A-posteriori-Wahrscheinlichkeit

Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit ist ein Begriff aus der bayesschen Statistik. Sie beschreibt den Wissensstand über einen unbekannten Umweltzustand $\theta$ a posteriori, d. h. nach der Beobachtung einer Zufallsgröße $X$, die von $\theta$ in statistischer Abhängigkeit steht.

Definition

Folgende Situation ist gegeben: $\theta$ ist ein unbekannter Umweltzustand (z. B. ein Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung), der auf der Basis von Beobachtungen $x$ einer Zufallsgröße $X$ geschätzt werden soll.

Gegeben sei eine Verteilung für den Parameter $\theta$ vor der Beobachtung der Stichprobe. Diese Verteilung wird auch A-priori-Verteilung genannt.

Weiterhin sei die Dichte (bzw. im diskreten Fall: die Wahrscheinlichkeitsfunktion) der bedingten Verteilung der Stichprobe unter der Bedingung $\theta ={\theta }_0$ gegeben. Diese Dichte (bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion) wird im Folgenden mit $f(x|{\theta }_0)$ bezeichnet.

Die A-posteriori-Verteilung ist die Verteilung des Populationsparameters $\theta$ unter der Bedingung, dass für die Zufallsgröße $X$ der Wert $x$ beobachtet wurde. Die A-posteriori-Verteilung wird mit Hilfe des Satzes von Bayes aus der A-priori-Verteilung und der bedingten Verteilung der Stichprobe unter der Bedingung $\theta ={\theta }_0$ berechnet.

A-posteriori-Verteilung

Für stetige A-priori-Verteilungen

Eine stetige A-priori-Verteilung liegt dann vor, wenn die A-priori-Verteilung auf der Menge der reellen Zahlen $ℝ$ oder auf einem Intervall in $ℝ$ definiert ist. Beispiele für stetige A-priori-Verteilungen sind:

• die Normalverteilung (hier ist der Parameterraum $\mathrm{\Theta }$ die Menge der reellen Zahlen) oder
• die Gleichverteilung auf dem Intervall $[0;1]$ (hier ist der Parameterraum $\mathrm{\Theta }$ das Intervall $[0;1]$).

Im Folgenden steht $g(\theta )$ für die auf dem Parameterraum $\mathrm{\Theta }$ definierte A-priori-Dichte von $\theta .$

In diesem Fall kann die A-posteriori-Dichte $h(\theta |x)$ folgendermaßen berechnet werden:

$h({\theta }_0\mid x)=\frac{f(x\mid {\theta }_0)g({\theta }_0)}{\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }f(x\mid {\theta }^{\prime })g({\theta }^{\prime })\mathrm{d}{\theta }^{\prime }}$

Für diskrete A-priori-Verteilungen

Im folgenden Abschnitt steht $P(\theta ={\theta }_0)$ für die diskrete A-priori-Wahrscheinlichkeit, dass der Parameter $\theta$ den Wert ${\theta }_0$ annimmt. Eine diskrete A-priori-Verteilung ist auf einer endlichen Menge oder auf einer Menge mit abzählbar unendlichem Träger definiert.

Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit wird im Folgenden mit $P(\theta ={\theta }_0|x)$ bezeichnet und kann auf folgende Weise berechnet werden:

$P(\theta ={\theta }_0|x)=\frac{f(x|{\theta }_0)P(\theta ={\theta }_0)}{\sum _{{\theta }^{\prime }\in \mathrm{\Theta }}f(x|{\theta }^{\prime })P(\theta ={\theta }^{\prime })}$

Bedeutung in der bayesschen Statistik

In der bayesschen Statistik stellt die A-posteriori-Verteilung den neuen, durch Vorwissen und Beobachtung bestimmten Kenntnisstand über die Verteilung des Parameters $\theta$ nach der Beobachtung der Stichprobe dar.

Damit ist die A-posteriori-Verteilung die Grundlage zur Berechnung aller Punktschätzer (siehe Bayes-Schätzer) und Glaubwürdigkeitsintervalle.

Beispiel

In einer Urne befinden sich rote und schwarze Kugeln. Es ist bekannt, dass der Anteil roter Kugeln entweder bei 40 % oder aber bei 60 % liegt. Um Genaueres herauszufinden, werden (mit Zurücklegen) 11 Kugeln aus der Urne gezogen. Es werden 4 rote und 7 schwarze Kugeln gezogen.

Die Zufallsgröße „Anzahl gezogener roter Kugeln“ wird im Folgenden mit $X$ bezeichnet, der tatsächlich beobachtete Wert der Zufallsgröße mit $x$.

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit unbekanntem Parameter $\theta ,$ wobei $\theta$ nur einen der Werte $0,4$ oder $0,6$ annehmen kann. Da kein weiteres Vorwissen bekannt ist, wird als A-priori-Verteilung für $\theta$ eine diskrete Gleichverteilung angenommen, d. h.

$P(\theta =0,4)=P(\theta =0,6)=0,5.$

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für $X=x$ ergibt sich aus der Binomialverteilung zu

$f(X=4\mid \theta ={\theta }_0)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{4}){{\theta }_0}^4(1-{\theta }_0{)}^7.$

Man erhält daher für ${\theta }_0=0,4$

$f(X=4\mid \theta =0,4)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{4})0,4^{4}0,6^7=0,236.$

Für ${\theta }_0=0,6$ erhält man

$f(X=4\mid \theta =0,6)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{4})0,6^{4}0,4^7=0,07.$

Die A-posteriori-Verteilung kann nun mit Hilfe des Satzes von Bayes berechnet werden. Für $\theta =0,4$ erhält man als A-posteriori-Wahrscheinlichkeit

$P(\theta =0,4\mid x=4)=\frac{0,236\cdot 0,5}{0,236\cdot 0,5+0,07\cdot 0,5}=0,77.$

Für $\theta =0,6$ ergibt sich die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit

$P(\theta =0,6\mid x=4)=\frac{0,07\cdot 0,5}{0,236\cdot 0,5+0,07\cdot 0,5}=0,23.$

Somit ist nach Ziehung der Stichprobe die Wahrscheinlichkeit, dass der Anteil roter Kugeln in der Urne 40 % beträgt, gleich $0,77$.

Siehe auch

• Bayesianische Erkenntnistheorie

Literatur

• Bernhard Rüger: Induktive Statistik. Einführung für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler. R. Oldenbourg Verlag, München Wien 1988. ISBN 3-486-20535-8
• Hans-Otto Georgii: Stochastik – Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. de Gruyter Verlag, Berlin New York 2007. ISBN 978-3-11-019349-7