Gell-Mann-Matrizen

Die Gell-Mann-Matrizen, benannt nach Murray Gell-Mann, sind eine mögliche Darstellung der infinitesimalen Generatoren der speziellen unitären Gruppe SU(3).

Diese Gruppe hat acht hermitesche Generatoren, die man als $T_j$ mit $j=1,\dots ,8$ schreiben kann. Sie erfüllen die Kommutatorrelation (siehe: Lie-Algebra)

$[T_a,T_b]=\mathrm{i}{f}^{abc}{T}_c$

(wobei die Einsteinsche Summenkonvention verwendet wurde). Die $f^{abc}$ werden als Strukturkonstanten bezeichnet und sind komplett-antisymmetrisch bezüglich Vertauschung der Indizes. Für die SU(3) haben sie die Werte:

$f^{123}=1,f^{147}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=\frac{1}{2},f^{156}=f^{367}=-\frac{1}{2},f^{458}=f^{678}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Jeden Satz von Matrizen, die die Kommutatorrelation erfüllen, kann man als Generatoren der Gruppe verwenden.

Die Gell-Mann-Matrizen sind ein Standardsatz solcher Matrizen. Mit den obigen Generatoren sind sie (analog zu den Pauli-Matrizen) verknüpft durch:

$T_a=\frac{1}{2}{\lambda }_a$

Sie sind als 3×3-Matrizen gewählt und haben die Form:

${\lambda }_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_2=\left(\begin{array}{ccc}0& -\mathrm{i}& 0\\ \mathrm{i}& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$
${\lambda }_4=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_5=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -\mathrm{i}\\ 0& 0& 0\\ \mathrm{i}& 0& 0\end{array}\right)$
${\lambda }_6=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_7=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -\mathrm{i}\\ 0& \mathrm{i}& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_8=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right).$

Die ersten drei ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ erkennt man praktisch als die drei Pauli-Matrizen wieder, die eine SU(2) Untergruppe erzeugen.

Die $\lambda$-Matrizen haben folgende Eigenschaften:

• Sie sind hermitesch, haben also nur reelle Eigenwerte.
• Sie sind spurlos, das heißt $\mathrm{tr}({\lambda }_i)=0$.
• Sie sind orthogonal bezüglich des Frobenius-Skalarprodukts, das heißt $\mathrm{tr}({\lambda }_i{\lambda }_j)=2{\delta }_{ij}$.

Anwendung finden sie z. B. bei Berechnungen in der Quantenchromodynamik, die durch eine SU(3)-Theorie beschrieben wird. Daraus kann man auch die Wahl als 3×3-Matrizen verstehen, da die Matrizen auf Farbladungstriplets wirken sollen.

Siehe auch

• Standardmodell (Eichgruppe: SU(3)×SU(2)×U(1))
• Quarks

Literatur

• Howard Georgi: Lie algebras in particle physics. ISBN 0-7382-0233-9
• J. J. J. Kokkedee: The Quark model. Vorlage:OCLC