Radon-Nikodym-Eigenschaft

Die Radon-Nikodym-Eigenschaft, benannt nach Johann Radon und Otton Marcin Nikodým, ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Eigenschaft von Banachräumen bzw. vektoriellen Maßen. Ein Banachraum $X$ hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft, oft mit RNP (nach der englischen Bezeichnung "Radon-Nikodym property") abgekürzt, wenn für vektorielle Maße mit Werten in $X$ eine zum klassischen Satz von Radon-Nikodym analoge Aussage gilt.

Definitionen

Es seien $X$ ein Banachraum, $(Ω, 𝒜)$ ein messbarer Raum und $μ : 𝒜 \to X$ ein vektorielles Maß. Man sagt, $μ$ habe die Radon-Nikodym-Eigenschaft, falls folgendes gilt:

$μ$ ist von beschränkter Variation.
Ist $λ : 𝒜 \to ℝ$ ein endliches, positives Maß mit $μ ≪ λ$ , so gibt es eine bzgl. $λ$ Bochner-integrierbare Funktion $f : Ω \to X$ mit $μ (A) = \int_{A} f d λ$ für alle $A \in 𝒜$ .

Die Schreibweise $μ ≪ λ$ bedeutet wie üblich, dass $μ$ absolut stetig bzgl. $λ$ ist, das heißt, dass für alle $A \in 𝒜$ aus $λ (A) = 0$ bereits $μ (A) = 0$ folgt. In obiger Definition erfüllen die beiden Maße also eine vektorwertige Variante des klassischen Satzes von Radon-Nikodym.

Schließlich definiert man, ein Banachraum $X$ habe die Radon-Nikodym-Eigenschaft, wenn jedes vektorielle Maß von beschränkter Variation mit Werten in $X$ die Radon-Nikodym-Eigenschaft hat.^[1]^[2]

Beispiele

Der Banachraum $ℝ$ hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft. Das ist genau die Aussage des Satzes von Radon-Nikodym.
Jeder reflexive Raum hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft.^[3] Damit haben die Folgenräume $ℓ^{p}$ und die L^p-Räume für $1 < p < \infty$ sowie alle Hilberträume die Radon-Nikodym-Eigenschaft.
Satz von Dunford-Pettis: Jeder separable Dualraum hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft.^[4]^[5] Beispiele hierfür sind $ℓ^{1}$ oder der Raum $𝒩 (ℓ^{2})$ der nuklearen Operatoren auf dem Hilbertraum $ℓ^{2}$ . Allgemeiner hat jeder Dualraum, der Unterraum eines schwach kompakt erzeugten Banachraums ist, die Radon-Nikodym-Eigenschaft.^[6]
Ist $I$ eine beliebige Indexmenge, so hat $ℓ^{1} (I)$ die Radon-Nikodym-Eigenschaft.
Hat der Banachraum eine äquivalente sehr glatte Norm, so hat dessen Dualraum die Radon-Nikodym-Eigenschaft. Insbesondere haben lokal schwach gleichmäßig konvexe Dualräume die Radon-Nikodym-Eigenschaft.^[7]
Der Raum der Nullfolgen $c_{0}$ , der Raum der beschränkten Folgen $ℓ^{\infty}$ und die Funktionenräume $C ([0, 1])$ , $L^{1} ([0, 1])$ , $L^{\infty} ([0, 1])$ haben nicht die Radon-Nikodym-Eigenschaft.^[8]

