Heisenberg-Gruppe

Als Heisenberg-Gruppe bezeichnet man in der Mathematik eine bestimmte Gruppe von Matrizen sowie Verallgemeinerungen davon. Jede Heisenberg-Gruppe besitzt eine topologische Struktur und ist eine Lie-Gruppe.

Die Heisenberg-Gruppe wurde von Hermann Weyl eingeführt, um in der Quantenmechanik die Äquivalenz von Heisenberg-Bild und Schrödinger-Bild zu erklären.

Definition

Obere 3×3-Dreiecksmatrizen der Form

$\left(\begin{array}{ccc}1& a& c\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

mit Einträgen $a$, $b$ und $c$, die einem (beliebigen) kommutativen Ring entstammen können, bilden eine Gruppe unter der üblichen Matrizenmultiplikation, die so genannte Heisenberg-Gruppe. Die Einträge entstammen dabei oft dem Ring der reellen Zahlen oder dem der ganzen Zahlen.

Eigenschaften

Man kann die Heisenberg-Gruppe mit Einträgen aus $ℝ$ als zentrale Erweiterung der Gruppe $(ℝ\times ℝ,+)$ auffassen, was man am besten sieht, wenn man auf ${ℝ}^3$ durch

$(a,b,c)\cdot (a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime })=(a+a^{\prime },b+b^{\prime },c+c^{\prime }+a{b}^{\prime })$

eine Gruppenmultiplikation definiert und

$\left(\begin{array}{ccc}1& a& c\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& a^{\prime }& c^{\prime }\\ 0& 1& b^{\prime }\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& a+a^{\prime }& c+c^{\prime }+a{b}^{\prime }\\ 0& 1& b+b^{\prime }\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

beachtet.

Lie-Algebra

Die Lie-Algebra der Heisenberg-Gruppe ist die Heisenberg-Algebra.

Anwendung

In der Quantenmechanik hat die Heisenberg-Gruppe die Funktion einer Symmetriegruppe.

Verallgemeinerungen

Es gibt höherdimensionale verallgemeinerte Heisenberg-Gruppen. Als Matrizengruppe besteht die $n$-te Heisenberg-Gruppe aus den quadratischen oberen Dreiecksmatrizen der Größe $n+2$ der Gestalt

$\left(\begin{array}{ccc}1& a& c\\ 0& E_n& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

wobei $a$ ein Zeilenvektor der Länge $n$, $b$ ein Spaltenvektor der Länge $n$ und $E_n$ die $n\times n$-Einheitsmatrix ist.