Rationalisierte Planck-Einheiten

Die rationalisierten Planck-Einheiten bilden ein Einheitensystem, das eng mit den Planck-Einheiten verwandt ist. Der Unterschied ist, dass nicht dieselben Naturkonstanten den Zahlenwert 1 annehmen.

In den originalen Planck-Einheiten gilt: $c=\hslash =G=k_B=k_C=1$.

In den rationalisierten Planck-Einheiten gilt: $c=\hslash =k_B=1$ und $G=k_C=\frac{1}{4\pi }$.

Während mit den Planck-Einheiten das Umrechnen von physikalischen Größen im Bereich der Relativitätstheorie einfach ist, ist mit den rationalisierten Planck-Einheiten das Umrechnen von Größen in der Elektrodynamik einfacher.

Gleichungen im Vergleich mit anderen Einheitssystemen

Wie bei allen rationalisierten Einheiten fallen bei den rationalisierten Planck-Einheiten in den Maxwell-Gleichungen die $4\pi$-Faktoren weg. Bei den rationalisierten Planck-Einheiten fallen zudem alle $c$ weg beziehungsweise nehmen den Zahlenwert $1$ an.

Maxwell-Gleichungen
Name	Formel	Konstante K (bzw. $K_a$, $K_b$) in folgenden Einheitensystemen:
		SI	Planck-Einheiten	Rationalisierte Planck-Einheiten	Heaviside-Lorentz
Gaußsches Gesetz	$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{E}=K\rho$	$\frac{1}{{\epsilon }_0}$	$4\pi$	$1$	$1$
Gaußsches Gesetz für Magnetfelder	$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{B}=0$	-	-	-	-
Induktionsgesetz	$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{E}=-K\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$	$1$	$1$	$1$	$c^{-1}$
Durchflutungsgesetz	$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{B}=K_a\overrightarrow{J}+K_b\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$	${\mu }_0$, $c^{-2}$	$4\pi$, $1$	$1$, $1$	$c^{-1}$, $c^{-1}$
Kraftgleichungen
Coulombsches-Gesetz	$K_C\frac{q_1{q}_2}{r^2}$	$\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}$	$1$	$\frac{1}{4\pi }$	$\frac{1}{4\pi }$
Newtonsches Gravitationsgesetz	$K_N\frac{m_1{m}_2}{r^2}$	$G$	$1$	$\frac{1}{4\pi }$	$G$
Berechnungen elektrischer Bauteile
Widerstand	$R=\rho \frac{l}{A}$	-	-	-	-
Scheiben-Kondensator	$C=K{\epsilon }_r\frac{A}{l}$	${\epsilon }_0$	$\frac{1}{4\pi }$	$1$	$1$
Zylinder-Spule	$L=K{\mu }_r\frac{N^{2}A}{l}$	${\mu }_0$	$4\pi$	$1$	$1$

Definition

Die rationalisierten Planck-Einheiten werden durch folgende Naturkonstanten definiert:

Konstante	Symbol	Dimension	Größe in SI-Einheiten
Lichtgeschwindigkeit	$c$	$L{T}^{-1}$	2.99792 · 108 ms−1
Gravitationskonstante	$G$	$L^3{M}^{-1}{T}^{-2}$	6.67430 · 10−11 m3 kg−1 s−2
Reduzierte Planck-Konstante	$\hslash$	$L^{2}M{T}^{-1}$	1.05457 · 10−34 J s
Elektrische Feldkonstante	${\epsilon }_0$	$Q^2{T}^2{M}^{-1}{L}^{-3}$	8.85419 · 109 C2 s2 kg−1 m−3
Boltzmann-Konstante	$k_B$	$L^{2}M{\mathrm{\Theta }}^{-1}{T}^{-2}$	1,38065 · 10−23 J k−1

Basisgrößen

Durch die Dimensionsbetrachtung dieser Konstanten lassen sich die Basisgrößen berechnen:

