Quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik sind quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeiten ein Forschungsgebiet der Differentialgeometrie.

Definition

Eine zusammenhängende, orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension $4n$ ist eine quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit, wenn ihre Holonomiegruppe in $\mathrm{Sp}(n)\mathrm{Sp}(1)$ enthalten ist. Im Fall $n=1$ verlangt man zusätzlich noch, dass es sich um eine selbstduale Einstein-Mannigfaltigkeit handelt.

Hierbei bezeichnet $\mathrm{Sp}(n)$ die (kompakte) symplektische Gruppe und $\mathrm{Sp}(n)\mathrm{Sp}(1)$ wirkt auf ${ℍ}^n={ℝ}^{4n}$ durch Linksmultiplikation von $\mathrm{Sp}(n)$ und Rechtsmultiplikation (als Diagonalmatrizen) von $\mathrm{Sp}(1)$, wodurch $\mathrm{Sp}(n)\mathrm{Sp}(1)$ als Untergruppe von $\mathrm{GL}(4n,ℝ)$ aufgefasst wird.

Eine quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit heißt positiv bzw. negativ, wenn die Riemannsche Metrik vollständig ist und positive bzw. negative Skalarkrümmung hat.

Eigenschaften

• Eine quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit ist genau dann hyperkähler, wenn ihre Skalarkrümmung verschwindet.

• Jede positive quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit ist kompakt und einfach zusammenhängend.

• Die einzige quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit mit positiver Schnittkrümmung ist der quaternionische projektive Raum.

Alle bekannten Beispiele positiver quaternionischer Kähler-Mannigfaltigkeiten sind Wolf-Räume; Die LeBrun-Salamon-Vermutung besagt, dass alle positiven quaternionischen Kähler-Mannigfaltigkeiten symmetrische Räume und damit (nach der Klassifikation symmetrischer Räume) insbesondere Wolf-Räume sind. (Für n=1 wurde die Vermutung von Hitchin und für n=2 von Poon-Salamon bewiesen.)

Twistorraum

Zu jeder quaternionischen Kähler-Mannigfaltigkeit assoziiert man einen sogenannten „Twistorraum“ wie folgt. $\mathrm{Sp}(n)\mathrm{Sp}(1)$ wird von $\mathrm{Sp}(n)\times \mathrm{Sp}(1)$ zweifach überlagert und lokal lässt sich das $\mathrm{Sp}(n)\mathrm{Sp}(1)$-Bündel zu einem $\mathrm{Sp}(n)\times \mathrm{Sp}(1)$-Bündel heben. Die $\mathrm{Sp}(1)$-Wirkung auf ${ℍ}^1={ℂ}^2$ kann man dann benutzen, um lokal ein assoziiertes quaternionisches Linienbündel $H$ zu definieren. Auch wenn dieses nicht global definiert sein muss, ist jedenfalls seine komplexe Projektivisierung global definiert und man erhält ein Bündel

$ℂP^1\to P_{ℂ}(H)\to M$.

Der Raum $Z:=P_{ℂ}(H)$ wird als Twistorraum der quaternionischen Kählermannigfaltigkeit $M$ bezeichnet.

Beispiel: Der Twistorraum des quaternionischen projektiven Raumes $ℍP^n$ ist der komplexe projektive Raum $ℂP^{2n+1}$ und das Bündel

$ℂP^1\to ℂP^{2n+1}\to ℍP^n$

ist die kanonische Projektionsabbildung.

Satz (LeBrun-Salamon): Der Twistorraum einer positiven quaternionischen Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine Fano-Kontaktmannigfaltigkeit, außerdem kompakt, einfach zusammenhängend, Kählersch und Einsteinsch.

Weiterhin ist eine positive quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit genau dann ein symmetrischer Raum, wenn ihr Twistorraum ein (unter biholomorphen Abbildungen) homogener Raum ist.

Literatur

• Salamon, Simon: Quaternionic Kähler manifolds. Invent. Math. 67 (1982), no. 1, 143–171.
• Poon, Y. S.; Salamon, S. M.: Quaternionic Kähler 8-manifolds with positive scalar curvature. J. Differential Geom. 33 (1991), no. 2, 363–378.
• LeBrun, Claude; Salamon, Simon: Strong rigidity of positive quaternion-Kähler manifolds. Invent. Math. 118 (1994), no. 1, 109–132.
• Salamon, Simon: Quaternionic Kähler Geometry. Proceedings of the University of Cambridge VI, 1999, 83–121.