Satz von Banach-Steinhaus

Der Satz von Banach-Steinhaus ist eines der fundamentalen Ergebnisse der Funktionalanalysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. In der Literatur werden häufig drei verschiedene, aber miteinander verwandte Sätze als Satz von Banach-Steinhaus bezeichnet. Die abstrakteste Fassung ist auch als Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit oder (uniform boundedness principle) bekannt, welches seinerseits aus dem Satz von Osgood folgt. Die beiden anderen Fassungen sind Folgerungen aus diesem. Ebenso wie der Satz über die offene Abbildung beruhen diese Sätze auf dem berühmten Kategoriensatz von Baire. Zusammen mit dem Satz von Hahn-Banach gelten all diese Sätze als Eckpfeiler des Gebiets.

Hugo Steinhaus und Stefan Banach veröffentlichten den Satz 1927. Er wurde jedoch unabhängig davon auch von Hans Hahn bewiesen. Er findet sich aber schon im Wesentlichen 1912 bei Eduard Helly.

Satz von Banach-Steinhaus

Seien $X$ und $Y$ Banachräume und $(T_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$   mit $T_n:X\to Y$   $(n\in \mathbb{N})$ eine Folge stetiger linearer Operatoren.

Dann gilt: $(T_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert punktweise gegen einen stetigen linearen Operator genau dann, wenn die beiden nachstehenden Bedingungen erfüllt sind:

1. Die Operatornormenfolge $(\Vert T_n\Vert {)}_{n\in \mathbb{N}}$ ist eine beschränkte Folge innerhalb der reellen Zahlen.
2. Es existiert in $X$ eine dichte Teilmenge $X_0\subseteq X$, so dass für jedes $x_0\in X_0$ die Folge $(T_n{x}_0{)}_{n\in \mathbb{N}}$ innerhalb $Y$ konvergiert.

Satz von Banach-Steinhaus (Variante)

Sei $X$ ein Banachraum, $Y$ ein normierter Raum und $(T_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$   mit $T_n:X\to Y$   $(n\in \mathbb{N})$ eine Folge stetiger linearer Operatoren.

Dann gilt: Falls $(T_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ punktweise konvergiert, so definiert $Tx:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{T}_{n}x$   $(x\in X)$ einen stetigen linearen Operator $T:X\to Y$ und es gilt $\Vert T\Vert \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\Vert T_n\Vert \le \underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }\Vert T_n\Vert <\mathrm{\infty }.$

Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit

Sei $X$ ein Banachraum, $N$ ein normierter Vektorraum und $F$ eine Familie stetiger, linearer Operatoren von $X$ nach $N$.

Dann folgt aus der punktweisen Beschränktheit

$\sup \{\Vert T(x)\Vert :T\in F\}<\mathrm{\infty }$ für alle $x\in X$

die gleichmäßige Beschränktheit

$\sup \{\Vert T\Vert :T\in F\}<\mathrm{\infty }.$

Beweis des Prinzips der gleichmäßigen Beschränktheit

Setze $X_n:=\{x\in X\mid \mathrm{\forall }T\in F:\Vert T(x)\Vert \le n\}$ für $n\in \mathbb{N}$. Diese Mengen sind offensichtlich abgeschlossen und nach Annahme gilt $X\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb{N}}{X}_n$. Als Banach-Raum ist $X$ vollständig metrisierbar und damit ein Baire-Raum (siehe den Baire’schen Kategoriensatz), somit darf es nicht sein, dass alle $X_n$ mager sind. Es existiert also ein $n_0\in \mathbb{N}$, so dass $X_{n_0}$ nicht mager ist. Wegen Abgeschlossenheit heißt dies, $X_{n_0}$ ist irgendwo dicht. Das heißt, es gibt ein $\delta >0$ und ein $x_0\in X$, so dass ${ℬ}_{<\delta }(x_0)\subseteq X_{n_0}$. Für jedes $T\in F$ und $x$ mit $\Vert x\Vert <\delta$ gilt nun

$\Vert T(x)\Vert =\Vert T(x_0+x)-T(x_0)\Vert \le \Vert T(x_0+x)\Vert +\Vert T(x_0)\Vert \le n_0+n_0=2n_0$.