Name	Größe	Dimension	Term	Wert in SI-Einheiten
Rationale Masse	Masse	$M$	$m_R=\sqrt{\frac{\hslash c}{(4\pi G)}}$	6.1396166 · 10−9 kg
Rationale Länge	Länge	$L$	$l_R=\sqrt{\frac{(4\pi G)\hslash }{c^3}}$	5.7294657 · 10−35 m
Rationale Zeit	Zeit	$T$	$t_R=\sqrt{\frac{(4\pi G)\hslash }{c^5}}$	1.9111441 · 10−43 s
Rationale Ladung	Ladung	$Q$	$q_R=\sqrt{\hslash c{\epsilon }_0}$	5.2908176 · 10−19 C
Rationale Temperatur	Temperatur	$\mathrm{\Theta }$	$T_R=\sqrt{\frac{\hslash c^5}{(4\pi G)k_B^2}}$	3.9966750 · 1031 K

Abgeleitete Größen

Aus den Basisgrößen lassen sich alle anderen Größen berechnen:

Name	Größe	Dimension	Term	Wert in SI-Einheiten
Mechanische Einheiten
Rationale Fläche	Fläche	$L^2$	$A_R=l_R^2=\frac{(4\pi G)\hslash }{c^3}$	3.2826778 · 10−69 m2
Rationales Volumen	Volumen	$L^3$	$V_R=l_R^3={\left(\sqrt{\frac{(4\pi G)\hslash }{c^3}}\right)}^3$	1.8807990 · 10−103 m3
Rationale Dichte	Dichte	$\frac{M}{L^3}$	$d_R=\frac{m_R}{V_R}=\frac{c^5}{(4\pi G{)}^2\hslash }$	3.2643661 · 1094 kg m−3
Rationale Frequenz	Frequenz	$\frac{1}{T}$	$f_R=\frac{1}{t_R}=\sqrt{\frac{c^5}{(4\pi G)\hslash }}$	5.2324679 · 1042 Hz
Lichtgeschwindigkeit	Geschwindigkeit	$\frac{L}{T}$	$v_R=\frac{l_R}{t_r}=c$	2.9979246 · 108 m s−1
Rationale Beschleunigung	Beschleunigung	$\frac{L}{T^2}$	$a_R=\frac{v_R}{t_R}=\sqrt{\frac{c^7}{(4\pi G)\hslash }}$	1.56868×1051 m s−2
Rationale Kraft	Kraft	$\frac{ML}{T^2}$	$F_R=\frac{m_R{l}_R}{t_R^2}=\frac{c^4}{4\pi G}$	9.6309366 · 1042 N
Rationale Energie	Energie	$\frac{L^{2}M}{T^2}$	$E_R=m_R{v}_R=\sqrt{\frac{\hslash c^5}{4\pi G}}$	5.5180121 · 108 J
Rationale Leistung	Leistung	$\frac{L^{2}M}{T^3}$	$P_R=\frac{E_R}{t_R}=\frac{c^5}{4\pi G}$	2.8872822 · 1051 W
Rationaler Druck	Druck	$\frac{M}{L{T}^2}$	${\mathrm{\Pi }}_R=\frac{F_R}{A_R}=\frac{c^7}{(4\pi G{)}^2\hslash }$	2.93404 · 10111 Pa
Elektromagnetische Einheiten
Rationaler elektrischer Strom	Elektrischer Strom	$\frac{Q}{T}$	$i_R=\frac{q_R}{t_R}=\sqrt{\frac{c^6{\epsilon }_0}{4\pi G}}$	2.76840312 · 1024 A
Rationales elektrisches Potential	Elektrisches Potential	$\frac{L^{2}M}{Q{T}^2}$	$U_R=\frac{P_R}{i_R}=\sqrt{\frac{c^4}{(4\pi G){\epsilon }_0}}$	1.04294138 · 1027 V
Impedanz des Vakuums	Elektrischer Widerstand	$\frac{L^{2}M}{T{Q}^2}$	$Z_R=\frac{U_R}{i_R}=Z_0$	3.7673031 · 102 Ω
Rationale Kapazität	Kapazität	$\frac{T^2{Q}^2}{M{L}^2}$	$C_R=\frac{q_R}{U_R}=\sqrt{\frac{(4\pi G)\hslash {\epsilon }_0^2}{c^3}}$	5.0729766 · 10−46 F
Rationale Induktivität	Induktivität	$\frac{L^{2}M}{Q^2}$	$L_R=Z_R\cdot t_R=\sqrt{\frac{(4\pi G)\hslash }{c^7{\epsilon }_0^2}}$	7.1998591 · 10−41 H
Rationaler magnetischer Fluss	Magnetischer Fluss	$\frac{L^{2}M}{TQ}$	${\mathrm{\Psi }}_R=U_R\cdot t_R=\sqrt{\frac{\hslash }{c{\epsilon }_0}}$	1.9932114 · 10−16 Wb
Rationale magnetische Flussdichte	Magnetische Flussdichte	$\frac{M}{TQ}$	$B_R=\frac{\mathrm{\Psi }}{A_R^2}=\sqrt{\frac{c^5}{(4\pi G{)}^2\hslash {\epsilon }_0}}$	6.07208 · 1052 T
Thermische Einheiten
Rationale Wärmekapazität	Wärmekapazität	$\frac{L^{2}M}{T^2\mathrm{\Theta }}$	${\mathrm{\Gamma }}_R=\frac{E_R}{T_R}=k_B$	1,3806490 · 10−23 J K−1
Rationaler Wärmewiderstand	Wärmewiderstand	$\frac{T^3\mathrm{\Theta }}{L^{2}M}$	$R_R=\frac{T_R}{P_R}=\sqrt{\frac{(4\pi G)\hslash }{c^5{k}_B^2}}$	1.3842346 · 10−20 W K−1

