Verzerrtes Produkt

In der Mathematik und der Physik, insbesondere in der Differentialgeometrie und der Allgemeinen Relativitätstheorie, bezeichnet das verzerrte Produkt zweier Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten die Produktmannigfaltigkeit mit der verzerrten Produktmetrik.

Definition

Unter dem verzerrten Produkt $M{\times }_{f}N$ zweier Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten $(M,g_M)$ und $(N,g_N)$ längs einer strikt positiven Funktion $f:M\to (0;\mathrm{\infty })$ versteht man die Produktmannigfaltigkeit $M\times N$ ausgestattet mit dem metrischen Tensor $g:={\pi }^{*}(g_M)+(f\circ \pi {)}^2{\sigma }^{*}(g_N)$. Dabei bezeichnen $\pi :M\times N\to M$ und $\sigma :M\times N\to N$ die natürlichen Submersionen und $g^{*}$ den Pullback eines Tensors unter einer Abbildung g zwischen zwei Mannigfaltigkeiten. Dabei wird $M$ als Basis und $N$ als Faser der Produktmannigfaltigkeit bezeichnet.

Definition verzerrte Metrik

Unter einer verzerrten Produktmetrik versteht man eine Riemannsche oder Lorentzsche Mannigfaltigkeit, deren Metrik durch

$d{s}^2=g_{ab}(y)d{y}^{a}d{y}^b+f(y)g_{ij}(x)d{x}^{i}d{x}^j$

dargestellt werden kann. D. h. insbesondere zerfällt die betrachtete Mannigfaltigkeit in das kartesische Produkt einer „y“- und einer „x“-Geometrie, wobei die „x“-Metrik verzerrt wird.

Literatur

• Barrett O’Neill: Semi-Riemannian Geometry. With Applications to Relativity (Pure and applied mathematics; Bd. 103). Academic Press, New York 1983, ISBN 0-12-526740-1.