Folglich $\Vert T\Vert \le \frac{2n_0}{\delta }$ für alle $T\in F$, sodass $\frac{2n_0}{\delta }$ eine gleichmäßige Schranke für die Menge $F$ ist.

Anmerkungen

• Punktweise Konvergenz von Operatoren wird in Abgrenzung zur schwachen Konvergenz auch als starke Konvergenz bezeichnet und sollte nicht mit der noch stärkeren Normkonvergenz verwechselt werden.
• Für das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit ist die Vollständigkeit von $X$ eine wesentliche Voraussetzung und die Aussage ist ohne die Vollständigkeit im Allgemeinen falsch. Ein Gegenbeispiel sieht man auf $X:=\{(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}|\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}:\mathrm{\forall }m\ge N:x_m=0\}$, dem Vektorraum der abbrechenden Folgen (z. B. mit ℓ¹-Norm). Hierauf definiert man die linearen Operatoren $A_k:X\to ℝ,(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\mapsto k\cdot x_k$. Die Familie $F:=(A_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ erfüllt auf diesem $X$ zwar die punktweise Beschränktheit, allerdings gilt $\Vert A_k\Vert =k$ und somit $\sup \{\Vert A_k\Vert :k\in \mathbb{N}\}=\mathrm{\infty }.$
• Falls man wie in der Hauptfassung lediglich punktweise Konvergenz auf einer dichten Teilmenge $X_0\subseteq X$ voraussetzt, muss die Beschränktheit der Folge $(\Vert T_n\Vert {)}_{n\in \mathbb{N}}$ der Operatornormen zusätzlich vorausgesetzt werden.
• Am einfachsten folgt obige Hauptfassung mit Hilfe der Variante und diese wiederum aus dem Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit.

Folgerungen

• Jede schwach konvergente Folge eines normierten Vektorraums ist beschränkt.
• Eine bilineare Abbildung $B:X\times Y\to Z$ auf Banachräumen $X,Y$ ist stetig genau dann wenn die Abbildungen $x\mapsto B(x,y)$ für alle $y\in Y$ und $y\mapsto B(x,y)$ für alle $x\in X$ stetig sind.

Verallgemeinerungen

Für lineare Operatoren auf tonnelierten Räumen

Die allgemeine Form des Satzes gilt für tonnelierte Räume:

Ist $X$ ein tonnelierter Raum, $Y$ ein lokalkonvexer Raum, so gilt: Jede Familie punktweise beschränkter, stetiger, linearer Operatoren von $X$ nach $Y$ ist gleichgradig stetig (sogar gleichmäßig gleichgradig stetig).

Die tonnelierten Räume sind gerade diejenigen lokalkonvexen Räume, in denen der Satz von Banach-Steinhaus gilt.

Für stetige reellwertige Funktionen auf vollständigen metrischen Räumen

Bei Hirzebruch-Scharlau findet man die folgende sehr allgemeine Version des Beschränktheitprinzips im Kontext der vollständigen metrische Räume:

Gegeben sei ein vollständiger metrischer Raum $(X,d)$ und weiter eine Familie $ℱ=(f_i{)}_{i\in I}$ von stetigen reellwertigen Funktionen

$f_i:(X,d)\to ℝ(i\in I)$  ,

welche punktweise gleichmäßig nach oben beschränkt sei:

$\underset{i\in I}{\sup }{f}_i(x)<\mathrm{\infty }(x\in X)$  .

Dann gibt es in $(X,d)$ eine nicht-leere offene Teilmenge $U$ derart, dass die Familie $ℱ\upharpoonright U={(f_i\upharpoonright U)}_{i\in I}$ der auf $U$ eingeschränkten Funktionen sogar gleichmäßig nach oben beschränkt ist, also der Bedingung

$\underset{i\in I,u\in U}{\sup }{f}_i(u)<\mathrm{\infty }$

genügt.

Für stetige reellwertige Funktionen auf topologischen Räumen

Es existiert darüber hinaus eine sehr weit reichende Verallgemeinerung für stetige reellwertige Funktionen auf beliebigen topologischen Räumen. Diese ist Inhalt des Satzes von Osgood in der Funktionalanalysis.

Literatur

• Stefan Banach, Hugo Steinhaus. "Sur le principle de la condensation de singularités (PDF; 568 kB). Fundamenta Mathematicae, 9 50-61, 1927.
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