Werte physikalischer Zahlen

Physikalische Zahl	Wert
Eigenschaften der Erde
Tag	4.52086 · 1047 tR
Jahr	1.65127 · 1050 tR
Alter	7.49677 · 1059 tR
Masse	9.72741 · 1032 mR
Fallbeschleunigung	6.25153 · 10−51 aR
Volumen	5.75931 · 10123 VR
Äquatorradius	1.11321 · 1041 lR
Normalatmosphäre	3.45342 · 10−107 ΠR
Oberflächentemperatur	7.20598 · 10−30 TR
Eigenschaften von Wasser
Schmelzpunkt bei Normaldruck	6.83456 · 10−30 TR
Siedepunkt bei Normaldruck	9.33651 · 10−30 TR
Temperatur beim Tripelpunkt	6.83468 · 10−30 TR
Druck beim Tripelpunkt	2.08469 · 10−112 ΠR
Temperatur beim kritischen Punkt	1.61910 · 10−29 TR
Druck beim kritischen Punkt	7.52001 · 10−110 ΠR
Eigenschaften von Elementarteilchen
Elementarladung	3.02822 · 10−1 qR
Elektronenmasse	1.48371 · 10−22 mR
Protonenmasse	2.72431 · 10−19 mR
Neutronenmasse	2.72807 · 10−19 mR
Compton-Wellenlänge von Elektronen	4.23479 · 1022 lR
Compton-Wellenlänge von Protonen	2.30634 · 1019 lR
Compton-Wellenlänge von Neutronen	2.30316 · 1019 lR
Eigenschaften verschiedener Elemente
Bohrscher Radius	9.23607 · 1023 lR
Kovalenter Radius von Wasserstoff	5.41062 · 1023 lR
Van-der-Waals-Radius von Wasserstoff	2.09443 · 1024 lR
Atomare Masseinheit	2.70463 · 10−19 mR
Masse von 1H	2.72626 · 10−19 mR
Mittlere Lebensdauer eines Neutrons	4.60561 · 10−45 tR
Halbwertszeit von 3H	2.03433 * 1051 tR
Halbwertszeit von 8B	3.51726 * 1026 tR