Semidirekte Summe

Die semidirekte Summe ist eine mathematische Konstruktion aus der Theorie der Lie-Algebren.

Konstruktion

Es seien $𝔞$ und $𝔟$ Lie-Algebren, $\pi :𝔞\to \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(𝔟)$ sei eine Darstellung, das heißt:

• $\pi$ ist linear, und für alle $a_1,a_2\in 𝔞$ gilt $\pi ([a_1,a_2])=\pi (a_1)\pi (a_2)-\pi (a_2)\pi (a_1)$.
• $\pi (a)$ ist für jedes $a\in 𝔞$ eine Derivation auf $𝔟$.

Dann gibt es auf der direkten Summe $𝔞\oplus 𝔟$ der Vektorräume genau eine Klammer $[\cdot ,\cdot ]$, so dass Folgendes gilt:

• $𝔞\oplus 𝔟$ ist mit $[\cdot ,\cdot ]$ eine Lie-Algebra.
• Die Einschränkung der Klammer auf $𝔞$ und $𝔟$ stimmt mit den dort gegebenen Klammern überein.
• Für alle $a\in 𝔞$ und $b\in 𝔟$ gilt $[a,b]=\pi (a)b$.

Dabei werden $𝔞$ und $𝔟$ als Unterräume der direkten Summe aufgefasst.

Die Klammer auf $𝔞\oplus 𝔟$ lautet

$[(a_1,b_1),(a_2,b_2)]:=([a_1,a_2],[b_1,b_2]+\pi (a_1)b_2-\pi (a_2)b_1),a_1,a_2\in 𝔞,b_1,b_2\in 𝔟$.

Man rechnet nach, dass durch diese Definition eine Lie-Algebra gegeben ist. Diese wird mit $𝔞{⋉}_{\pi }𝔟$ bezeichnet und heißt die semidirekte Summe oder auch das semidirekte Produkt aus $𝔞$ und $𝔟$. Wenn es bezüglich der Darstellung $\pi$ keine Missverständnisse geben kann, so lässt man sie weg und schreibt einfach $𝔞⋉𝔟$.

Bemerkungen

• In obiger Konstruktion ist $𝔞$ eine Lie-Unteralgebra der semidirekten Summe und $𝔟$ sogar ein Ideal, das heißt $[𝔞⋉𝔟,𝔟]\subset 𝔟$.
• Ist $\pi =0$, so liegt die direkte Summe der Lie-Algebren vor.
• Seien $𝔤$ eine Lie-Algebra über dem Körper $K$ und $d$ eine Derivation auf $𝔤$. Dann ist $Kd\subset \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(𝔤)$ eine Darstellung, und man kann $Kd⋉𝔤$ bilden. Dies nennt man auch die Adjunktion der Derivation $d$.

Erweiterungen

Ist $\iota :𝔟\to 𝔞⋉𝔟,b\mapsto (0,b)$ und $q:𝔞⋉𝔟\to 𝔞,(a,b)\mapsto a$, so erhält man eine kurze exakte Sequenz aus Lie-Algebren und Lie-Algebren-Homomorphismen

$0\to 𝔟\stackrel{\iota }{\to }𝔞⋉𝔟\stackrel{q}{\to }𝔞\to 0$.

Allgemein nennt man kurze exakte Sequenzen

$0\to 𝔟\to 𝔠\stackrel{q}{\to }𝔞\to 0$

bzw. die darin vorkommende Lie-Algebra $𝔠$ eine Erweiterung von $𝔞$ nach $𝔟$ (manchmal findet man auch die umgekehrte Sprechweise) und eine solche Erweiterung heißt zerfallend, wenn es einen Lie-Algebren-Homomorphismus $\psi :𝔞\to 𝔠$ gibt mit $q\circ \psi ={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{𝔞}$. Demnach ist $𝔞⋉𝔟$ eine solche zerfallende Erweiterung, denn der Homomorphismus $𝔞\to 𝔞⋉𝔟,a\mapsto (a,0)$ leistet das Verlangte.

Schließlich heißen zwei Erweiterungen ${𝔠}_1$ und ${𝔠}_2$ äquivalent, wenn es einen Isomorphismus $\phi :{𝔠}_1\to {𝔠}_2$ gibt, der das Diagramm

$\begin{array}{ccccccc}0\to & 𝔟& \to & {𝔠}_1& \to & 𝔞& \to 0\\ & \parallel & & \downarrow \gamma & & \parallel \\ 0\to & 𝔟& \to & {𝔠}_2& \to & 𝔞& \to 0\end{array}$

kommutativ macht. Mit Hilfe der semidirekten Summe kann man zerfallende Erweiterungen wie folgt charakterisieren:

Eine Erweiterung

$0\to 𝔟\to 𝔠\to 𝔞\to 0$

von Lie-Algebren ist genau dann zerfallend, wenn sie äquivalent zur semidirekten Summe

$0\to 𝔟\stackrel{\iota }{\to }𝔞⋉𝔟\stackrel{q}{\to }𝔞\to 0$

ist.

Siehe auch

• Affine Lie-Algebra
• Virasoro-Algebra
• Semidirektes Produkt