}}),$

wobei $H_{-n-1}\left(z\right)$ ein Hermitesches Polynom mit negativem Index darstellt mit $H_{-n-1}\left(0\right)=\frac{\sqrt{\pi }}{2^{n+1}\mathrm{\Gamma }(n/2+1)}$.

Der Erwartungswert liegt für $n>1$ bei

$\frac{\delta \sqrt{n}\mathrm{\Gamma }((n-1)/2)}{\sqrt{2}\mathrm{\Gamma }(n/2)}$

und die Varianz (für $n>2$) bei

$\frac{(1+{\delta }^2)n}{n-2}-\frac{{\delta }^{2}n\mathrm{\Gamma }{((n-1)/2)}^2}{2\mathrm{\Gamma }{(n/2)}^2}.$

Mit $\delta =0$ erhält man die Kennwerte der zentralen $t$-Verteilung.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Cauchy-Verteilung

Für $n=1$ und mit $\mathrm{\Gamma }(1/2)=\sqrt{\pi }$ ergibt sich die Cauchy-Verteilung als Spezialfall aus der Studentschen $t$-Verteilung.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung und Standardnormalverteilung

Die $t$-Verteilung beschreibt die Verteilung eines Ausdruckes

$t_n\equiv \frac{𝒩(0,1)}{\sqrt{\frac{{\chi }_n^2}{n}}},$

wobei $𝒩(0,1)$ eine standardnormalverteilte und ${\chi }_n^2$ eine Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariable mit $n$ Freiheitsgraden bedeutet. Die Zählervariable muss unabhängig von der Nennervariable sein. Die Dichtefunktion der $t$-Verteilung ist dann symmetrisch bezüglich ihres Erwartungswertes $0$. Die Werte der Verteilungsfunktion liegen in der Regel tabelliert vor.

Verteilung mit schweren Rändern

Die Verteilung gehört zu den Verteilungen mit schweren Rändern.

Näherung durch die Normalverteilung

Mit steigender Zahl von Freiheitsgraden kann man die Verteilungswerte der $t$-Verteilung mit Hilfe der Normalverteilung annähern. Als Faustregel gilt, dass ab 30 Freiheitsgraden die $t$-Verteilungsfunktion durch die Normalverteilung approximiert werden kann.

Verwendung in der mathematischen Statistik

Verschiedene Schätzfunktionen sind $t$-verteilt.

Wenn die unabhängigen Zufallsvariablen $X_1,X_2,\dots ,X_n$ identisch normalverteilt sind mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$, kann bewiesen werden, dass der Stichprobenmittelwert

$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$

und die Stichprobenvarianz

$S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$

stochastisch unabhängig sind.

Weil die Zufallsgröße $\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$ eine Standardnormalverteilung hat und $(n-1)S^2/{\sigma }^2$ einer Chi-Quadrat-Verteilung mit $n-1$ Freiheitsgraden folgt, ergibt sich, dass die Größe

$t_{n-1}=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\cdot \frac{\sigma }{\sigma }=\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\cdot \frac{\sigma }{S}=\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}/\left(\frac{S}{\sigma }\right)=\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}/\sqrt{{\chi }_{n-1}^2/(n-1)}$

nach Definition $t$-verteilt ist mit $n-1$ Freiheitsgraden.

Also ist der Abstand des gemessenen Mittelwertes vom Mittelwert der Grundgesamtheit verteilt wie $t_{n-1}S/\sqrt{n}$. Damit berechnet man dann das 95-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert $\mu$ zu

$\bar{x}-t\cdot S/\sqrt{n}\le \mu \le \bar{x}+t\cdot S/\sqrt{n},$

wobei der Wert für $t$ implizit durch $F_{n-1}(t)=0,975$ bestimmt ist, wobei $F_{n-1}$ die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen bezeichnet, die $t$-verteilt ist mit $n-1$ Freiheitsgraden ist. Dieses Intervall ist für $n<\mathrm{\infty }$ etwas größer als dasjenige, welches sich mit bekanntem $\sigma$ aus der Verteilungsfunktion der Normalverteilung bei gleichem Konfidenzniveau ergeben hätte $(\mu \in [\bar{x}\pm 1,96\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}])$.

