Reeb-Vektorfeld

In der Mathematik sind Reeb-Vektorfelder (benannt nach Georges Reeb) ein Konzept der Kontaktgeometrie. Eigenschaften von Reeb-Vektorfeldern sind bei der Suche nach periodischen Bahnen nützlich.

Definition

Sei $\alpha$ eine Kontaktform auf einer Mannigfaltigkeit $M$. Das Reeb-Vektorfeld der Kontaktform ist das eindeutig bestimmte Vektorfeld $R$ auf $M$, welches die beiden Bedingungen

• $d\alpha (R(p),X(p))=0$ für jedes Vektorfeld $X$ und jedes $p\in M$
• $\alpha (R(p))=1$ für jedes $p\in M$

erfüllt.

Der Fluss des Reeb-Vektorfeldes wird als Reeb-Fluss bezeichnet, seine Bahnen als Reeb-Orbiten.

Beispiele

• Für die Standard-Kontaktform $\alpha =xdy+dz$ auf $M={ℝ}^3$ ist das Reeb-Vektorfeld $R=\frac{\partial }{\partial z}$.
• Für die Standard-Kontaktform $\alpha =\frac{i}{2}(ud\bar{u}-\bar{u}du+vd\bar{v}-\bar{v}dv)$ auf der 3-Sphäre $S^3=\{(u,v)\in {ℂ}^2:|u{|}^2+|v{|}^2=1\}$ ist das Reeb-Vektorfeld $R=iu\frac{\partial }{\partial u}-i\bar{u}\frac{\partial }{\partial \bar{u}}+iv\frac{\partial }{\partial v}-i\bar{v}\frac{\partial }{\partial \bar{v}}$. Seine Bahnen sind die Fasern der Hopf-Faserung.
• Für die kanonische Kontaktform auf dem Einheits-Kotangentialbündel $S{T}^{*}M$ einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ entspricht das Reeb-Vektorfeld unter dem durch die Metrik gegebenen Isomorphismus $S{T}^{*}M\simeq STM$ dem Vektorfeld des geodätischen Flusses.

Literatur

• H. Geiges: An introduction to contact topology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 2008