Sekantensatz

Der Sekantensatz besagt: Schneiden sich zwei Sekanten außerhalb des Kreises in einem Punkt

$P$

, so ist das Produkt der Abschnittslängen vom Sekantenschnittpunkt bis zu den beiden Schnittpunkten von Kreis und Sekante auf beiden Sekanten gleich groß. Kürzer: Das Produkt der Sekantenabschnitte ist konstant.

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Formulierung des Satzes

Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sekanten, die sich in einem Punkt $P$ außerhalb des Kreises schneiden. Bezeichnet man die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sekante als $A$ und $D$ und die Schnittpunkte mit der anderen Sekante als $B$ und $C$, so gilt:

$\overline{AP}\cdot \overline{DP}=\overline{BP}\cdot \overline{CP}$

Diese Aussage kann man auch als Verhältnisgleichung formulieren:

$\overline{AP}:\overline{BP}=\overline{CP}:\overline{DP}$

Beweis

Der Sekantensatz lässt sich – ähnlich wie der Sehnensatz und der Sekanten-Tangenten-Satz – mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen.

Die Dreiecke $APC$ und $BPD$ sind ähnliche Dreiecke, denn:

1. Der Winkel $\phi$ in Punkt $P$ ist beiden Dreiecken gemeinsam.
2. Umfangswinkel über einer Sehne sind gleich groß. Anwendung dieses Satzes auf die Sehne $[AB]$ ergibt $\mathrm{\angle }ADB=\mathrm{\angle }ACB$ oder ${\gamma }_1={\delta }_1$.

$\mathrm{△}APC\sim \mathrm{△}BPD$ (Ähnlichkeitssatz WW)

Daraus ergibt sich die Verhältnisgleichung

$\overline{AP}:\overline{BP}=\overline{CP}:\overline{DP}$.

Durch Multiplikation mit $\overline{BP}\cdot \overline{DP}$ erhält man:

$\overline{AP}\cdot \overline{DP}=\overline{BP}\cdot \overline{CP}$

Ein rechnerischer Nachweis mit Hilfe des Satzes von Vieta ist in dem Artikel Potenz (Geometrie) enthalten.

Siehe auch

• Sehnensatz
• Sekanten-Tangenten-Satz
• Potenz (Geometrie), vereinigt die Aussage von Sehen-, Sekenten- und Sekanten-Tangentensatz in einem einheitlichen Konzept

Literatur

• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 2. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 2000, ISBN 3-540-67643-0, S. 148
• H. Schupp: Elementargeometrie, UTB Schöningh (1977), ISBN 3-506-99189-2, S. 150
• Schülerduden – Mathematik I. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, S. 415–417

Weblinks

• Power of a Point Theorem auf cut-the-knot.org