Spitze (Differentialgeometrie)

Mannigfaltigkeit mit einer Spitze

Im mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie werden gewisse „sich sehr schnell verengende Enden“ als Spitzen bezeichnet.

Definition

Eine Spitze ist ein Ende $E$ einer Riemannschen Mannigfaltigkeit $(M,g_M)$, dessen Umgebung sich als verzerrtes Produkt

$E\cong N\times [0,\mathrm{\infty })$

parametrisieren lässt mit

$g_M=d{t}^2+e^{-2t}{g}_N$.

Hierbei ist $(N,g_N)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension $\dim (N)=\dim (M)-1$ und $t\in [0,\mathrm{\infty })$ ist der Parameter des zweiten Faktors in $N\times [0,\mathrm{\infty })$.

Die Mannigfaltigkeit $N$ wird als Querschnitt der Spitze (engl.: cusp cross section) bezeichnet.

Beispiele

• Spitzen von $n$-dimensionalen hyperbolischen Mannigfaltigkeiten haben als Querschnitt eine $(n-1)$-dimensionale flache Mannigfaltigkeit.
• Spitzen von $2n$-dimensionalen komplex-hyperbolischen Mannigfaltigkeit haben als Querschnitt eine Mannigfaltigkeit, deren universelle Überlagerung isometrisch zur $(2n-1)$-dimensionalen Heisenberg-Gruppe ist.
• Spitzen von quaternionisch-hyperbolischen Mannigfaltigkeiten haben als Querschnitt eine Mannigfaltigkeit, deren universelle Überlagerung isometrisch zur quaternionischen Heisenberg-Gruppe ist.
• In einem lokal symmetrischen Raum $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }G/K$ von endlichem Volumen und $\mathbb{Q}$-Rang $r{k}_{\mathbb{Q}}(\mathrm{\Gamma })=1$ sind alle Enden Spitzen, ihr Querschnitt kann aus der Langlands-Zerlegung bestimmt werden.

Spitzen hyperbolischer Mannigfaltigkeiten

Die Spitzen einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit $M=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }{H}^n$ sind isometrisch zu einer Untermannigfaltigkeit der Form

${\mathrm{\Gamma }}_c\mathrm{\setminus }{H}_c$,

wobei $H_c$ ein Horoball um einen Punkt im Unendlichen $c\in {\partial }_{\mathrm{\infty }}{H}^n$ und ${\mathrm{\Gamma }}_c\subset \mathrm{\Gamma }$ eine diskrete Gruppe von parabolischen Isometrien mit Fixpunkt $c$ ist.

Damit es sich um eine Spitze im Sinne obiger Definition handelt, muss

$\mathrm{rank}({\mathrm{\Gamma }}_c)=\dim (H_c)=\dim (M)-1$ sein.

In der Hyperbolischen Geometrie (und allgemeiner der Theorie lokal symmetrischer Räume $X$) bezeichnet man einen Randpunkt im Unendlichen $c\in {\partial }_{\mathrm{\infty }}X$ oft auch dann als Spitze, wenn es eine nicht-triviale diskrete Gruppe parabolischer Isometrien ${\mathrm{\Gamma }}_c$ mit $c$ als gemeinsamem Fixpunkt gibt. Man verlangt also nicht, dass $\mathrm{rank}({\mathrm{\Gamma }}_c)=\dim (M)-1$ ist.

Zu einer in diesem Sinne definierten Spitze kann man ebenfalls den Quotienten ${\mathrm{\Gamma }}_c\mathrm{\setminus }{H}_c$ betrachten, der ein Ende der Mannigfaltigkeit $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }X$ ist. Wenn $r:=\mathrm{rank}({\mathrm{\Gamma }}_c)<\dim (X)-1$ ist, dann hat dieses Ende unendliches Volumen und ist nicht von der oben definierten Form. Man spricht dann von einer Rang-$r$-Spitze.

Aus dem Lemma von Margulis folgt, dass der dünne Teil $M_{<ϵ}$ einer orientierbaren hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit $M$ entweder eine Spitze vom Rang $1$ oder $2$ oder eine Tubenumgebungen einer geschlossenen Geodäten ist. Die Spitzen vom Rang 1 sind homöomorph zu $D^{*}\times R_{+}$ mit $D^{*}=\{z\in ℂ:0<z<1\}$, die Spitzen vom Rang 2 sind homöomorph zu $T^2\times {ℝ}_{+}$ für den Torus $T^2$.

Literatur

Michail Kapovich: Hyperbolic manifolds and discrete groups. Reprint of the 2001 edition. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2009. ISBN 978-0-8176-4912-8

Siehe auch

• Spitze (Hyperbolische Geometrie)