Herleitung der Dichte

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der $t$-Verteilung lässt sich herleiten aus der gemeinsamen Dichte der beiden unabhängigen Zufallsvariablen $Z$ und ${\chi }_n^2$, die standardnormal beziehungsweise Chi-Quadrat-verteilt sind:

$f_{Z,{\chi }_n^2}(z,y)=\frac{e^{-\frac{1}{2}{z}^2}}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{y^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{1}{2}y}}{2^{\frac{n}{2}}\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})}$

Mit der Transformation

$t=z/\sqrt{y/n},v=y$

bekommt man die gemeinsame Dichte von $T=Z/\sqrt{{\chi }_n^2/n}$ und ${\chi }_n^2$, wobei $-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty }$ und $0\le v<\mathrm{\infty }$.

Die Jacobideterminante dieser Transformation ist:

$\det \frac{\partial (z,y)}{\partial (t,v)}=\left|\begin{array}{cc}\sqrt{\frac{v}{n}}& 0\\ ◊& 1\end{array}\right|=\sqrt{\frac{v}{n}}$

Der Wert $◊$ ist unwichtig, weil er bei der Berechnung der Determinante mit 0 multipliziert wird. Die neue Dichtefunktion schreibt sich also

$f_{T,{\chi }_n^2}(t,v)=\frac{e^{-\frac{1}{2}v\frac{t^2}{n}}}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})}{v}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{1}{2}v}\cdot \sqrt{\frac{v}{n}}.$

Gesucht ist nun die Randverteilung $f_n(t)$ als Integral über die nicht interessierende Variable $v$:

$f_n(t)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_{T,{\chi }_n^2}(t,v)dv=\frac{1}{\sqrt{n\pi }{2}^{(n+1)/2}\mathrm{\Gamma }(n/2)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{v}^{(n-1)/2}{e}^{-v(1+t^2/n)/2}dv=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{(1+\frac{t^2}{n})}^{-\frac{n+1}{2}}$

Ausgewählte Quantile der t-Verteilung

Tabelliert sind $t$-Werte für verschiedene Freiheitsgrade $n$ und gebräuchliche Wahrscheinlichkeiten $P$ (0,75 bis 0,999), wofür gilt:

$P_{\text{einseitig}}=F_n(t)=P(T_n\le t)$

Aufgrund der Spiegelsymmetrie der Dichte braucht man für den Fall des beidseitig symmetrisch begrenzten Intervalls nur die Wahrscheinlichkeitsskala anzupassen. Dabei verringern sich die Wahrscheinlichkeiten bei gleichem $t$, denn das Integrationsintervall wird durch Wegschneiden des Bereichs von $-\mathrm{\infty }$ bis $-t$ reduziert:

$P_{\text{zweiseitig}}=F_n(t)-F_n(-t)=P(-t<T_n\le t)=2P_{\text{einseitig}}-1$

Werden bei einer Stichprobe $N$ Beobachtungen durchgeführt und aus der Stichprobe $m$ Parameter geschätzt, so ist $n=N-m$ die Anzahl der Freiheitsgrade.

Zu der Anzahl von Freiheitsgraden $n$ in der ersten Spalte und dem Signifikanzniveau $\alpha$ (dargestellt als $1-\alpha$ in der zweiten Zeile) wird in jeder Zelle der folgenden Tabelle der Wert des (einseitigen) Quantils $t_{n,\alpha }$, entsprechend DIN 1319-3, angegeben. Dies erfüllt für die Dichte $f_n$ der $t_n$-Verteilung die folgenden Gleichungen:

Einseitig: $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t_{n,\alpha }}{\int }}{f}_n(x)\mathrm{d}x=1-\alpha$

Zweiseitig: $\underset{-t_{n,\alpha /2}}{\overset{t_{n,\alpha /2}}{\int }}{f}_n(x)\mathrm{d}x=1-\alpha$

Also findet man beispielsweise mit $n=4$ und $\alpha =0,05$ die $t$-Werte von 2,776 (zweiseitig) oder 2,132 (einseitig).

Die Quantilfunktion der $t$-Verteilung $x_p$ ist die Lösung der Gleichung $p=F(x_p|m,n)$ und damit prinzipiell über die Umkehrfunktion zu berechnen. Konkret gilt hier

$x_p=\frac{\sqrt{n}(2I^{-1}(p,\frac{n}{2},\frac{n}{2})-1)}{2\sqrt{(1-I^{-1}(p,\frac{n}{2},\frac{n}{2}))\cdot I^{-1}(p,\frac{n}{2},\frac{n}{2})}}$

mit $I^{-1}$ als Inverse der regularisierten unvollständigen Betafunktion. Dieser Wert $x_p$ ist in der Quantiltabelle unter den Koordinaten p und n eingetragen.