Eigenschaften

Abgeschlossene Unterräume von Räumen mit Radon-Nikodym-Eigenschaft haben wieder die Radon-Nikodym-Eigenschaft.^[9]
Die Radon-Nikodym-Eigenschaft vererbt sich nicht auf Quotientenräume. Der Raum $c_{0}$ ist Quotient von $ℓ^{1}$ , denn jeder separable Banachraum ist Quotient von $ℓ^{1}$ , und dieser hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft, jener aber nicht.
Der Satz von Davis-Huff-Maynard-Phelps ist eine geometrische Charakterisierung der Radon-Nikodym-Eigenschaft. Ein Banachraum $X$ hat genau dann die Radon-Nikodym-Eigenschaft, wenn es zu jeder beschränkten Menge $B \subset X$ und zu jedem $ε > 0$ ein $x \in B$ gibt, das nicht in der abgeschlossenen konvexen Hülle von $B ∖ K_{ε} (x)$ liegt. Dabei bezeichnet $K_{ε} (x)$ die $ε$ -Kugel um $x$ .^[10]
Der Satz von Lewis-Stegall^[11] charakterisiert Räume mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft mittels Operatoren: Ein Banachraum $X$ hat genau die Radon-Nikodym-Eigenschaft, wenn für jeden Maßraum $(Ω, 𝒜, λ)$ mit positivem, endlichen Maß $λ$ jeder stetige, lineare Operator $L^{1} (Ω, 𝒜, λ) \to X$ über $ℓ^{1}$ faktorisiert. Letzteres bedeutet, dass es zu jedem stetigen, linearen Operator $T : L^{1} (Ω, 𝒜, λ) \to X$ stetige, lineare Operatoren $R : L^{1} (Ω, 𝒜, λ) \to ℓ^{1}$ und $S : ℓ^{1} \to X$ gibt mit $T = S \circ R$ .
Ein Resultat von Srishti Dhar Chatterji lautet, dass die Existenz der meisten Konvergenzarten für Banach-wertige Martingale $M_{n}$ (d. h. $M_{\infty}$ existiert unter entsprechenden Voraussetzungen) äquivalent zur Radon-Nikodym-Eigenschaft des darunterliegenden Raumes ist.^[12]

Die Krein-Milman-Eigenschaft

Motiviert durch den Satz von Krein-Milman sagt man, ein Banachraum habe die Krein-Milman-Eigenschaft, wenn jede abgeschlossene, beschränkte, konvexe Menge gleich dem Abschluss der konvexen Hülle ihrer Extremalpunkte ist. Beachte, dass hier keine Kompaktheitsforderung gestellt wird. Dies wird nach der englischen Bezeichnung "Krein-Milman property" oft als KMP abgekürzt.

Nach einem Satz von Lindenstrauss hat jeder Raum mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft auch die Krein-Milman-Eigenschaft.^[13] Die Umkehrung dieser Aussage ist ein offenes mathematisches Problem^[14], sie ist allerdings für Dualräume bekannt, genauer sind folgende Aussagen über einen Banachraum $X$ äquivalent:^[15]

$X^{'}$ (der Dualraum von $X$ ) hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft.
$X^{'}$ hat die Krein-Milman-Eigenschaft.
Ist $Y \subset X$ ein separabler Unterraum von $X$ , so ist $Y^{'}$ separabel.

Einzelnachweise

↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Seite 106
↑ Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §3, Seite 213
↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Korollar 5.45
↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Korollar 5.42
↑ Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §4: The Dunford-Pettis Theorem
↑ Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §4, Theorem 2
↑ Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §4, Korollar 4
↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, (5.13)+(5.15)
↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Satz 5.49
↑ Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §3: The Davis-Huff-Maynard-Phelps Theorem
↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Theorem 5.36
↑ Vorlage:Literatur
↑ Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §5, Theorem 1
↑ F. Albiac, N.J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Seite 118
↑ Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §6, Korollar 1

[1] Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Seite 106

[2] Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §3, Seite 213

[3] Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Korollar 5.45

[4] Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Korollar 5.42

[5] Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §4: The Dunford-Pettis Theorem

[6] Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §4, Theorem 2

[7] Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §4, Korollar 4

[8] Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, (5.13)+(5.15)

[9] Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Satz 5.49

[10] Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §3: The Davis-Huff-Maynard-Phelps Theorem

[11] Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Theorem 5.36

[12] Vorlage:Literatur

[13] Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §5, Theorem 1

[14] F. Albiac, N.J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Seite 118

[15] Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §6, Korollar 1

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