Eulersche Betafunktion

Die Eulersche Betafunktion, auch Eulersches Integral 1. Art (nach Leonhard Euler) ist eine mathematische Funktion zweier komplexer Zahlen, die mit $\mathrm{B}$ bezeichnet wird. Ihre Definition lautet:

Betafunktion. Die positiven Realteile von x und y liegen in der Ebene

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}\mathrm{d}t,$

wobei $x$ und $y$ einen positiven Realteil haben müssen.

Die Betafunktion tritt unter anderem bei der Betaverteilung auf.

Allgemeines

Bei festem $x$ (bzw. $y$) ist $\mathrm{B}$ eine meromorphe Funktion von $y$ (bzw. $x$), und für die Funktion gilt die Symmetrierelation

$\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(y,x)$.

Es existieren folgende weitere Integraldarstellungen für die Betafunktion mit $\mathrm{R}\mathrm{e}x>0$ und $\mathrm{R}\mathrm{e}y>0$ (die erste Darstellung ergibt sich durch die Substitution $u=\frac{t}{1-t}$)

$\begin{array}{cc}\mathrm{B}(x,y)& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{x-1}}{{(1+t)}^{x+y}}\mathrm{d}t\\ & =2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{2y-1}(t){\cos }^{2x-1}(t)\mathrm{d}t.\end{array}$

An der Darstellung mit der Gammafunktion kann man ablesen, dass die analytische Fortsetzung der Betafunktion Pole genau entlang $x=k$ und $y=k$ für ganze Zahlen $k\le 0$ hat.

Theodor Schneider zeigte 1940, dass die Zahl $\mathrm{B}(x,y)$ für alle rationalen, nicht ganzzahligen $x,y$ transzendent ist.

Beziehung zur Gammafunktion

Das Hauptresultat der Theorie der Betafunktion ist die Identität

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\cdot \mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$

wobei $\mathrm{\Gamma }$ die Eulersche Gammafunktion bezeichnet.

Um diese Relation herzuleiten, kann man das Produkt der Gammafunktionen schreiben als:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)& =\underset{u=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-u}{u}^{x-1}\mathrm{d}u\cdot \underset{v=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-v}{v}^{y-1}\mathrm{d}v\\ & =\underset{v=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{u=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-u-v}{u}^{x-1}{v}^{y-1}\mathrm{d}u\mathrm{d}v.\end{array}$

nun kann man die Variablen $u=zt$ und $v=z(1-t)$ substituieren und erhält damit

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)& =\underset{z=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{t=0}{\overset{1}{\int }}{e}^{-z}(zt{)}^{x-1}(z(1-t){)}^{y-1}z\mathrm{d}t\mathrm{d}z\\ & =\underset{z=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-z}{z}^{x+y-1}dz\cdot \underset{t=0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}\mathrm{d}t\\ & =\mathrm{\Gamma }(x+y)\cdot \mathrm{B}(x,y).\end{array}$

Teilt man nun beide Seiten durch $\mathrm{\Gamma }(x+y)$, erhält man das Resultat.

Darstellungen

Die Betafunktion hat viele weitere Darstellungen wie:

$\mathrm{B}(x,y)=2\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}(\sin \theta {)}^{2x-1}(\cos \theta {)}^{2y-1}d\theta ,\text{Re}(x)>0,\text{Re}(y)>0$

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{x-1}}{(1+t{)}^{x+y}}dt,\text{Re}(x)>0,\text{Re}(y)>0$

$\mathrm{B}(x,y)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-y}{n})}{x+n},$

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{x+y}{xy}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{xy}{n(x+y+n)})}^{-1},$

$\mathrm{B}(x,y)\cdot \mathrm{B}(x+y,1-y)=\frac{\pi }{x\sin (\pi y)},$

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{1}{y}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{y^{n+1}}{n!(x+n)}$

Die Betafunktion kann, durch Anpassen der Indizes, zur Definition der Binomialkoeffizienten verwendet werden:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{1}{(n+1)\mathrm{B}(n-k+1,k+1)}.$

Mit der Darstellung für die Gammafunktion kommt man für ganzzahlige positive $x$ und $y$ auf:

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}$.

Ableitung

Die Ableitung ist gegeben durch

$\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(x,y)(\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}-\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x+y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)})=\mathrm{B}(x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))$

wobei $\psi (x)$ die Digamma-Funktion ist.

Werte

Aus der Eulerschen Formel des Ergänzungssatzes ergibt sich folgende Formel:

$\mathrm{B}(x,1-x)=\pi \csc (\pi x)$

Viele Beta-Funktionswerte für rationale Zahlenpaare sind mit der Kreiszahl und mit vollständigen elliptischen Integralen erster Art darstellbar.

$\mathrm{B}(\frac{1}{3},\frac{1}{3})=2\sqrt[3]{2}\sqrt[4]{3}K[\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})]$

$\mathrm{B}(\frac{1}{4},\frac{1}{2})=2\sqrt{2}K\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)$

$\mathrm{B}(\frac{1}{7},\frac{2}{7})=4\sqrt[4]{7}\cos \left(\frac{\pi }{14}\right)K[\frac{1}{8}(3\sqrt{2}-\sqrt{14})]$

$\mathrm{B}(\frac{3}{8},\frac{3}{8})=4\sqrt[4]{8}(\sqrt{2}-1)K(\sqrt{2}-1)$

$\mathrm{B}(\frac{2}{15},\frac{8}{15})=3^{3/4}{5}^{5/12}\sec \left(\frac{\pi }{5}\right)K[\frac{1}{16}(\sqrt{10}-\sqrt{6})(3-\sqrt{5})(2-\sqrt{3})]$

Die vollständigen elliptischen Integrale von Lambda-Stern-Werten positiver rationaler Zahlen werden im deutschen Sprachraum singuläre elliptische Integralwerte und im englischen Sprachraum elliptic integral singular values genannt.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Beta Function, Regularized Beta Function, Incomplete Beta Function in MathWorld (englisch)
• Beta function. Evaluation bei functions.wolfram.com (englisch)