Für wenige Werte $n$ (1,2,4) vereinfacht sich die Quantilfunktion:

$n=1:x_p=\tan (\pi (p-1/2))$

$n=2:x_p=(p-1/2)\sqrt{\frac{2}{p(1-p)}}$

$n=4:x_p=\sqrt{\frac{2\cos (\frac{1}{3}\arccos \left(2\sqrt{p(1-p)}\right))}{\sqrt{p(1-p)}}-4}$

Tabelle einiger t-Quantile

Anzahl Freiheitsgrade n	P für zweiseitigen Vertrauensbereich
	0,5	0,75	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99	0,998
	P für einseitigen Vertrauensbereich
	0,75	0,875	0,90	0,95	0,975	0,99	0,995	0,999
1	1,000	2,414	3,078	6,314	12,706	31,821	63,657	318,309
2	0,816	1,604	1,886	2,920	4,303	6,965	9,925	22,327
3	0,765	1,423	1,638	2,353	3,182	4,541	5,841	10,215
4	0,741	1,344	1,533	2,132	2,776	3,747	4,604	7,173
5	0,727	1,301	1,476	2,015	2,571	3,365	4,032	5,893
6	0,718	1,273	1,440	1,943	2,447	3,143	3,707	5,208
7	0,711	1,254	1,415	1,895	2,365	2,998	3,499	4,785
8	0,706	1,240	1,397	1,860	2,306	2,896	3,355	4,501
9	0,703	1,230	1,383	1,833	2,262	2,821	3,250	4,297
10	0,700	1,221	1,372	1,812	2,228	2,764	3,169	4,144
11	0,697	1,214	1,363	1,796	2,201	2,718	3,106	4,025
12	0,695	1,209	1,356	1,782	2,179	2,681	3,055	3,930
13	0,694	1,204	1,350	1,771	2,160	2,650	3,012	3,852
14	0,692	1,200	1,345	1,761	2,145	2,624	2,977	3,787
15	0,691	1,197	1,341	1,753	2,131	2,602	2,947	3,733
16	0,690	1,194	1,337	1,746	2,120	2,583	2,921	3,686
17	0,689	1,191	1,333	1,740	2,110	2,567	2,898	3,646
18	0,688	1,189	1,330	1,734	2,101	2,552	2,878	3,610
19	0,688	1,187	1,328	1,729	2,093	2,539	2,861	3,579
20	0,687	1,185	1,325	1,725	2,086	2,528	2,845	3,552
21	0,686	1,183	1,323	1,721	2,080	2,518	2,831	3,527
22	0,686	1,182	1,321	1,717	2,074	2,508	2,819	3,505
23	0,685	1,180	1,319	1,714	2,069	2,500	2,807	3,485
24	0,685	1,179	1,318	1,711	2,064	2,492	2,797	3,467
25	0,684	1,178	1,316	1,708	2,060	2,485	2,787	3,450
26	0,684	1,177	1,315	1,706	2,056	2,479	2,779	3,435
27	0,684	1,176	1,314	1,703	2,052	2,473	2,771	3,421
28	0,683	1,175	1,313	1,701	2,048	2,467	2,763	3,408
29	0,683	1,174	1,311	1,699	2,045	2,462	2,756	3,396
30	0,683	1,173	1,310	1,697	2,042	2,457	2,750	3,385
40	0,681	1,167	1,303	1,684	2,021	2,423	2,704	3,307
50	0,679	1,164	1,299	1,676	2,009	2,403	2,678	3,261
60	0,679	1,162	1,296	1,671	2,000	2,390	2,660	3,232
70	0,678	1,160	1,294	1,667	1,994	2,381	2,648	3,211
80	0,678	1,159	1,292	1,664	1,990	2,374	2,639	3,195
90	0,677	1,158	1,291	1,662	1,987	2,368	2,632	3,183
100	0,677	1,157	1,290	1,660	1,984	2,364	2,626	3,174
200	0,676	1,154	1,286	1,653	1,972	2,345	2,601	3,131
300	0,675	1,153	1,284	1,650	1,968	2,339	2,592	3,118
400	0,675	1,152	1,284	1,649	1,966	2,336	2,588	3,111
500	0,675	1,152	1,283	1,648	1,965	2,334	2,586	3,107
$\mathrm{\infty }$	0,674	1,150	1,282	1,645	1,960	2,326	2,576	3,090

Weblinks

• Interaktiver Graph der $t$-Verteilung (mit anschaulicher Erklärung)
• Webrechner für exakte Werte